【含答案】2018-2019学年广东省深圳市罗湖区八年级(下)期末数学试卷

2018-2019学年广东省深圳市罗湖区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题

1．（3分）观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

2．（3分）不等式2x﹣1≤5的解集在数轴上表示为（ ）

A．C．

B．D．

3．（3分）下列从左到右的变形，是分解因式的是（ ） A．2a2+4a＝2a（a+2） C．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9

B．x2﹣xy＝x2（1﹣） D．x2+x﹣5＝（x﹣2）（x+3）+1

4．（3分）一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数为（ ） A．8 5．（3分）若分式

B．6

C．5

D．4 的值是（ ）

中a，b都扩大到原来的3倍，则分式

B．缩小3倍 D．不变

A．扩大到原来3倍 C．是原来的

6．（3分）如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD＝2CD，BC＝6cm，则点D到AB的距离为（ ）

A．4 cm

B．3 cm C．2 cm

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D．1cm

7．（3分）如图，将一个含有45°角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为2cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上．若测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最长边的长是（ ）

A．2cm

B．4cm

C．2

cm

D．4

cm

8．（3分）已知4＜m＜5，则关于x的不等式组A．1个

B．2个

C．3个

的整数解共有（ ）

D．4个

9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于M，N，直线MN交BC于点D，连接AD，若∠BAD＝45°，则∠B的度数为（ ）

A．75°

B．65°

C．55°

D．45°

10．（3分）下列语句：①每一个外角都等于60°的多边形是六边形；②“反证法”就是举反例说明一个命题是假命题；③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是真命题；④分式有意义的条件是分子为零且分母不为零．其中正确的个数为（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

11．（3分）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 …这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以 看作两个相邻“三角形数”之和下列等式中符合这一规律的是（ ）

A．13＝3+10

B．25＝9+16

C．36＝14+22

D．49＝21+28

12．（3分）等边三角形ABC的边长为6，点O是三边垂直平分线的交点，∠FOG＝120°，∠FOG的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，∠FOG绕O点顺时针旋转时，下

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列四个结论正确个数是（ ）

①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四边形ODBE＝

；④△BDE周长最小值是9

A．1个 二、填空题

13．（3分）分解因式：5x2﹣5＝ ．

14．（3分）如图在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的．左图案中左右眼睛的坐标分别是（﹣4，2）、（﹣2，2），右图中左眼的坐标是（3，4），则右图案中右眼的坐标是 ．

B．2个

C．3个

D．4个

15．（3分）已知关于x的方程

会产生增根，则m＝ ．

16．（3分）在△ABC中，AB＝10，CA＝8，BC＝6，∠BAC的角平分线与∠ACB的角平分线相交于I，且DI∥BC交AB于D，则DI的长等于 ．

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三、解答题

17．（6分）解不等式组：18．（6分）解分式方程：19．（6分）先化简，再求值：解．

20．（8分）如图，平行四边形ABCO的边OA在x轴上，将平行四边形ABCO沿对角线AC对折，AO的对应线段为AD，且点D，C，O在同一直线上，AD与BC相交于E． （1）求证：△ABC≌△CDA；

（2）若直线AB的函数表达式为y＝x﹣6，求△ACE的面积．

，并把它的解集在数轴上表示出来．

．

，其中x是不等式3﹣x≥0的正整数

21．（8分）某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用20%的材料．

（1）求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料？

（2）如果制作甲、乙两种边框的材料共0米，要求制作乙种边框的数量不少于甲种边框数量的2倍，求应最多安排制作甲种边框多少个（不计材料损耗）？

22．（9分）如图：在平面直角坐标系中，网格图由边长为1的小正方形构成，Rt△ABC的顶点分别是A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3）．

（1）请在图1中作出△ABC关于点（﹣1，0）成中心对称的△A′B′C′，并分别写出A、C对应点的坐标A′ ；C′ ；

（2）设线段AB所在直线的函数表达式是y＝kx+b，试写出不等式kx+b＞2的解集 ．

（3）点M和N分别是直线AB和y轴上的动点，若以A′，C′，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求满足条件的M点坐标．

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23．（9分）如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝6，将△ABC沿BC方向向右平移得△DCE．A，C的对应点分别是D，E．AC与BD相交于O点．

（1）将射线BD绕B点顺时针旋转，且与DC，DE分别相交于F，G，CH∥BG交DE于H，当DF＝CF时，求DG的长．

（2）如图2，将直线BD绕O点逆时针旋转，与线段AD，BC分别相交于点Q，P．设OQ＝x，四边形ABPQ的周长为y，求y与x之间的函数关系式，并求y的最小值． （3）在（2）中PQ的旋转过程中，△AOQ是否构成等腰三角形？若能构成等腰三角形，求出此时PQ的长；若不能，请说明理由．

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2018-2019学年广东省深圳市罗湖区八年级（下）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题

1．（3分）观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项不符合题意； C、不是中心对称图形，不是轴对称图形，选项不符合题意； D、是中心对称图形，也是轴对称图形，选项符合题意． 故选：D．

2．（3分）不等式2x﹣1≤5的解集在数轴上表示为（ ）

A．C．

B．D．

【解答】解：解不等式得：x≤3， 所以在数轴上表示为故选：A．

3．（3分）下列从左到右的变形，是分解因式的是（ ） A．2a2+4a＝2a（a+2） C．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9

B．x2﹣xy＝x2（1﹣） D．x2+x﹣5＝（x﹣2）（x+3）+1

【解答】解：A、符合因式分解的意义，是因式分解，故本选项正确； B、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误； C、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误；

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D、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误． 故选：A．

4．（3分）一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数为（ ） A．8

B．6

C．5

D．4

【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意 （n﹣2）•180°＝360°， 解得n＝4． 故选：D． 5．（3分）若分式

中a，b都扩大到原来的3倍，则分式

B．缩小3倍 D．不变

＝

，

的值是（ ）

A．扩大到原来3倍 C．是原来的 【解答】解：故选：A．

6．（3分）如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD＝2CD，BC＝6cm，则点D到AB的距离为（ ）

A．4 cm

B．3 cm

C．2 cm

D．1cm

【解答】解：作DE⊥AB于E， ∵BD＝2CD，BC＝6， ∴CD＝2，

∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝2，即点D到AB的距离为2cm， 故选：C．

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7．（3分）如图，将一个含有45°角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为2cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上．若测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最长边的长是（ ）

A．2cm

B．4cm

C．2

cm

D．4

cm

【解答】解：过点C作CD⊥AD，∴CD＝2， 在直角三角形ADC中， ∵∠CAD＝30°， ∴AC＝2CD＝2×2＝4，

又∵三角板是有45°角的三角板， ∴AB＝AC＝4，

∴BC2＝AB2+AC2＝42+42＝32， ∴BC＝4故选：D．

，

8．（3分）已知4＜m＜5，则关于x的不等式组A．1个

B．2个

C．3个

，得2＜x＜m，

的整数解共有（ ）

D．4个

【解答】解：由不等式组∵4＜m＜5， ∴不等式组故选：B．

的整数解是x＝3，4，

9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于M，N，直线MN交BC于点D，连接AD，若∠BAD＝45°，则∠B的度数为（ ）

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A．75°

B．65°

C．55°

D．45°

【解答】解：由作法得MN垂直平分AC， ∴DA＝DC，

∴∠DAC＝∠C＝30°，

∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝45°+30°＝75°， ∵∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∴∠B＝180°﹣75°﹣30°＝75°． 故选：A．

10．（3分）下列语句：①每一个外角都等于60°的多边形是六边形；②“反证法”就是举反例说明一个命题是假命题；③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是真命题；④分式有意义的条件是分子为零且分母不为零．其中正确的个数为（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

【解答】解：①每一个外角都等于60°的多边形是正六边形，正确； ②“反证法”就是从反面的角度思考问题的证明方法，故错误；

③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形为等腰三角形，是真命题，正确；

④分式有意义的条件是分母不为零，故错误； 正确的有2个． 故选：B．

11．（3分）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 …这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以 看作两个相邻“三角形数”之和下列等式中符合这一规律的是（ ）

A．13＝3+10

B．25＝9+16 C．36＝14+22 D．49＝21+28

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【解答】解：∵1＝1，1+2＝3，1+2+3＝6，1+2+3+4＝10，…， ∴“三角形数”可看成从1开始几个连续自然数的和； ∵1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，…， ∴“正方形数”可看成某个自然数的平方．

A、∵在13＝3+10中，13不是“正方形数”，且3、10不是两个相邻“三角形数”， ∴A选项不符合题意；

B、∵在25＝9+16中，9、16、25是相邻的三个“正方形数”， ∴B选项不符合题意；

C、∵1+2+3+4＝10，1+2+3+4+5＝15， ∴14不是“三角形数”， ∴C选的不符合题意；

D、∵1+2+3+4+5+6＝21，1+2+3+4+5+6+7＝28， ∴21、28是两个相邻“三角形数”， ∵49＝72，

∴49为“正方形数”， ∴D选项符合题意． 故选：D．

12．（3分）等边三角形ABC的边长为6，点O是三边垂直平分线的交点，∠FOG＝120°，∠FOG的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，∠FOG绕O点顺时针旋转时，下列四个结论正确个数是（ ）

①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四边形ODBE＝

；④△BDE周长最小值是9

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【解答】解：连接OB、OC，如图， ∵△ABC为等边三角形，

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∴∠ABC＝∠ACB＝60°，

∵点O是等边△ABC的内心和外心，

∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，

∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°， 而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°， ∴∠BOD＝∠COE， 在△BOD和△COE中，∴△BOD≌△COE（ASA）， ∴BD＝CE，OD＝OE，①正确； ∴S△BOD＝S△COE，

∴四边形ODBE的面积＝S△OBC＝S△ABC＝×作OH⊥DE，如图，则DH＝EH， ∵∠DOE＝120°， ∴∠ODE＝∠OEH＝30°， ∴OH＝OE，HE＝∴DE＝

OE，

OE＝

OE2，

OH＝

OE，

×62＝3

，③错误；

，

∴S△ODE＝•OE•

即S△ODE随OE的变化而变化， 而四边形ODBE的面积为定值， ∴S△ODE≠S△BDE；②错误； ∵BD＝CE，

∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝6+DE＝6+当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝∴△BDE周长的最小值＝6+3＝9，④正确． 故选：B．

，

OE，

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二、填空题

13．（3分）分解因式：5x2﹣5＝ 5（x+1）（x﹣1） ． 【解答】解：原式＝5（x2﹣1）＝5（x+1）（x﹣1）， 故答案为：5（x+1）（x﹣1）

14．（3分）如图在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的．左图案中左右眼睛的坐标分别是（﹣4，2）、（﹣2，2），右图中左眼的坐标是（3，4），则右图案中右眼的坐标是 （5，4） ．

【解答】解：∵两眼间的距离为2，且平行于x轴， ∴右图案中右眼的横坐标为（3+2）． 则右图案中右眼的坐标是（5，4）． 故答案为：（5，4）． 15．（3分）已知关于x的方程

会产生增根，则m＝ 4 ．

【解答】解：去分母得：2x﹣m＝3x﹣6， 由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2， 把x＝2代入整式方程得：4﹣m＝0， 解得：m＝4， 故答案为：4

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16．（3分）在△ABC中，AB＝10，CA＝8，BC＝6，∠BAC的角平分线与∠ACB的角平分线相交于I，且DI∥BC交AB于D，则DI的长等于

．

【解答】解：如图，作IE⊥AB于E，IG⊥AC于G，IF⊥BC于F．

∵∠IAB＝∠IAC，IE⊥AB，IG⊥AC， ∴IE＝IG，同理可证：IF＝IG， ∴IE＝IF＝IG，

∵AB＝10，AC＝8，BC＝6， ∴AB2＝AC2+BC2， ∴∠ACB＝90°，

∴•AC•BC＝•IE•（AB+AC+BC）， ∴IE＝2，

易证四边形IFCG是正方形， ∴CG＝IG＝IF＝CF＝2，

∵IE＝IG，AI＝AI，∠AEI＝∠AGI＝90°， ∴△AIE≌△AIG（HL），

∴AE＝AG＝8﹣2＝6，设DI＝x，DE＝y， 则有

，

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解得，

补充方法：根据DI＝DB，设DI＝x，则DE＝4﹣x，利用勾股定理构建方程求出x即可． 故答案为． 三、解答题

17．（6分）解不等式组：

，并把它的解集在数轴上表示出来．

【解答】解：由①得：x≤2， 由②得：x＞﹣3，

，

不等式组的解集为：﹣3＜x≤2， 在数轴上表示为：

．

18．（6分）解分式方程：

【解答】解：去分母得：2x﹣x+3＝0， 解得：x＝﹣3，

经检验x＝﹣3是增根，分式方程无解． 19．（6分）先化简，再求值：解．

【解答】解：原式＝＝＝

÷

，其中x是不等式3﹣x≥0的正整数

．

解不等式3﹣x≥0，x≤3． ∴x＝1，2，3， ∵x﹣2≠0，x﹣1≠0

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∴x≠2，x≠1 ∴x＝3，

当x＝3时，原式＝1．

20．（8分）如图，平行四边形ABCO的边OA在x轴上，将平行四边形ABCO沿对角线AC对折，AO的对应线段为AD，且点D，C，O在同一直线上，AD与BC相交于E． （1）求证：△ABC≌△CDA；

（2）若直线AB的函数表达式为y＝x﹣6，求△ACE的面积．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCO为平行四边形， ∴AB＝CO，AB∥OC， ∴∠BAC＝∠OCA．

由折叠可知：CD＝CO，∠DCA＝∠OCA， ∴CD＝AB，∠DCA＝∠BAC． 在△ABC和△CDA中，∴△ABC≌△CDA（SAS）．

（2）解：∵∠DCA＝∠OCA，点D，C，O在同一直线上， ∴∠DCA＝∠OCA＝90°． 当y＝0时，x﹣6＝0，解得：x＝6， ∴点A的坐标为（6，0），OA＝6． ∵OC∥AB，

∴直线OC的解析式为y＝x， ∴∠COA＝45°，

∴△AOC为等腰直角三角形， ∴AC＝OC＝3

．

，

∵AB∥CD，AB＝CD＝AC，∠DCA＝90°，

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∴四边形ABDC为正方形，

∴S△ACE＝S正方形ABDC＝•AC2＝．

21．（8分）某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用20%的材料．

（1）求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料？

（2）如果制作甲、乙两种边框的材料共0米，要求制作乙种边框的数量不少于甲种边框数量的2倍，求应最多安排制作甲种边框多少个（不计材料损耗）？

【解答】解：（1）设制作每个乙种边框用x米材料，则制作甲种边框用（1+20%）x米材料， 由题意，得

﹣1＝解得：x＝2，

经检验x＝2是原方程的解， ∴（1+20%）x＝2.4（米），

答：制作每个甲种用2.4米材料；制作每个乙种用2米材料．

（2）设应安排制作甲种边框需要a米，则安排制作乙种边框需要（0﹣a）米， 由题意，得

≥

×2．

，

解得a≤240， 则

≤100．

答：应最多安排制作甲种边框100个．

22．（9分）如图：在平面直角坐标系中，网格图由边长为1的小正方形构成，Rt△ABC的

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顶点分别是A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3）．

（1）请在图1中作出△ABC关于点（﹣1，0）成中心对称的△A′B′C′，并分别写出A、C对应点的坐标A′ （﹣1，﹣3） ；C′ （1，﹣3） ；

（2）设线段AB所在直线的函数表达式是y＝kx+b，试写出不等式kx+b＞2的解集 x＞﹣ ．

（3）点M和N分别是直线AB和y轴上的动点，若以A′，C′，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求满足条件的M点坐标．

【解答】解：（1）如图，△A'B'C'为所求，

∴A'（﹣1，﹣3），C'（1，﹣3） 故答案为：（﹣1，﹣3），（1，﹣3）

（2）∵AB所在直线的函数表达式是y＝kx+b，且过A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1）， ∴解得：

∴AB所在直线的函数表达式是y＝2x+5

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∴不等式2x+5＞2的解集为：x＞﹣ 故答案为：x＞﹣

（3）∵A'（﹣1，﹣3），C'（1，﹣3） ∴A'C'＝2，A'C'∥x轴， 若A'C'为边，

∵以A′，C′，M，N为顶点的四边形是平行四边形 ∴MN＝A'C'＝2，MN∥A'C' ∵点N在y轴上，

∴点M的横坐标为2或﹣2，

∵y＝2×2+5＝9或y＝2×（﹣2）+5＝1 ∴点M（2，9）或（﹣2，1） 若A'C'为对角线，

∵以A′，C′，M，N为顶点的四边形是平行四边形 ∴MN与A'C'互相平分，

∵点N在y轴上，A'C'的中点也在y轴上， ∴点M的横坐标为0， ∴y＝5

∴点M（0，5）

综上所述：当点M为（2，9）或（﹣2，1）或（0，5）时，以A′，C′，M，N为顶点的四边形是平行四边形

23．（9分）如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝6，将△ABC沿BC方向向右平移得△DCE．A，C的对应点分别是D，E．AC与BD相交于O点．

（1）将射线BD绕B点顺时针旋转，且与DC，DE分别相交于F，G，CH∥BG交DE于H，当DF＝CF时，求DG的长．

（2）如图2，将直线BD绕O点逆时针旋转，与线段AD，BC分别相交于点Q，P．设OQ＝x，四边形ABPQ的周长为y，求y与x之间的函数关系式，并求y的最小值． （3）在（2）中PQ的旋转过程中，△AOQ是否构成等腰三角形？若能构成等腰三角形，求出此时PQ的长；若不能，请说明理由．

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【解答】解：（1）如图中，

∵DF＝FC，CH∥FG， ∴DG＝GH，

∵BC＝CE，CH∥BG， ∴GH＝HE， ∴DG＝GH＝HE， ∴DG＝DE＝AC＝2．

（2）如图2中，作AH⊥BC于H．

∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝BC，

∴四边形ABCD是菱形，

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∴AC⊥BD，

∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝∵S△ABC＝•BC•AH＝•AC•BO， ∴AH＝

，

＝4，

∵AQ∥PC， ∴∠QAO＝∠PCO，

∵OA＝OC，∠AOQ＝∠COP， ∴△AOQ≌△COP（ASA）， ∴AQ＝PC，

∴y＝AQ+AB+BP+PC+PQ＝AB+BC+PQ＝10+2x（∴y＝2x+10（当x＝

（3）如图3中，

≤x≤4）．

．

≤x≤4）．

时，y有最小值，最小值为

分三种情形：①当AQ＝AO＝3时，作OH⊥AD于H． 易知OH＝∴AH＝

，

＝，

∴HQ＝3﹣＝， ∴OQ＝∴PQ＝2OQ＝

＝．

第20页（共21页）

，

②当点Q是AD的中点时，AQ＝OQ＝DQ＝， ∴PQ＝2OQ＝5．

③当OA＝OQ＝3时，PQ＝2OQ＝6． 综上所述，满足条件的PQ的值为

或5或6．

第21页（共21页）