三角函数的图像与性质(名师经典总结)

三角函数的图像与性质（正弦、余弦、正切）

【知识点1】函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象性质

性质 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 一周期简图 最小正周期 奇偶性 增区间 单调性 减区间 对称轴 对称性 对称 中心 2π 奇函数 2π 偶函数 [2kπ＋π，2kπ＋2π]，k∈Z [2kπ，2kπ＋π]，k∈Z x＝kπ，k∈Z π 奇函数 ππ[2kπ,2kπ],kZ 22π3π(2kπ,2kπ),kZ 22πxkπ,kZ 2(kπ，0)，k∈Z ππ[kπ－,kπ],kZ 22上是增函数 π(kπ,0),kZ 2对称中心(kπ,0),kZ 2题型1：定义域

例1：求下列函数的定义域 (1)y 题型2：值域 例2：求下列函数值域 (1)y2sinx,x(

(4)函数y2cos(x

1

1cos2x2； (2)ysin2x (2)y=12cos(x) (4)y=2sinx1lg(4x)

3cosxπ2ππππ5,) (2)y=2sin(2x-),x, (3) y2cos(2x),x(,) 6332334612π)1的最大值以及此时x的取值集合 6三角函数的图像与性质

题型3：周期

例3：求下列函数的周期： （1）f(x)=2sin2x (2)y=cos(例4： 若函数f(x)2sin(2kx1x) (3)y=tan(2x) （4）y=sinx 2343)的最小正周期T满足1T2,则自然数k的值为______.

例5：若f(x)2sinx(01)在区间[0,3]上的最大值是2，则=________.

例6：使ysinx（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为【 】

A ．

52 B．

54C．π

D．32

例7：设函数f(x)=2sin(

2x5),若对于任意的xR,都有f(x1)f(x)f(x2)成立，则x1x2的最小值是

A.4 B.2 C.1 D.题型4：奇偶性 例8：函数y＝sin（x＋

1 22）（x∈［－

2，

2］）是【 】

C.偶函数

D.奇函数

A.增函数 B.减函数 例9：判断下列函数的奇偶性 (1)y=xsin(x) (2)y=

cosx

1sinx例10：已知函数f(x)=x3cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=________ 题型5：单调性

例11：函数y=log1 sin(2x+

2)的单调递减区间是【 】 4,kπ］(k∈Z) B.（kπ－,kπ+］(k∈Z) 48833C.（kπ－π,kπ+］(k∈ D.（kπ+,kπ+π］(k∈Z)

8888A.（kπ－例12：.求ylog1cos(x)34的单调区间12

12π3ππ (3)y2sin(2x) ),x[π,0]；

36例13：求下列函数的单调增区间(1)ycos(x); (2) y2sin(2x

例14：（1）求函数y=2sin(2x-

1)的单调递减区间。 （2）求函数y=sin(2x),x0,的递增区间。

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三角函数的图像与性质

例15：下列函数中，周期为，且在A.y=sin(2x+

,上为减函数的是【 】 42) B.y=cos(2x+) C.y=sin(x+) D.y=cos(x+) 2222例16：函数y=sinx的一个单调增区间是【 】

A.3, B.,44443 C.,23 D.,2 2【考点4】三角函数的对称性与特征方程

总结：

π1：ysinx的对称中心是(kπ， 对称轴为xkπ，kZ．对于：yAsin(x)(A0,0) 0)，kZ，

2①对称中心的特征方程： ②对称轴的特征方程： ③最大值的特征方程： ④最小值的特征方程： ⑤最值的特征方程：

π2：ycosx的对称中心是kπ，对称轴为xkπ，kZ．对于：yAcos(x)(A0,0) 0，kZ，

2①对称中心的特征方程： ②对称轴的特征方程：

③最大值的特征方程： ④最小值的特征方程： ⑤最值的特征方程：

kπ3：函数ytanx的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心为，0kZ

2对于：yAsin(x)(A0,0) 其对称中心的特征方程： 题型6：对称性

)的对称轴和对称中心。 61π例18：(1)函数y2sin(x)的一条对称轴方程为【 】

234π5ππA．x B．x C．x

363例17：求函数y=3sin(2x+

D．x2π 33

三角函数的图像与性质

例19：函数的图象关于【 】

Ａ．x轴对称 Ｂ．原点对称 Ｃ．y轴对称 Ｄ．直线对称

例20：函数ysin(2x)(0)是R上的偶函数，则的值是【 】 A．0 B．

 C. D. 42例21：函数f(x)=3sin(x)对任意的x都有f(A3或0 B.-3或0 C.0 D.-3或3 例22：函数y=sin(2x-

x)f(x)成立，则有f()【 】

66625)的一条对称轴为【 】A.x= B.x= C.x= D.x=

312336例23：函数y=-2sin(2x+),2的一条对称轴是x=

,求的值。. 3例24：函数y=3cos(2x+)的图像关于点A

4,0对称，则的最小值是【 】 3 B. C. D. 32例25：函数y2与y1=2sin(x-)的图像关于直线x=2对称，求y2的解析式。

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题型7：周期性、奇偶性、单调性、对称性的综合应用

知识点1.周期性：若f(x+T)=F(x),则T是函数f(x)的一个周期。即函数图像每隔T重复出现。 知识点2.对称性：若f(a+x)=f(a-x),或f(x)=f(2a-x),则函数图像关于直线x=a对称。 例26：下列函数中，既是（

，π）上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是【 】 2A．y＝｜sinx｜ Ｂ．y＝sin｜x｜ Ｃ．y＝｜cos2x Ｄ．y＝cos｜2x｜

例27：函数f(x)=cos2x+sin(2+x)是【 】

A.非奇非偶函数 C.仅有最大值的偶函数

B.仅有最小值的奇函数

D.既有最大值又有最小值的偶函数

例28：若函数yf(x)同时具有下列三个性质：（1）最小正周期为；（2）图象关于直线x在区间3 对称；（3）

,上是增函数．则yf(x)的解析式可以是【 】 63A．ysin(

x) B．ycos(2x) C ysin(x2 )D．ycos(2x) 2636

三角函数的图像与性质

题型8：函数图像 例29：函数ylncosx(π2xπ2)的图象【 】

例30：函数y＝tanx＋sinx－｜tanx－sinx｜在区间(π2,3π2)内的图象大致是【 】

例31：函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］的大致图象是【 】

题型9：三角函数交点个数

例32： 【 】 A.5 B.4 C.3 D.2 例33：方程2cos(x4)1在区间(0,)内的解是 ．

题型9：三角函数的综合

例34：已知函数f(x)2sin(2x4)

（1）求函数的定义域； （2） 求函数的值域； （3） 求函数的周期； （4）求函数的最值及相应的x值集合； （5）求函数的单调区间； （6）若x[0,34]，求f(x)的取值范围；

（7）求函数f(x)的对称轴与对称中心； （8）若f(x)为奇函数，[0,2)，求；若f(x)为偶函数，[0,2)，求。

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