一次函数压轴题经典

典型例题

题型一、A卷压轴题

一、A卷中涉及到的面积问题

例1、如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1

2x2与x轴、y轴分别相交于点3A和点B，直线y2kxb (k0)经过点C（1，0）且与线段AB交于点P，并把△ABO分成两部分．

（1）求△ABO的面积；

（2）若△ABO被直线CP分成的两部分的面积相等，求点P的坐标及直线CP的函数表达式。

y

、

…

y1BOCy2PAx

练习1、如图，直线l1过点A（0，4），点D（4，0），直线l2：y两直线l1，l2相交于点B。

（1）、求直线l1的解析式和点B的坐标； （2）、求△ABC的面积。

1x1与x轴交于点C，2y %l1A B l2C O D x !

二、A卷中涉及到的平移问题

例2、 正方形ABCD的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB边落在X轴的正半轴上，且A点的坐标是（1，0）。

48

①直线y=3x-3经过点C，且与x轴交与点E，求四边形AECD的面积；

>

②若直线l经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分求直线l的解析式， ③若直线l1经过点F23.0且与直线y=3x平行,将②中直线l沿着y轴向上平移个单位

32交x轴于点M,交直线l1于点N,求NMF的面积.

#

练习1、如图，在平面直角坐标系中，直线l1 ：y4x与直线l2：ykxb 相交于3点A，点A的横坐标为3，直线l2交y轴于点B，且OA（1）试求直线l2函数表达式。（6分）

1OB。 2（2）若将直线l1沿着x轴向左平移3个单位，交 y轴于点C，交直线l2于点D；试求 △BCD的面积。（4分）。

/

y L2 l1A x \\ 1 O B

题型二、B卷压轴题

一、一次函数与特殊四边形

例1、如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长(0A|

2xy的解，点C是直线y2x与直线AB的交点，点D在线段OC上，

3xy6

(1)求点C的坐标；

(2)求直线AD的解析式；

(3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

练习1、.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线PA是一次函数y=x+m(m>0)的图象,直线PB是一次函数y3xn(n>m)的图象,点P是两直线的交点,点A、B、C、Q分别是

两条直线与坐标轴的交点。

（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；

（2）若四边形PQOB的面积是与PB的函数表达式；

`

（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

…

11，且CQ:AO=1:2，试求点P的坐标，并求出直线PA2y C Q P

A O B x 2、（2011•玉溪）如图，在Rt△OAB中，∠A=90°，∠ABO=30°，OB=

83 3

，边AB的垂直平分线CD分别与AB、x轴、y轴交于点C、G、D． （1）求点G的坐标；

（2）求直线CD的解析式；

（3）在直线CD上和平面内是否分别存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形若存在，求出点Q得坐标；若不存在，请说明理由．

&

二、一次函数与三角形 例2、如图,矩形OABC在平面直角坐标系内(O为坐标原点),点A在x轴上,点C在y轴上,点B的坐标为(-2,23),点E是BC的中点,点H在OA上,且AH=

1,过点H且平行于y轴的HG与2EB交于点G,现将矩形折叠,使顶点C落在HG上 ,并与HG上的点D重合,折痕为EF,点F为折痕与y轴的交点. …

(1)求∠CEF的度数和点D的坐标;(3分)

(2)求折痕EF所在直线的函数表达式;(2分)

(3)若点P在直线EF上,当△PFD为等腰三角形时,试问满足条件的点P有几个,请求出点P的坐标,并写出解答过程.(5分)

y G B?E D C B G ） y C E D F F A H O x

A H O x

练习1、（2011•漳州）如图，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD．

（1）填空：点C的坐标是（ ， ），点D的坐标是（ ，）； （2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；

（3）在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（

2、（2010•黑河）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x+12的图象分别交x轴，y轴于A，B两点过点A的直线交y轴正半轴与点M，且点M为线段OB的中点． 3、（1）求直线AM的函数解析式．

4、（2）试在直线AM上找一点P，使得S△ABP=S△AOB，请直接写出点P的坐标．

5、（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A，B，M，H为顶点的四边形是等腰梯形若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由

]

三、重叠面积问题

例3、已知如图，直线y3x43与x轴相交于点A，与直线y3x相交于点P． ①求点P的坐标．

②请判断OPA的形状并说明理由．

③动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．求： S与t之间的函数关系式．

[

y P

B O E

$ A x

练习1、如图，已知直线l1:yx2与直线l2：y2x8相交于点F，l1、l2分别交x轴

于点E、G，矩形ABCD顶点C、D分别在直线l1、l2，顶点A、B都在x轴上，且点B与点G重合。 （1）、求点F的坐标和∠GEF的度数； （2）、求矩形ABCD的边DC与BC的长； —

（3）、若矩形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t0t6秒，矩形ABCD与△GEF重叠部分的面积为s，求s关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围。

\"

: l2 l1 yD F

C B G A O E x 2、如图，过A（8，0）、B（0，83）两点的直线与直线y3x交于点C．平行于y轴的

直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；l分

别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线l的运动时间为t（秒）． （1）直接写出C点坐标和t的取值范围； （2）求S与t的函数关系式；

（3）设直线l与x轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形

为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

}

3、（衡阳市）如图，直线yx4与两坐标轴分别相交于点，点M是线段AB上任意一点（两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．

·

（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化并说明理由； （2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值最大值是多少

（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a（0a4)，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象．

y B D M B y B y { C 图（1）

A x O 图（2）

A x O A 图（3）

《

四、关系式问题

例4、如图，已知直线的解析式为直线

经过B、

从

，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，

C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线

点C向点B移动.点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（

-

）.

的解析式.

（1）求直线

（2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式.

练习1、（2011•鸡西）已知直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∠ABC=60°，BC与x轴交于点C． （1）试确定直线BC的解析式． 、

（2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A、C重合），同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动（不与C、A重合），动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ的面积为S，P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

（3）在（2）的条件下，当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

2、（2011•河池）已知直线l经过A（6，0）和B（0，12）两点，且与直线y=x交于点C． （1）求直线l的解析式；

（2）若点P（x，0）在线段OA上运动，过点P作l的平行线交直线y=x于D，求△PCD的面积S与x的函数关系式；S有最大值吗若有，求出当S最大时x的值；

（3）若点P（x，0）在x轴上运动，是否存在点P，使得△PCA成为等腰三角形若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． %

一次函数压轴题训练

典型例题

题型一、A卷压轴题

一、A卷中涉及到的面积问题 |

例1、如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y12x2与x轴、y轴分别相交于点3A和点B，直线y2kxb (k0)经过点C（1，0）且与线段AB交于点P，并把△ABO分成两部分．

（1）求△ABO的面积；

（2）若△ABO被直线CP分成的两部分的面积相等，求点P的坐标及直线CP的函数表达式。

y

y1

;

BOCPAy2x

练习1、如图，直线l1过点A（0，4），点D（4，0），直线l2：y两直线l1，l2相交于点B。

（1）、求直线l1的解析式和点B的坐标； （2）、求△ABC的面积。

.

1x1与x轴交于点C，2y l1A ￥ l2B C O D x

￥

二、A卷中涉及到的平移问题

例2、 正方形ABCD的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB边落在X轴的正半轴上，且A点的坐标是（1，0）。

48

①直线y=3x-3经过点C，且与x轴交与点E，求四边形AECD的面积；

②若直线l经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分求直线l的解析式， ③若直线l1经过点F23.0且与直线y=3x平行,将②中直线l沿着y轴向上平移个单位

32交x轴于点M,交直线l1于点N,求NMF的面积.

（

练习1、如图，在平面直角坐标系中，直线l1 ：y4x与直线l2：ykxb 相交于3点A，点A的横坐标为3，直线l2交y轴于点B，且OA（1）试求直线l2函数表达式。（6分）

1OB。 2（2）若将直线l1沿着x轴向左平移3个单位，交 y轴于点C，交直线l2于点D；试求 △BCD的面积。（4分）。

。

y & l1A x

}

1 O 1 B

题型二、B卷压轴题

一、一次函数与特殊四边形

例1、如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长(0A2xy是方程组的解，点C是直线y2x与直线AB的交点，点D在线段OC上，

3xy6OD=25

(1)求点C的坐标； (2)求直线AD的解析式；

(3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

@

练习1、.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线PA是一次函数y=x+m(m>0)的图象,直线PB是一次函数y3xn(n>m)的图象,点P是两直线的交点,点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点。

（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；

（2）若四边形PQOB的面积是

11，且CQ:AO=1:2，试求点P的坐标，并求出直线PA2与PB的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

}

y C Q P A ( B x

2、（2011•玉溪）如图，在Rt△OAB中，∠A=90°，∠ABO=30°，OB=

83 3

，边AB的垂直平分线CD分别与AB、x轴、y轴交于点C、G、D． （1）求点G的坐标；

（2）求直线CD的解析式；

（3）在直线CD上和平面内是否分别存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形若存在，求出点Q得坐标；若不存在，请说明理由．

&

二、一次函数与三角形

例2、如图,矩形OABC在平面直角坐标系内(O为坐标原点),点A在x轴上,点C在y轴上,点B的坐标为(-2,23),点E是BC的中点,点H在OA上,且AH=

1,过点H且平行于y轴的2HG与EB交于点G,现将矩形折叠,使顶点C落在HG上 ,并与HG上的点D重合,折痕为EF,点F为折痕与y轴的交点.

(1)求∠CEF的度数和点D的坐标;(3分) (2)求折痕EF所在直线的函数表达式;(2分)

(3)若点P在直线EF上,当△PFD为等腰三角形时,试问满足条件的点P有几个,请求出点P的坐标,并写出解答过程.(5分) 、

y B G E D C B G E D y C F F A H ？ x

A 、 O x

OH

练习1、（2011•漳州）如图，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD．

（1）填空：点C的坐标是（ ， ），点D的坐标是（ ，）； （2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；

（3）在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

%

6、（2010•黑河）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x+12的图象分别交x轴，y轴于A，B两点过点A的直线交y轴正半轴与点M，且点M为线段OB的中点． 7、（1）求直线AM的函数解析式．

8、（2）试在直线AM上找一点P，使得S△ABP=S△AOB，请直接写出点P的坐标．

9、（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A，B，M，H为顶点的四边形是等腰梯形若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由

.

三、重叠面积问题

例3、已知如图，直线y3x43与x轴相交于点A，与直线y3x相交于点P． ①求点P的坐标．

②请判断OPA的形状并说明理由．

③动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．求： S与t之间的函数关系式．

B O E y P F ; x

`

练习1、如图，已知直线l1:yx2与直线l2：y2x8相交于点F，l1、l2分别交x轴

于点E、G，矩形ABCD顶点C、D分别在直线l1、l2，顶点A、B都在x轴上，且点B与点G重合。 （1）、求点F的坐标和∠GEF的度数； （2）、求矩形ABCD的边DC与BC的长； （3）、若矩形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t0t6秒，矩形ABCD与△GEF重叠部分的面积为s，求s关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围。

l1 】

…y l2 C

DF

B G A O E x 2、如图，过A（8，0）、B（0，83）两点的直线与直线y3x交于点C．平行于y轴的

直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；l分

别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线l的运动时间为t（秒）． （1）直接写出C点坐标和t的取值范围； （2）求S与t的函数关系式； }

（3）设直线l与x轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形

为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

|

3、（衡阳市）如图，直线yx4与两坐标轴分别相交于点，点M是线段AB上任意一点（两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．

（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化并说明理由； （2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值最大值是多少

（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a（0a4)，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象．

y [y B M B y D O C 图（1）

A x O 图（2）

A x O A 图（3）

x

四、关系式问题

例4、如图，已知直线的解析式为直线

经过B、

从

，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，

C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线

点C向点B移动.点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t

秒（（1）求直线

）. 的解析式.

（2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式.

练习1、（2011•鸡西）已知直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∠ABC=60°，BC与x轴交于点C． （1）试确定直线BC的解析式．

（2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A、C重合），同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动（不与C、A重合），动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ的面积为S，P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

（3）在（2）的条件下，当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

2、（2011•河池）已知直线l经过A（6，0）和B（0，12）两点，且与直线y=x交于点C． （1）求直线l的解析式；

（2）若点P（x，0）在线段OA上运动，过点P作l的平行线交直线y=x于D，求△PCD的面积S与x的函数关系式；S有最大值吗若有，求出当S最大时x的值；

（3）若点P（x，0）在x轴上运动，是否存在点P，使得△PCA成为等腰三角形若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．