圆锥曲线-椭圆专题讲义 教师版

教学内容 一、 知识梳理

名 称 椭 圆 y 图 象 Ox 定 义 平面内到两定点F1,F2的距离的和为常数（大于F1F2）的动点的轨迹叫椭圆，即MF1MF22a 当2a﹥2c时，轨迹是椭圆， 当2a=2c时，轨迹是一条线段F1F2 当2a﹤2c时，轨迹不存在 标准方程 x2y2焦点在x轴上时： 221 aby2x2焦点在y轴上时：221 ab注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上 222 acb，ab0， 常数a,b,c的关系 a最大，cb,cb,cb 椭圆共有四个顶点： A(a,0),A2(a,0)，B(0,b),B2(0,b)加两焦点F1(c,0),F2(c,0)共有六个特殊点 A1A2叫椭圆的长轴，B1B2叫椭圆的短图像性质 轴．长分别为2a,2b a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。 重点题型 第二定义、轨迹方程、定点问题、最值问题、韦达定理等

二、课堂训练

例1. （第二定义）已知曲线C上动点P(x,y)到定点F1(3,0)与定直线l1:x433的距离之比为常数． 32（1）求曲线C的轨迹方程；

1（2）若过点Q(1,)引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，求弦AB所在的直线方程；

2

【小结:椭圆第二定义】

1.椭圆第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数

c e(0e1)的动点M的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为a椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。

22xy对1(ab0)对应于右焦点F(c，0)的准线称为右准线， 注意：① 222ab22aa 方程是x，对应于左焦点F(c，0)的准线为左准线x1cc

②e的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。 2. 焦半径及焦半径公式：

椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。

22xy于椭圆1(ab0)，设P(x，y)为椭圆上一点，由第二定义： 对 2ab2rcca左焦半径2∴rex·aex 左 00左acaax0c第 2 页 共 7 页

c右焦半径2raex 0右aax0cy21，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，例2.（轨迹方程）设椭圆方程为x42r右点P满足OP111(OAOB)，点N的坐标为(,)，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程； 222

【小结】：一般的，求一点的轨迹方程的思路是先把这一点坐标设出来（x,y）,然后找x与y之间的关系式。

x2y2例3.（弦长与面积）已知椭圆221(ab0)，左右焦点分别为F1,F2，长轴的一个端点与短

ab轴两个端点组成等边三角形，直线l经过点F2，倾斜角为45，与椭圆交于A,B两点.

（1）若｜F1F2|22，求椭圆方程； （2）对（1）中椭圆，求ABF1的面积；

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2【小结】： |AB|1k·|xx|1k·AB2△ |a|x2y21的左、右焦点. 例4.（韦达定理）设F1、F2分别是椭圆4（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1PF2的最大值和最小值;

（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.

x2y2a2→

例5.（最值问题）设椭圆M：2＋＝1(a>2)的右焦点为F1，直线l：x＝2与x轴交于点A，若OF1

a2a－2

→

＋2AF1＝0(其中O为坐标原点)．

(1)求椭圆M的方程；

(2)设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2＋(y－2)2＝1的任意一条直径(E，F为直径的两个端点)，→→求PE·PF的最大值．

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6x2y23两点，过原点例6．（定点定值问题）已知椭圆C：221（ab0）经过(1,1)与,2ab2的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足|MA||MB|．

（1）求椭圆C的方程；

y M A 112（2）求证：为定值． 222|OA||OB||OM|

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三、综合强化

x2y221. 已知椭圆C:221(ab0)的一个焦点为F(1,0)，点(1,)在椭圆C上，点T满足

ab2OTa2ab22，过点F作一直线交椭圆于P、Q两点 . OF（其中O为坐标原点）

(1)求椭圆C的方程； (2)求PQT面积的最大值；

x2y21的两焦点分别为F1、F2，P是椭圆在第一象限内的一点，并满足PF1PF21，2. 已知椭圆

42过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点.

（1）求P点坐标；

，2)时，求直线AB的方程； （2）当直线PA经过点(1 （3）求证直线AB的斜率为定值.

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x2y23. 椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l与椭圆C

ab相交于A，B两点，且AF2，AB，BF2成等差数列． (1）求证：AB

4. 椭圆T的中心为坐标原点O，右焦点为F(2,0)，且椭圆T过点E(2,2). 若ABC的三个顶点都在椭圆T上，设三条边的中点分别为M、N、P. （1）求椭圆T的方程； （2）设ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1、k2、k3，且ki0,i1,2,3. 若直线4a；(2）若直线l的斜率为1，且点(0,1)在椭圆C上，求椭圆C的方程． 3OM、ON、OP的斜率之和为0，求证：

111为定值. k1k2k3第 7 页 共 7 页