小学数学比例解行程问题含答案

知识框架

比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。

从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。

我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时s乙来表示，大体可分为以下两种情况： 间、路程分别用v甲,v乙；t甲,t乙；s甲，1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就

等于他们的速度之比。

s甲v甲t甲ss，这里因为时间相同，即t甲t乙t,所以由t甲甲，t乙乙 v甲v乙s乙v乙t乙得到t

s甲v甲svs乙，甲甲，甲乙在同一段时间t内的路程之比等于速度比 v乙s乙v乙2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之

比等于他们速度的反比。

s甲v甲t甲，这里因为路程相同，即s甲s乙s，由s甲v甲t甲，s乙v乙t乙 svt乙乙乙得sv甲t甲v乙t乙，

v甲v乙t乙，甲乙在同一段路程s上的时间之比等于速度比的反比。 t甲例题精讲

【例 1】甲、乙两人同时A地出发，在A、B两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲每次到

达A地、B地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在AB之间行走方向不会改变，已知两人第一次相遇的地点距离B地1800米，第三次的相遇点距离B地800米，那么第二次相遇的地点距离B地 。

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星

【题型】填空

【解析】 设甲、乙两人的速度分别为v1、v2，全程为s，第二次相遇的地点距离B地x米。

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由于甲的速度大于乙的速度，所以甲第一次遇到乙是甲到达B地并调头往回走时遇到乙的，这时甲、乙合走了两个全程，第一次相遇的地点与B地的距离为v1么第一次相遇的地点到B地的距离与全程的比为

v1v2； v1v2vv2ss12s，那v1v2v1v2两人第一次相遇后，甲调头向B地走，乙则继续向B地走，这样一个过程与第一次相遇前相似，只是这次的“全程”为第一次相遇的地点到B地的距离，即1800米。根据上面的分析可知第二次相遇的地点到B地的距离与第一次相遇的地点到B地的距离的比为

v1v2；v1v2类似分析可知，第三次相遇的地点到B地的距离与第二次相遇的地点到B地的距离的比为v1v2800x；那么，，得到x1200，故第二次相遇的地点距离B地1200米。 v1v2x1800【答案】1200

【巩固】 甲、乙两人都从A地经B地到C地。甲8点出发，乙8点45分出发。乙9点45分到达B地时，

甲已经离开B地20分。两人刚好同时到达C地。问：到达C地时是什么时间？

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星

【题型】解答

【解析】 10点33分。解：到达B地甲用85分，乙用60分，也就是说，甲走85分的路程，乙要少走25

分。由此推知，从B到C，乙要比甲少走20分，即乙要走60的时间为10点33分。

【答案】10点33分

【例 2】某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：“后面有骑自行车的人吗？”司机回答：“10

分前我超过一个骑自行车的人。”这人继续走了10分，遇到了这个骑自行车的人。如果自行车的速度是人步行速度的三倍，那么汽车速度是人步行速度的多少倍？

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星

【题型】解答

2048分。所以两人同时到C地25【解析】 7倍。提示：汽车行10分的路程，等于步行10分与骑车20分行的路程之和。 【答案】7倍

【巩固】 从甲地到乙地全部是山路，其中上山路程是下山路程的

2。一辆汽车上山速度是下山速度的一半，3从甲地到乙地共行7时。这辆汽车从乙地返回甲地需要多少时间？

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星

【题型】解答

【解析】 8时。 解：根据题意，上山与下山的路程比为2∶3，速度比为1:2，所用时间比为

21:322:

34:3。因为从甲地到乙地共行7时，所以上山用4时，下山用3时。 2五年级奥数.行程.比例解行程问题 .教师版

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如下图所示，从乙地返回甲地时，因为下山的速度是上山的2倍，所以从乙到丙用3×2＝6（时），从丙到甲用4÷2＝2（时），共用6＋2＝8（时）。

丙甲乙

【答案】8时

【例 3】甲火车4分行进的路程等于乙火车 5分行进的路程。乙火车上午8：00从B站开往A站，开出若

干分后，甲火车从A站出发开往B站。上午9：00两列火车相遇，相遇的地点离A，B两站的距离的比是15∶16。甲火车从A站发车的时间是几点几分？

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星

【题型】解答

【解析】 8点15分。解：从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为5∶4＝15∶12，而相遇点距A，

B两站的距离的比是15∶16，说明相遇前乙车所走路程等于乙火车1时所走路程的

161216【答案】8点15分

11，也就是说已走了时。所以甲火车发车时间是8点15分。 44【巩固】 甲、乙两列火车的速度比是5∶4。乙车先从B站开往A站，当走到离B站72千米的地方时，甲

车从A站发车开往B站。如果两列火车相遇的地方离A，B两站距离的比是3∶4，那么A，B两站之间的距离为多少千米？

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星

【题型】解答

【解析】 315千米。解：从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为5∶4＝15∶12，而相遇点距A，

B两站的距离之比是3∶4＝15∶20，说明相遇前乙车走的72千米占全程的

程为7220128，所以全

1520358315（千米） 35【答案】315千米

【例 4】甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生．为

了尽快到达飞机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场，汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生．如果甲、乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的7倍，那么汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达飞机场?

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星

【题型】解答

【解析】 设学生步行时速度为“1”，那么汽车的速度为“7”，有如下示意图．

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我们让甲班先乘车，那么当乙班步行至距学校l处，甲班已乘车至距学校7l处．此时甲班下车步行，汽车往回行驶接乙班，汽车、乙班将相遇．

汽车、乙班的距离为7l-l=6l，两者的速度和为7+1=8，所需时间为6l÷8=0.75l，这段时间乙班学生又步行0.75l的路程，所以乙班学生共步行l+0.75l=1.75l后乘车而行．

应要求甲、乙班同时出发、同时到达，且甲、乙两班步行的速度相等，所以甲班也应在步行1.75l路程后达到飞机场，有甲班经过的全程为7l+1.75l=8.75 l，应为全程．

所以有7l=24÷8.75×7=19.2千米，即在距学校19.2千米的地方甲班学生下车步行，此地距

飞机场24-19.2=4.8千米．

即汽车应在距飞机场4.8千米的地方返回接乙班学生，才能使两班同时到达飞机场． 【答案】4.8千米

【巩固】 小明和小光同时从营地回校执行任务，小光步行速度是小明的

4倍，营地有一辆摩托车，3只能搭乘一人，它的速度是小明步行速度的16倍。为了使小光和小明在最短时间内到达，小明和小光需要步行的距离之比是多少？

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星

【题型】解答

【解析】 11∶15。解：设开始时小光乘车，小明步行；车行至B点，小光下车步行，车调头去接小明；车

到A点接上小明后调头，最后小明、小光同时到达学校（见下图）。

由题中条件，车速是小明速度的16倍，是小光速度的12倍。

设从营地到A点的距离为a。当车接到小明时，小明走了a，车行了16a，因为车开到B后又返回到A，所以A到B的距离为7.5a。

车放下小光后，直到又追上小光，比小光多行15a。由于车速是小光的12倍，所以小光走的距离是车追上距离的

【答案】11:15

【例 5】甲、乙、丙三只蚂蚁从A、B、C三个不同的洞穴同时出发，分别向洞穴B、C、A爬行，同时到达

后，继续向洞穴C、A、B爬行，然后返回自己出发的洞穴。如果甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的路径

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11515，即a。小明和小光步行的距离之比是a:a11:15 111111相同，爬行的总距离都是7.3米，所用时间分别是6分钟、7分钟和8分钟，蚂蚁乙从洞穴B到达洞穴C时爬行了（ ）米，蚂蚁丙从洞穴C到达洞穴A时爬行了（ ）米。

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星 【解析】 2.4；2.1 【答案】2.4；2.1

【巩固】 在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行，6 分后两人相遇，再过4 分甲到达

【题型】填空

B 点，又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星

【题型】解答

【解析】 由题意知，甲行 4 分相当于乙行 6 分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系）

从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行 12 分，而乙行 12 分相当于甲行 8 分，所以甲环行一周需 12＋8＝20（分），乙需 20÷4×6＝30（分）.

【答案】30分

【例 6】小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路．小芳上学

走这两条路所用的时间一样多．已知下坡的速度是平路的1.6 倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星

【题型】解答

【解析】 设小芳上学路上所用时间为 2，那么走一半平路所需时间是1．由于下坡路与一半平路的长度相

同，根据路程一定，时间比等于速度的反比，走下坡路所需时间是11.6需要的时间是25，因此，走上坡路851111，那么，上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比，为1:8:11，8888倍． 11所以，上坡速度是平路速度的

【答案】

8倍 11【巩固】 每天早晨，小刚定时离家步行上学，张大爷也定时出家门散步，他们相向而行，并且准时在途中

相遇．有一天，小刚提早出门，因此比平时早 7 分钟与张大爷相遇．已知小刚步行速度是每分钟70 米，张大爷步行速度是每分钟 40 米，那么这一天小刚比平时早出门多少分钟？

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星

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【题型】解答

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【解析】 比平时早 7 分钟相遇，那么小刚因提早出门而比平时多走的路程为小刚和张大爷 7 分钟合走的

路程，所以当张大爷出门时小刚已经比平时多走了 （70 +40 ）×7 =770 米，因此小刚比平时早出门770 ÷70 =11分钟．

【答案】11分钟

【例 7】一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高20％，那么可以比原定时间提前1时到达；如果以原速

行驶100千米后再将车速提高30％，那么也比原定时间提前1时到达。求甲、乙两地的距离。

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星

【题型】解答

【解析】 360千米。解：时间与速度成反比，车速提高20%，所用时间为原来的

（时）。同理，车速提高了30%，所用时间是原来的

55，原来需要1166610。因为提前1小时到达，所以车速提高后13131013的这段路原来用11（时）。甲、乙两地相距10066360（千米）

3133【答案】360千米

【巩固】 王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，结果提前一个半小

时到达；返回时，按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高1/6，于是提前1 小时 40 分到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星

【题型】解答

【解析】 从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，即车速为原计划的10/9，则所用时间为原计划

的1÷10/9=9/10，即比原计划少用1/10的时间，所以一个半小时等于原计划时间的1/10，原计划时间为：1.5÷1/10=15(小时)；按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高1/6，即此后车速为原来的7/6，则此后所用时间为原计划的1÷7/6=6/7，即此后比原计划少用1/7的时间，所以1 小时 40 分等于按原计划的速度行驶 280 千米后余下时间的1/7，则按原计划的速度行驶 280 千米后余下的时间为：

5/3÷1/7=35/3(小时)，所以，原计划的速度为：84(千米/时)，北京、上海两市间的路程为：84 ×15= 1260(千米)．

【答案】1260千米

【例 8】一列火车出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的

3前进，最终到达目的地晚1.5 小43前进，则到达4时．若出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同样以原速的目的地仅晚1 小时，那么整个路程为多少公里？

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星

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【题型】解答

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【解析】 出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的

所以后面以原速的而速度为原来的

3前进，最终到达目的地晚1.5 小时， 43前进的时间比原定时间多用1.50.51小时， 434，所用时间为原来的， 434所以后面的一段路程原定时间为1(1)3小时，原定全程为 4 小时；

3出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同样以原速的仅晚1 小时，所以后面以原速的

3前进，则到达目的地43前进的时间比原定时间多用10.50.5小时 44所以后面的一段路程原定时间为0.5(1)1.5小时，

3类似分析可知又前进 90 公里后的那段路程需要：31.51.5小时 而原定全程为 4 小时，所以整个路程为 901.54240公里．

【答案】240公里

【巩固】 甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速

度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【解析】 甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲恰好到半山腰，

说明甲走过的路程应该是一个单程的 1×1.5+1/2=2 倍， 就是说甲下山的速度是乙上山速度的 2 倍。

两人相遇时走了 1 小时，这时甲还要走一段下山路，这段下山路乙上山用了 1 小时，所以甲下山要用1/2 小时。 甲一共走了 1+1/2=1.5（小时）

【答案】1.5小时

【例 9】甲、乙两人从相距 490 米的 A、 B 两地同时步行出发，相向而行，丙与甲同时从 A出发，在甲、

乙二人之间来回跑步(遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回)．已知丙每分钟跑 240 米，甲每分钟走 40 米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时，甲、乙二人相距 210 米，那么乙每分钟走________米；甲下一次遇到丙时，甲、乙相距________米．

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】4星 【解析】 如图所示：

【题型】填空

【题型】解答

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A甲丙DECB乙

假设乙、丙在C处相遇，然后丙返回，并在D处与甲相遇，此时乙则从走C处到E处．根据题意可知DE210米．由于丙的速度是甲的速度的6倍，那么相同时间内丙跑的路程是甲走的路程的6倍，也就是从A到C再到D的长度是AD的6倍，那么CD(6ADAD)22.5AD，

AC3.5AD，可见CD55AC．那么丙从C到D所用的时间是从A到C所用时间的，那么这77段时间内乙、丙所走的路程之和(CD加CE)是前一段时间内乙、丙所走的路程之和(AC加BC，即全程)的

55，所以CDCE490350，而CDCEDE210，可得CD280，CE70． 77相同时间内丙跑的路程是乙走的路程的280704倍，所以丙的速度是乙的速度的4倍，那么乙的速度为240460(米/分)，即乙每分钟走60米．

当这一次丙与甲相遇后，三人的位置关系和运动方向都与最开始时相同，只是甲、乙之间的距离改变了，变为原来的

2103，但三人的速度不变，可知运动过程中的比例关系都不改变，那么490733，为21090米． 77当下一次甲、丙相遇时，甲、乙之间的距离也是此时距离的

【答案】90米

【巩固】 A，B两地相距125千米，甲、乙二人骑自行车分别从A，B两地同时出发，相向而行．丙骑摩托

车以每小时63千米的速度，与甲同时从A出发，在甲、乙二人间来回穿梭(与乙相遇立即返回，与甲相遇也立即返回)．若甲车速度为每小时9千米，且当丙第二次回到甲处时(甲、丙同时出发的那一次为丙第零次回到甲处)，甲、乙二人相距45千米．问：当甲、乙二人相距20千米时，甲与丙相距多少千米?

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】4星 【解析】 我们设乙的速度为9x，即甲的x倍．

当乙、丙第一次相遇的时候，设甲走了“1”，则乙走了“x”，丙走了“7”，所以有“7”+“x”=125，于是“1”前行

【题型】解答

125，此时甲、丙相距“7”-“1”=“6”．这样丙第一次回到甲时，甲又向7x“6”“3”“3”“21”“3”3×9=,丙又行了“6”-，乙又行了所以，甲、乙此时相距x“x”63944444“21”33312537x“x”“(7x)”(7x)125千米. 44447x47x有丙第二次回到甲处的时，125千米的路程相当于百

37x125千米，即甲、乙相距47xPage 8 of 15

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37x777x167x412545，所以,,解得所以乙的速度为x9x9747x257x5997x22千米／小时．

37x343当第三次甲、丙相遇时，甲、乙相距45454527千米．

47x455381当第四次甲、丙相遇时，甲、乙相距27千米，而题中甲、乙相距20千米，此时应在甲、

55丙第三次和第四次相遇的某个时刻． 有208119199171而甲、乙的速度比为9：7，所以甲从甲、丙第四次相遇处倒退千米，5559780千米即可．

又因为丙的速度是甲的7倍，所以丙倒退的路程应为甲的7倍，于是甲、丙相距

171171(71)17.1千米 8010当甲、乙二人相距20千米时,甲与丙相距17.1千米.

评注：甲从A地往B地出发，乙从B地往C出发，丙从A地开始在甲乙之间来回往返跑动． 当甲丙第1次相遇时所需的时间为t，(甲、丙同时出发时，算第0次相遇) 则甲丙第2次相遇时还所需的时间为

v丙v甲v丙v甲v丙v乙v丙v乙t

2v丙v甲v丙v乙则甲丙第3次相遇时还所需的时间为vvvvt

丙甲丙乙v丙v甲v丙v乙则甲丙第n次相遇时还所需的时间为 vvvv丙甲丙乙n1t

由此可知,丙在相邻的2次相遇之间所走路程为等比数列.

【答案】17.1千米

【例 10】从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路与上坡

路的距离相等。陈明开车从甲地到乙地共用了 3 小时，其中第一小时比第二小时多走 15 千米，第二小时比第三小时多走 25 千米。如果汽车走上坡路比走平路每小时慢 30 千米，走下坡路比走平路每小时快 15 千米。那么甲乙两地相距多少千米？

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】5星

【题型】解答

【解析】 ⑴由于3个小时中每个小时各走的什么路不明确，所以需要先予以确定．

从甲地到乙地共用3小时，如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路，也就是说走上坡路的路程不需要1小时，那么由于下坡路与上坡路距离相等，而下坡速度更快，所以下坡更用不了1小时，这说明第一小时既走完了下坡路，又走了一段平路，而第二小时则是全在走平路．这样的话，

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由于下坡速度大于平路速度，所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走1小时的路程，而这个路程恰好比以平路的速度走1小时的路程(即第二小时走的路程)多走15千米，所以这样的话第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，不合题意，所以假设不成立，即第三小时全部在走上坡路．

如果第一小时全部在走下坡路，那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路，这样第二小时走的路程将大于以平路的速度走1小时的路程，而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，也不合题意，所以假设也不成立，故第一小时已走完下坡路，还走了一段平路． 所以整个行程为：第一小时已走完下坡路，还走了一段平路；第二小时走完平路，还走了一段上坡路；第三小时全部在走上坡路．

⑵由于第二小时比第三小时多走25千米，而走平路比走上坡路的速度快每小时30千米．所以第

51二小时内用在走平路上的时间为2530小时，其余的小时在走上坡路；

66因为第一小时比第二小时多走了15千米，而

11小时的下坡路比上坡路要多走30157.5千661小时，所以在第一小时中，有2米，那么第一小时余下的下坡路所用的时间为157.5151121小时是在下坡路上走的，剩余的小时是在平路上走的． 2633因此，陈明走下坡路用了

215717小时，走平路用了小时，走上坡路用了1小时． 33666627⑶因为下坡路与上坡路的距离相等，所以上坡路与下坡路的速度比是:4:7．那么下坡路的

36速度为30157105千米/时，平路的速度是每小时1051590千米，上坡路的速度是每74小时903060千米．

277那么甲、乙两地相距1059060245(千米)．

366【答案】245千米

【巩固】 一座石台的下底面是边长为10米的正方形，它的一个顶点A处有一个虫子巢穴，虫甲每分爬6

厘米，虫乙每分爬10厘米，甲沿正方形的边由A→B→C→D→A不停的爬行，甲先爬行2厘米后，乙沿甲爬行过的路线追赶甲，当乙遇到甲后，乙就立即沿原路返回巢穴，然后乙再沿甲爬行过的路线追赶甲……在甲爬行的一圈内，乙最后一次追上甲时，乙爬行了多长时间？

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星

【题型】解答

【解析】 213分。解：见下表，其中“乙下次要比甲多爬行的路程”＝“甲已爬行路程”×2。

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由上表看出，第 6次追上时，甲已爬行一圈多了，所以最后一次是第 5次追上，此时，乙共爬行0.5＋2.5＋10＋40＋160＝213（分）。

【答案】213分

课堂检测

【随练1】甲、乙两人同时从 A地出发到 B 地，经过 3 小时，甲先到 B 地，乙还需要 1 小时到达 B 地，

此时甲、乙共行了 35 千米．求 A， B 两地间的距离．

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【解析】 甲、乙两个人同时从A地到B地，所经过的路程是固定

所需要的时间为：甲3个小时，乙4个小时（3+1） 两个人速度比为：甲：乙=4：3

当两个人在相同时间内共行35千米时，相当与甲走4份，已走3份， 所以甲走：35÷（4＋3）×4=20（千米），所以，A、B两地间距离为20千米

【答案】20千米

【随练2】一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高 20%可以提前1小时到达．如果按原速行驶一段距离

后，再将速度提高 30% ，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星

【题型】解答

【题型】解答

5【解析】 车速提高 20%，即为原速度的6/5，那么所用时间为原来的5/6，所以原定时间为1(1)6小

6时；如果按原速行驶一段距离后再提速 30% ，此时速度为原速度的13/10，所用时间为原来的10/13，所以按原速度后面这段路程需要的时间为1(1101所以前面按原速度行使的)4小时．

1331555时间为64小时，根据速度一定，路程比等于时间之比，按原速行驶了全部路程的6

33318【答案】

【随练3】兄弟两人骑马进城，全程51千米。马每时行12千米，但只能由一个人骑。哥哥每时步行5千

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5 18米，弟弟每时步行4千米。两人轮换骑马和步行，骑马者走过一段距离就下鞍拴马（下鞍拴马的时间忽略不计），然后独自步行。而步行者到达此地，再上马前进。若他们早晨6点动身，则何时能同时到达城里？

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星

【题型】解答

【解析】 下午1点45分。解：设哥哥步行了x千米，则骑马行了（51－x）千米。而弟弟正好相反，步行

了（51－x）千米，骑马行x千米。由哥哥骑马与步行所用的时间之和与弟弟相等，可列出方程 解得x=30（千米）。所以两人用的时间同为分到达。

【答案】下午1点45分

【随练4】如图5，甲、乙两地相距360千米，一辆卡车载有6箱药品，从甲地开往乙地，同时，一辆摩托

车从乙地出发，与卡车相向而行，卡车速度是40千米/小时，摩托车速度是80千米/小时。摩托车与卡车相遇后，从卡车上卸下2箱药品运回乙港。摩托车到达乙地卸下药品后，又立即掉头…摩托车每次与卡车相遇，都从卡车上卸下2箱药品运回乙地，那么将全部的6箱药品都运送到乙地至少需要多少时间？这时摩托车一共行驶了多少路程？

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】4星

【题型】解答

x51x51xx.早晨6点动身，下午1点45512412【解析】 由于摩托车是卡车速度的2倍，因此，每次相遇过程汽车走全程的1/3，

摩托车掉头后走到终点时，汽车再走全程的1/3，

也就是说摩托车每完成一次运输，汽车都要走全程的2/3，从而， 第一次汽车走了360第二次汽车走了120第三次汽车走了402240，剩余360240120 3280，剩余1208040 32808040 ，最后剩余403333402）408小时。 33可见汽车共走了（36021而摩托车共走了880693千米。

331【答案】693千米

3

作业检测

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【作业1】上午 8 点整，甲从 A地出发匀速去 B 地，8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速去 A地的乙相遇；

相遇后甲将速度提高到原来的 3 倍，乙速度不变；8 点 30 分，甲、乙两人同时到达各自的目的地．那么，乙从 B 地出发时是 8 点几分．

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星

【题型】解答

【解析】 甲、乙相遇时甲走了 20 分钟，之后甲的速度提高到原来的 3 倍，又走了 10 分钟到达目的地，

根据路程一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后面的路甲需要走10× 3= 30分钟，所以前后两段路程的比为 20 : 30 =2 : 3，由于甲走 20 分钟的路程乙要走 10 分钟，所以甲走 30 分钟的路程乙要走 15 分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了 15 分钟，所以乙从 B 地出发时是 8 点5 分．

【答案】8 点5 分

【作业2】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。出发时他们的速度之比是3：2，相遇后，甲

1的速度提高20%，乙的速度提高，这样当甲到达B地时，乙离A地还有41千米，那么A、B两

3地相遇__________千米。

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星 【解析】

【题型】填空

相遇前 V甲:V乙3:2

54 相遇后 V甲:V乙3:227:20

63 ∴4141135km 如图！ 125 即 AB135km 【答案】135km

【作业3】B地在A，C两地之间．甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送另一

封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到

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把信调过来后返回B地至少要用多少时间。

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星

【题型】解答

【解析】 根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：

A10分钟10分钟B10分钟C

因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如下：

（1） 若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走两倍乙走需要10分钟，所

以丙用时间为：10÷（3－1）=5（分钟）此时拿上乙拿错的信

A10分钟10分钟B10分钟5分钟5分钟C

当丙再回到B点用5分钟，此时甲已经距B地有10＋10＋5＋5＝30（分钟），同理丙追及时间为30÷（3－1）=15（分钟），此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信 在给乙送信，此时乙已经距B地：10＋5＋5＋15＋15=50（分钟）， 此时追及乙需要：50÷（3－1）=25（分钟），返回B地需要25分钟 所以共需要时间为5＋5＋15＋15＋25＋25=90（分钟）

（2） 同理先追及甲需要时间为120分钟

【答案】90分钟

【作业4】早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午 1 点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午 2 点

时两人之间的距离是 15 千米．下午 3 点时，两人之间的距离还是 l5 千米．下午 4 点时小王到达乙地，晚上 7 点小张到达乙地．小张是早晨几点出发？

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星

【题型】解答

【解析】 从题中可以看出小王的速度比小张快．下午 2 点时两人之间的距离是 l5 千米．下午 3 点时，

两人之间的距离还是 l5 千米，所以下午 2 点时小王距小张 15 千米，下午 3 点时小王超过小张 15千米，可知两人的速度差是每小时 30 千米．由下午 3 点开始计算，小王再有 1 小时就可走完全程，在这 1 小时当中，小王比小张多走 30 千米，那小张 3 小时走了15 30 45  千米，故小张的速度是 45 ÷3 =15千米/时，小王的速度是15 ＋30 =45千米/时．全程是 45 ×3 =135千米，小张走完全程用了135 ＋15= 9小时，所以他是上午 10 点出发的。

【答案】10 点

【作业5】甲、乙两车分别从A，B两地同时相向开出，4时后两车相遇，然后各自继续行驶3时，此时甲

车距B地10千米，乙车距A地80千米。问：甲车到达B地时，乙车还要经过多少时间才能到达A地？

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【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 1时48分。解：由4时两车相遇知，4时两车共行A，B间的一个单程。相遇后又行3时，剩下

的路程之和10＋80＝90（千米）应是两车共行4－3＝1（时）的路程。所以A，B两地的距离是 （10＋80）÷（4－3）×4＝360（千米）。

因为7时甲车比乙车共多行80－10＝70（千米），所以甲车每时比乙车多行 70÷7＝10（千米），又因为两车每时共行90千米，所以每时甲车行 50千米，乙车行40千米。行一个单程，乙车比甲车多用

360÷40－360÷50＝9－7.2＝1.8（时）＝1时48分。

【答案】1时48分

3【作业6】一辆汽车按计划行驶了1小时，剩下的路程用计划速度的继续行驶，到达目的地的时间比计划

5的时间迟了2时。如果按计划速度行驶的路程再增加 60千米，那么到达目的地的时间比计划时间只迟1时。问：计划速度是多少？全程有多远？

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星

【题型】解答

【解析】 40千米／时；160千米。提示：按计划速度多行驶60千米可以少迟到1时，那么按计划速度多

行驶120千米就可以按时到达，即行驶1时后还剩120千米。设计划速度为x千米/时，则有1201202。

3xx5【答案】40千米／时

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