小学数学奥数基础教程(六年级)
本教程共30讲
列表法
在四年级讲还原问题（逆推法）和逻辑问题时，我们使用的就是列表法。对于一些计算比较简单，而且多次重复计算的问题，使用列表法，表达简洁，不易出错，如例1；有些问题，条件不断变化，不便统一列式计算，也应采用列表法，如例2、例3；还有些问题，无法列式计算，只能采用列表推演，如例4、例5。总之，使用列表法可以解决许多复杂而有趣的问题。
例1 一个运动队进行翻山训练，往返于一座山两侧山脚下的A，B两地。从A地出发，上山路长3000米，每分钟行75米；下山每分钟行100米，用42分钟到达B地。如果上、下山的速度不变，那么从A地到B地，再从B地返回A地，共需多长时间？
分析与解：这是一道很简单的题目，只需利用时间、路程、速度的关系，就可以得到结果。因为从A地到B地，要先上山再下山，从B地返回A地，又要先上山再下山，中间经过四次变化。为了减少计算错误，可以利用列表法。
先将已知的数据填入下表：
再根据时间、路程、速度的关系，从上到下，由已知的两个求出另一个，边计算边填表，得到下表：
由上表得到往返所需时间为
40＋42＋56＋30＝168（分）=2时48分。
例2 有100个人，第一位带了3元9角钱，以后每位都比前一位多带1角钱。每人把自己的钱全部用来买练习本。练习本有每本8角与每本5角的两种。如果每人尽可能买5角一本的，那么这100人共买了多少本每本8角的练习本？
分析与解：因为每人带的钱数不同，所以不可能统一列式计算。可以采用列表法，然后从表中发现规律。填表计算时注意，一要尽量多买5角一本的，二要把钱用完。
由于44角比39角多5角，所以可多买1本5角的，而8角1本的买的数量相同。类似地，45角比40角多5角等等。由此看出，所买8角一本的本数随钱数增加呈周期规律，一个周期内有五个数：3，0，2，4，1（本）。所以100个人共买8角一本的
（3＋0＋2＋4＋1）×（100÷5）=200（本）。
例3 甲、乙二人进行汽车比赛。第一分钟内甲的速度是6.6米/秒，乙的速度是2.9米/秒。以后每分钟内的速度，甲总是前一分钟的2倍，乙总是前一分钟的3倍。问：出发后多长时间乙追上甲？
分析与解：因为两人的速度都在变化，不好统一列式计算，我们可以列一个表观察一下。
由上表看出，乙在出发后3分多钟追上甲。从3分钟后开始计算，乙追上甲还需
（2772-2262）÷（2.9×33-6.6×23）
＝510÷25.5=20（秒）。
所以，出发后3分20秒乙追上甲。
例4 一只大桶装了10升水，另外有恰好能装3升和7升水的桶各一只。怎样才能只利用这三只桶把这10升水平均分为两份？
分析与解：这道“桶分液体”的古题根本无法列式计算，就是找到了正确方法，叙述
整个倒水过程也很繁杂不便。我们列表来表示具体倒法，其中箭头表示从箭头尾部的桶中将水倒入箭头指向的桶中。列表使倒水的过程一目了然，既有利于对问题的思考，又简化了文字叙述。
在例4中，始终按从大桶向7升桶倒水，从7升桶向3升桶倒水，从3升桶向大桶倒水的方向操作。如果在倒水的过程中，出现从这桶倒向那桶，又从那桶倒回这桶（这两步不一定挨着），那么这个操作毫无意义，肯定可以简化掉。
例5甲、乙、丙三只盘子里分别盛着6个苹果。小明按下面的方法搬动5次：
第1次，把1个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去；
第2次，把2个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去；
第3次，甲盘不动，把3个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去；
第4次，乙盘不动，把4个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去；
第5次，丙盘不动，把5个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去。
最后发现，甲、乙、丙三只盘子里依次盛有4，6，8个苹果。你知道小明是怎样搬动
的吗？
分析与解：关键在于确定每次搬动是从哪只盘子里搬到哪只盘子里。前两次搬动，每次可以有6种不同选择；后三次搬动，因为固定了一只盘子，所以每次只有2种不同选择。显然，从后向前逆推比较容易。逆推过程见下页表，其中圈起来的数字是题目条件规定不动的，箭头表示从哪只盘子里搬到哪只盘子里。
因为第五次丙盘不动，由搬动后甲盘中只有4个苹果，它不可能是接受5个苹果的，所以第五次是从甲盘中搬走5个苹果到乙盘。于是得到下表中“第四次”后的情况。
第四次乙盘不动，或者从甲盘搬到丙盘，或者从丙盘搬到甲盘。若是从甲盘搬到丙盘，因为搬完后甲盘有9个苹果，搬前应有9＋4=13（个）苹果，可是甲盘初始时有6个苹果，就是前三次搬动的苹果都给甲盘，也只有6+1+2＋3=12（个）苹果，与13个苹果矛盾。所以第四次是从丙盘搬4个苹果到甲盘。于是得到下表中“第三次后”的情况。
类似地可以得到“第二次后”的情况。
最后，为满足“初始状态”各盘都是6个苹果，可得到第一次、第二次搬动的情况。
练习22
1.小明骑自行车从A地到B地去送信，先走了一段上坡路，用了14分钟，又走了一段3000米长的平路，最后下坡用了11分40秒。已知小明骑车上坡、走平路、下坡时的速度分别为2.5米/秒、4米/秒、6米/秒，求小明从A地到B地，再返回A地所用的时间。
2.北京、上海、天津、山东、江苏、广东六个足球队进行单循环比赛，即每个队都与其他各队赛一场。请将下面的比赛日程表补全：
3.下图是一个跑道的示意图，沿ACBEA走一圈是400米，沿ACBDA走一圈是275米，其中A到B的直线距离是75米。甲、乙二人同时从A点出发练长跑，甲沿ACBDA的小圈跑，每100米用24秒，乙沿ACBEA的大圈跑，每100米用21秒。问：.
（1）乙跑第几圈时第一次与甲相遇？
（2）出发后多长时间甲、乙再次在A点相遇？
4.有一堵墙厚3.1米，大、小两鼠从墙的两边对着挖，大鼠第一天挖了7.5厘米，小鼠第一天挖了40厘米，从第二天起，大鼠后一天挖的是前一天的2倍，小鼠后一天挖的是
前一天的一半。问：两鼠几天能把洞挖通？挖通时各挖了多少厘米？
5.一只大桶装了12千克水，另外有两个恰好能装5千克和7千克的桶各一只。利用这三只桶，最少倒几次，就可以把水分成两个6千克？
6.有一路公共汽车，包括起点和终点共有12个车站。如果一辆车除终点外，每一站上车的乘客中，恰好各有一位乘客到这一站以后的每一站下车。问：公共汽车内最多时有多少位乘客？
答案与提示 练习22
1.84.5分。
解：
共用
（840＋750＋700＋1680＋750＋350）÷60=84.5（分）。
2.
提示：第一、三天山东分别对上海、广东，所以第二天山东只能对北京，另一场是上海对广东；同理，第三天天津只能对北京，另一场是上海对江苏；第一天天津只能对广东，另一场是北京对江苏；第四、五天类似可填出。
3.（1）第5圈；（2）15分24秒。
提示：（1）从A到B长200米，乙比甲快6秒，所以如果乙在甲经过A点6秒以内到达A点，乙在此圈就可以追上甲。甲经过A点的时间依次为（单位：秒）
66，132，198，2，330，396，…
乙经过A点的时间依次为（单位：秒）
84，168，252，336，420，…由336-330=6知，乙在第5圈的B点追上甲。
（2）[66，84]=924（秒）=15分24秒。
4.5天挖通；大鼠挖232.5厘米，小鼠挖77.5厘米。
提示：大、小鼠每天挖的速度在变化，可以列表帮助分析：
5.11次。
解：
6.36位。
提示：第n站有（12-n）人上车，（n-1）人下车，车上人数见下表：
