高数一试题及答案

《 高等数学（一） 》复习资料

一、选择题

x2xk5，则k（ ) 1。 若limx3x3A. 3 B.4 C。5 D。6

x2k2，则k（ ） 2。 若limx1x1A。 1 B。2 C.3 D.4

3。 曲线yex3sinx1在点(0，2）处的切线方程为（ ） A.y2x2 B.y2x2 C.y2x3 D。y2x3

4。 曲线yex3sinx1在点（0,2)处的法线方程为( ） A.y

x21（ ） 5。 limx1sinx1111x2 B。yx2 C.yx3 D.yx3 2222A.0 B。3 C。4 D。5

6.设函数f(x)(t1)(t2)dt,则f(3)=( ）

0xA 1 B 2 C 3 D 4

7。 求函数y2x44x32的拐点有（ ）个。 A 1 B 2 C 4 D 0

8。 当x时，下列函数中有极限的是( ）.

1x1A. sinx B。 x C。 2 D. arctanx

ex1f(3h)f(3)( ） . 9。已知f'(3)=2，limh02h33 A。 B。  C。 1 D. —1

2210. 设f(x)=x43x25，则f(0)为f(x)在区间[2,2]上的（ ）.

A. 极小值 B。 极大值 C。 最小值 D. 最大值

11. 设函数f(x)在[1,2]上可导，且f'(x)0,f(1)0,f(2)0,则f(x)在(1,2)内( ）

A。至少有两个零点 B. 有且只有一个零点 C。 没有零点 D. 零点个数不能确定 12.

。 [f(x)xf'(x)]dx( ）

A.f(x)C B。 f'(x)C C。 xf(x)C D。 f2(x)C

13. 已知yf(lnx)，则y（ C ）

222f(lnx2)f(lnx2)4f(lnx2)4f(lnx2)f(lnx2)2f(lnx2)f(x) A.B。 C。 D。

x2xxx214. df(x)=（ B)

 A。f'(x)C B。f(x) C。f(x) D.f(x)C

15。

2lnxxdx（ D )

2lnxC C.2lnxC D。lnxC x A.2xlnxC B。

x21（ ) 16。 limx1lnxA。2 B.3 C。4 D。5

17。 设函数f(x)(t1)(t2)dt，则f(2)=（ ）

0xA 1 B 0 C 2 D 2 18。 曲线yx3的拐点坐标是( )

A。(0，0) B。（ 1，1) C.(2,2） D.(3,3）

19. 已知yf(lnx),则y（ A ）

A.

f(lnx)f(lnx) B。f(lnx) C。f(lnx) D。 xx20. ddf(x)( A）

A。df(x) B.f(x) C。df(x) D.f(x)C

21. lnxdx（ A ）

A。xlnxxC B。lnxxC C。lnxx D.lnx

二、求积分（每题8分，共80分）

1．求cosxsinxdx2。 求

．

343lnxdx． x3。 求arctanxdx． 4。 求edx 5。 求

3xx3x25x6dx．

6. 求定积分7。 计算8. 求

dx．

013x80x2cosxdx．

1x22x8dx．

9。 求

dx13x2．

2111. 求

2xexdx

2212。 求3x3x3dx

13。 求

e1ln2xdx x214。求x3xdx

三、解答题

11. 若lim3xax2x1,求a

x61322.讨论函数f(x)x2x3x3的单调性并求其单调区间

3



x2x23。 求函数f(x)的间断点并确定其类型

x24。 设xy2sinxexy,求y.

(x1)3x25. 求y的导数．

(x3)5xacost6。 求由方程 确定的导数yx。

ybsint1xe,x07. 函数f(x)1,x0在x0处是否连续？

tanx,x01xe,x08. 函数f(x)1,x0在x0处是否可导?

tanx,x029. 求抛物线yx与直线yx所围成图形D的面积A。

210. 计算由抛物线y2x与直线yx4围成的图形D的面积A。

11。 设y是由方程ysinyxe确定的函数，求y

y12.求证: lnxx1,x1

13。 设y是由方程y1xe确定的函数，求y

14. 讨论函数f(x)2x9x12x3的单调性并求其单调区间

32y15。求证: ex2x1,

x(1x)16. 求函数f(x)的间断点并确定其类型

xx3

五、解方程

1。 求方程ydx(xxy)dy0的通解。

222.求方程yyy20的通解。

3。 求方程y2yyx的一个特解. 4。 求方程y5y9y5xe

高数一复习资料参

一、选择题 1—5： DABAA 6-10：DBCDD 11—15： BCCBD 16—21:ABAAAA

二、求积分

1．求cosxsinxdx解:cosxsinxdx．

3x2的通解。

232sinxd(sinx)sin2xCsin3xC

332. 求

343lnxdx． x解：

311143lnx3dx(43lnx)d(lnx)(43lnx)3d(43lnx) x341(43lnx)3C． 43。 求arctanxdx．

解：设uarctanx，dvdx,即vx，则

arctanxdxxarctanxxd(arctanx)

x1x2dx 1 xarctanxln(1x2)C．

2 xarctanx4。 求edx 解：edx33xxxt3t22t2tt2tte3tdt3tedt3te3e2tdt3te6tedt

3t2et6tet6etdt3t2et6tet6etC



3ex(3x223x2)C． 5. 求

3x3x25x6dx．

x356解：由上述可知2，所以 x5x6x2x3x35611dx()dx5dx6x25x6x2x3x2x3dx

5lnx26lnx3C．

6. 求定积分dx． 301x8解：令3xt，即xt3，则dx3t2dt,且当x0时，t0；当x8时,t2,于是

223tdtdx1223ttln(1t)3ln3． 013x01t208 7. 计算

0x2cosxdx．

解：令ux2，dvcosxdx,则du2xdx，vsinx,于是

0x2cosxdxx2dsinx(x2sinx)002xsinxdx2xsinxdx．

00再用分部积分公式，得



8。 求

0xcosxdx220xdcosx2(xcosx)00cosxdx

0 2(xcosx)sinx02．

1x22x8dx．

解：

1113(x1)dxd(x1)lnC x22x8(x1)2963(x1)12xlnC． x 9。 求

dx13x2．

3解:令ux2,则xu32,dx3u2du,从而有

dx3u2u211du3du 1u13x21u1u2)du3(uln1u)C 3(u11u211。 求

解:

1212xexdx

x2222xe2dxe12x2dxe2x221e4e1

12. 求3x3x3dx

2解：3x

13. 求

3xdx332323xd(3x)(3x)C

333e1ln2xdx x解：

e1eln2x111dxln2xd(lnx)lnxlne

1x3331e14。求x3xdx

3311212222223xd(3x)(3x)C(3x)C 解：x3xdx223322

三、解答题

11。 若lim3xax2x1,求a

x6解：因为3xaxx129x2ax2x13xaxx12，所以a9

否则极限不存在。

12。讨论函数f(x)x32x23x3的单调性并求其单调区间

3解：f'(x)x24x3

由f'(x)x24x30得x11,x23

所以f(x)在区间(,1)上单调增，在区间(1,3)上单调减,在区间(3,)上单调增。

x2x23。 求函数f(x)的间断点并确定其类型

x2解：函数无定义的点为x2，是唯一的间断点。 因limf(x)3知x2是可去间断点.

x24. 设xy2sinxexy,求y.

解：y22xyycosxexy(yy)，

y(exyy)cosx故 y

x(2yexy)

(x1)3x25。 求y的导数．

(x3)5解：对原式两边取对数得：

1lny3ln(x1)ln(x2)5ln(x3),

2于是

y3115, yx12x2x3(x1)3x23115[]. 故 y5x12x2x3(x3)

xacost6. 求由方程 确定的导数yx。

ybsinty(t)bcostb2x2. 解： yxx(t)asintay1xe,x07。 函数f(x)1,x0在x0处是否连续？

tanx,x0

1x解:limf(x)lime0 x0x0x0limf(x)limtanx0 x0故在x0处不连续。

1xe,x08. 函数f(x)1,x0在x0处是否可导？

tanx,x0f(x)f(0)e1lim

x0x0xx所以在x0处不可导。 解:因为lim

2yx9。 求抛物线与直线yx所围成图形D的面积A.

1x

yxx0x1,解： 求解方程组，见图6—9，所以该2得直线与抛物线的交点为yxy1y0图形在直线x0与x=1之间,yx2为图形的下边界,yx为图形的上边界，故

x31122Axxdxx。

020306111

210. 计算由抛物线y2x与直线yx4围成的图形D的面积A。

y22x解:求解方程组得抛物线与直线的交点(2,2)和(8,4)，见图6-10，下面分两种

yx4方法求解。

y2 方法1 图形D夹在水平线y2与y4之间，其左边界x，右边界xy4,

2故 Ayyyy4dy4y218。 226242234方法2 图形D夹在直线x0与x8之间，上边界为y2x，而下边界是由两条曲线y2x与yx4分段构成的，所以需要将图形D分成两个小区域D1，D2，故

A202x(2x)dx2xx4dx

228832232x22x22x24x18.

30322

11. 设y是由方程ysinyxe确定的函数，求y 解:两边对x求导得

yy'y'cosyeyxeyy'

ey整理得y'

1cosyxey12。求证： lnxx1,x1 证明：令f(x)(x1)lnx

因为f'(x)11x10 xxx1。

所以f(x)0，

13. 设y是由方程y1xe确定的函数，求y 解：两边对x求导得

yy'eyxeyy'

ey整理得y' y1xe14。 讨论函数f(x)2x9x12x3的单调性并求其单调区间

32解： f'(x)6x218x12

由f'(x)6x18x120得x11,2x22

所以f(x)在区间(,1)上单调增,在区间(1,2)上单调减，在区间(2,)上单调增。

15.求证： ex2x1 证：令f(x)ex2x1

因为f'(x)e20得xln2，又因为f(ln2)22ln210 所以f(x)0。

x16。 求函数f(x)x(1x)的间断点并确定其类型 3xx解：由分母xx30得间断点x0,x1。 因limf(x)1知x0是可去间断点;

x01x1知x1也是可去间断点

x1x11x221x1因limf(x)lim知x1也是可去间断点 x1x11x22

因limf(x)lim

四、解方程

1。 求方程ydx(xxy)dy0的通解。

22

解 原方程可化为

dyy2 ， 2dxxyx上式右边分子分母同除x2得

y()2dyx,

dxy1xydydu此为齐次方程，因而令u，则代入上式得 uxxdxdxduu2 ux， dxu1dxu1du， xu两边积分得 lnxulnulnC，

分离变量得

eu从而有 xc,

uy用u回代即得原方程的通解 yCex.

x

y2。 yyy20

解：原方程可化为:

d(yy')0 dx积分得：yy'c1………………………………………………4分

dy2c1 即dx2积分得yc1xc2………………………………………………8分

3. 求方程y2yyx的一个特解.

2解 由于方程中q10且P2(x)x，故可设特解为

2 yAxBxC，

2

则 y2AxB,y2A。 代入原方程有

Ax(4AB)x(2A2BC)x。

22A1比较两边同次幂的系数得4AB0，

2A2BC0解得 A1,B4,C6， 所以，所求的特解为

yx4x6。 4。 求方程y5y9y5xe3x2的通解。

解 分两步求解。

（1） 求对应齐次方程的通解。 对应齐次方程 y5y9y0， 特征方程为 r26r90, 解得 r1r23。

于是得到齐次方程y5y9y0的通解为

3x Y(C1C2x)e.

（2） 求原方程的一个特解

因为3是特征方程的重根，Pn(x)5x是一次式,所以可设 yx(AxB)e23x,

3x323Ax(3A3B)x2Bx求导得 ye,

3x32 ye9Ax(18A9B)x(6A12B)x2B,

代入原方程并约去e3x得

6Ax2B5x, 比较等式两边的系数得 6A5,

2B0

5A解得 6。

B0从而得原方程的一个特解 y于是原方程的通解为

yyY(x3CxC)e3x. 533xxe. 65621