广西桂林市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

2015-2016学年广西桂林市高一（上）期末数学试卷

一、选择题（12*5=60’）

1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，∁UB={4，5，6}，则集合A∩B=（ ） A．{1，2} B．{5} C．{1，2，3}

D．{3，4，6}

2．已知平面上两点A（﹣1，1），B（5，9），则|AB|=（ ） A．10 B．20

C．30

D．40

3．下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（ ） A．f（x）=3x B．

C．

D．

4．设f（x）=

，则f（f（﹣2））=（ ）

A．﹣1 B． C． D．

5．若幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm在（0，+∞）上为增函数，则实数m=（ ） A．2 B．﹣1 C．3 D．﹣1或 2

6．已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（ ） A．0或1 B．1或 C．0或 D．

7．若定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，则有（ ）

A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1） B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3） C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3） D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）

8．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（ 第1页（共21页）

）

A．

B． C． D．

9．空间四边形ABCD的对角线AC=8，BD=6，M，N分别为AB，CD的中点，并且AC与BD所成的角为90°，则MN=（ ） A．10 B．6

C．8

D．5

10．已知a＞0，b＞0且ab=1，则函数f（x）=ax与函数g（x）=﹣logbx的图象可能是（ ）A． B． C．

D．

11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A． B．72 C．80 D．112

12．已知函数f（x）=log2（a2x﹣4ax+1），且0＜a＜1，则使f（x）＞0成立的x的取值范围是（ A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，2loga2） D．（2loga2，+∞）

第2页（共21页）

）

二、填空题（4*5=20’）. 13．计算：

14．直线3x+4y﹣5=0到直线3x+4y+15=0的距离是 ．

15．在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，这时二面角B﹣AD﹣C的大小为 ．

，

= ．

16．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF==a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为 ．

三、解答题（共6题，70分，解答应给出文字说明，证明过程及演算步骤.） 17．求下列函数的定义域： （1）f（x）=log2（2）f（x）=

18．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点坐标为A（2，4），B（1，﹣2），C（﹣2，3）． （1）求直线BC的方程；

第3页（共21页）

．

（2）求边BC上高AD所在的直线方程．

19．已知函数f（x）=

（1）在下表中画出该函数的草图；

（2）求函数y=f（x）的值域、单调增区间及零点．

20．某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）

（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；

（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？

21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证： （1）AC⊥BC1；

第4页（共21页）

（2）AC1∥平面B1CD．

22．已知定义域为R的函数f（x）=（1）求函数f（x）的解析式；

（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论； （3）若对于任意

都有f（kx2）+f（2x﹣1）＞0成立，求实数k的取值范围．

（a，b是常数）是奇函数．

第5页（共21页）

2015-2016学年广西桂林市高一（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（12*5=60’）

1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，∁UB={4，5，6}，则集合A∩B=（ ） A．{1，2}

B．{5} C．{1，2，3}

D．{3，4，6}

【考点】交集及其运算． 【专题】集合．

【分析】由题意全集U={1，2，3，4，5，6}，CUB={4，5，6}，可以求出集合B，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．

【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}， 又∵∁UB={4，5，6}， ∴B={1，2，3}， ∵A={1，2，5}， ∴A∩B={1，2}， 故选：A．

【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．

2．已知平面上两点A（﹣1，1），B（5，9），则|AB|=（ ） A．10

B．20

C．30

D．40

【考点】两点间距离公式的应用．

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆． 【分析】利用两点间距离公式求解．

【解答】解：∵平面上两点A（﹣1，1），B（5，9）， ∴|AB|=故选：A．

【点评】本题考查两点间距离公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．

第6页（共21页）

=10．

3．下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（ ） A．f（x）=3x

B．

C．

D．

【考点】函数单调性的判断与证明． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据函数 f（x）=3x，f（x）=数函数的性质可得

满足条件，从而得出结论．

【解答】解：由于函数 f（x）=3x，f（x）=由对数函数的性质可得故选B．

【点评】本题主要考查函数的单调性，属于基础题．

4．设f（x）=

，则f（f（﹣2））=（ ）

，f（x）=﹣在（0，+∞）上为增函数，故排除． ，f（x）=﹣在（0，+∞）上为增函数，故排除．利用对

在（0，+∞）上为减函数，

在（0，+∞）上为减函数，满足条件，

A．﹣1 B． C． D．

【考点】分段函数的应用；函数的值． 【专题】函数的性质及应用．

【分析】直接利用分段函数，由里及外逐步求解即可． 【解答】解：f（x）=故选：C．

【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．

5．若幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm在（0，+∞）上为增函数，则实数m=（ ） A．2

B．﹣1 C．3

D．﹣1或 2

，则f（f（﹣2））=f（2﹣2）=f（）=1﹣

=1﹣=．

【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用． 【专题】函数的性质及应用．

第7页（共21页）

【分析】直接利用幂函数的定义与性质求解即可．

【解答】解：幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm在（0，+∞）上为增函数， 所以m2﹣m﹣1=1，并且m＞0， 解得m=2． 故选：A．

【点评】本题考查幂函数的断断续续以及幂函数的定义的应用，基本知识的考查．

6．已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（ ） A．0或1

B．1或

C．0或

D．

【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系． 【专题】计算题；分类讨论．

【分析】先检验当a=0时，是否满足两直线平行，当a≠0时，两直线的斜率都存在，由≠

，解得a的值．

【解答】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在， 它们的方程分别是x=1，x=﹣1，显然两直线是平行的． 当a≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等， 由

≠

，解得：a=．

综上，a=0或， 故选：C．

【点评】本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验．

7．若定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，则有（ ）

A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1） B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3） C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）

D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）

【考点】奇偶性与单调性的综合． 【专题】计算题；函数的性质及应用．

【分析】利用函数的单调性及奇偶性，即可得出结论．

【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，

第8页（共21页）

∴f（3）＜f（2）＜f（1）， ∵函数是偶函数，

∴f（3）＜f（﹣2）＜f（1）， 故选：A．

【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．

8． 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（ ）A．

B．

C．

D．

【考点】球的体积和表面积． 【专题】计算题．

【分析】由题意设出球的半径，圆M的半径，二者与OM构成直角三角形，求出圆M的半径，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比． 【解答】解：设球的半径为R，圆M的半径r， 由图可知，R2=R2+r2， ∴R2=r2，∴S球=4πR2， 截面圆M的面积为：πr2=πR2，

则所得截面的面积与球的表面积的比为：故选A．

．

【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，仔细体会，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口．

9．空间四边形ABCD的对角线AC=8，BD=6，M，N分别为AB，CD的中点，并且AC与BD所成的角为90°，则MN=（ ） A．10

B．6

C．8

D．5

【考点】异面直线及其所成的角．

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．

第9页（共21页）

【分析】取AD中点P，连结MP、NP，则MP∥BD，NP∥AC，从而∠MPN=90°，MP=3，PN=4，由此能求出MN．

【解答】解：∵空间四边形ABCD的对角线AC=8，BD=6， M，N分别为AB，CD的中点，并且AC与BD所成的角为90°， ∴取AD中点P，连结MP、NP，则MP∥BD，NP∥AC， ∴∠MPN=90°，MP=3，PN=4， ∴MN=故选：D．

=5．

【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

10．已知a＞0，b＞0且ab=1，则函数f（x）=ax与函数g（x）=﹣logbx的图象可能是（ ）

A． B． C．

D．

【考点】对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质．

第10页（共21页）

【专题】常规题型；数形结合．

【分析】由条件ab=1化简g（x）的解析式，结合指数函数、对数函数的性质可得正确答案 【解答】解：∵ab=1，且a＞0，b＞0 ∴又

所以f（x）与g（x）的底数相同，单调性相同 故选B

【点评】本题考查指数函数与对数函数的图象，以及对数运算，属中档题

11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A． B．72 C．80 D．112

【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】计算题．

【分析】由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，上部为三棱锥（以正方体上底面为底面），高为3．分别求体积，再相加即可

【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，体积为43=， 上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为3．体积×故该几何体的体积是+8=72． 故选B．

【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体直观图，考查与锥体积公式，本题是一个基础题．

第11页（共21页）

，

12．已知函数f（x）=log2（a2x﹣4ax+1），且0＜a＜1，则使f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ） A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） 【考点】对数函数的图像与性质．

【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．

【分析】首先利用对数函数的单调性得到a2x﹣4ax+1＞1，然后整理，利用指数函数的单调性求x范围．

【解答】解：由题意，使f（x）＞0成立即log2（a2x﹣4ax+1）＞0，所以a2x﹣4ax+1＞1， 整理得ax＞4，且0＜a＜1，所以x＞loga4=2loga2； 故选D．

【点评】本题考查了对数函数和指数函数的性质运用；注意底数与1的关系．

二、填空题（4*5=20’）. 13．计算：

=

．

C．（﹣∞，2loga2） D．（2loga2，+∞）

【考点】对数的运算性质． 【专题】计算题．

【分析】利用对数的运算性质【解答】解：∵==+1 =．

故答案为：．

【点评】本题考查对数与指数的运算性质，属于基础题．

14．直线3x+4y﹣5=0到直线3x+4y+15=0的距离是 4 ． 【考点】两条平行直线间的距离． 【专题】计算题；直线与圆．

【分析】利用两条平行线间的距离公式，可得结论．

第12页（共21页）

=mlogab即可得到答案．

+20

+20

【解答】解：∵直线3x+4y﹣5=0与直线3x+4y+15=0平行， ∴利用两条平行线间的距离公式，可得故答案为：4

【点评】本题考查两条平行线间的距离公式，考查学生的计算能力，属于基础题．

15．在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，这时二面角B﹣AD﹣C的大小为 60° ．

，

=4

【考点】二面角的平面角及求法． 【专题】计算题．

【分析】根据已知中AD⊥BC于D，易得沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，∠BDC即为二面角B﹣AD﹣C的平面角，解三角形BDC即可求出二面角B﹣AD﹣C的大小． 【解答】解：∵AD⊥BC

∴沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后， AD⊥BD，AD⊥CD

故∠BDC即为二面角B﹣AD﹣C的平面角 又∵BD=CD=∴∠BDC=60° 故答案为：60°

【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角的求法，解答的关键是求出二面角的平面角，将问题转化为一个解三角形问题．

16．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF==a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为 第13页（共21页）

，

．

【考点】平面与平面垂直的性质． 【专题】空间位置关系与距离．

【分析】由面面垂直的性质证明CB⊥AG，用勾股定理证明AG⊥BG，得到AG⊥平面CBG，从而面AGC⊥面BGC，在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，故∠BGH是GB与平面AGC所成的角，解Rt△CBG，可得GB与平面AGC所成角的正弦值． 【解答】解：∵ABCD是正方形，∴CB⊥AB， ∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，∴CB⊥面ABEF． ∵AG，GB⊂面ABEF，∴CB⊥AG，CB⊥BG， 又AD=2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中点， ∴AG=BG=

a，AB=2a，∴AB2=AG2+BG2，∴AG⊥BG，

∵BG∩BC=B，∴AG⊥平面CBG，而AG⊂面AGC，故平面AGC⊥平面BGC．

∴∠BGH是GB与平面AGC所成的角．在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，在Rt△CBG中，BH=故答案为：

．

=

，BG=

a，∴sin∠BGH=

=

．

【点评】本题考查面面垂直的判定方法，以及求线面成的角的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．

三、解答题（共6题，70分，解答应给出文字说明，证明过程及演算步骤.） 17．求下列函数的定义域：

第14页（共21页）

（1）f（x）=log2（2）f（x）=

．

【考点】函数的概念及其构成要素．

【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用． 【分析】根据函数成立的条件即可求出函数的定义域． 【解答】解：（1）要使函数有意义，则3x﹣2＞0，即x＞， 即函数的定义域为（，+∞）． （2）要使函数有意义，则4﹣2x≥0， 即2x≤4，得x≤2，

即函数的定义域为（﹣∞，2]．

【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．

18．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点坐标为A（2，4），B（1，﹣2），C（﹣2，3）． （1）求直线BC的方程；

（2）求边BC上高AD所在的直线方程．

【考点】待定系数法求直线方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系． 【专题】直线与圆．

【分析】（1）利用两点式求直线BC方程；

（2）由（1）可求AD的斜率，利用点斜式求AD方程． 【解答】解：（1）因为B（1，﹣2），C（﹣2，3）． 所以直线BC的方程：

整理得5x+3y+1=0；

（2）因为边BC上高AD，所以AD 的斜率为，又A（2，4），所以AD的方程为y﹣4=（x﹣2），整理得所求方程：3x﹣5y+14=0．

【点评】本题考查了直线方程的确定；用到了两点式、点斜式求直线方程．

19．已知函数f（x）=

第15页（共21页）

（1）在下表中画出该函数的草图；

（2）求函数y=f（x）的值域、单调增区间及零点．

【考点】对数函数图象与性质的综合应用． 【专题】函数的性质及应用．

【分析】（1）根据函数的解析式画出函数的图象． （2）结合函数的图象求出的值域、单调增区间及零点． 【解答】解：（1）函数草图，如图所示：

f（x）=x2﹣1（x＜1）过点（0，﹣1），（﹣1，0）， 显然f（x）=x2﹣1（x＜1）与且

过点（2，﹣1）．

都过点（1，0），

（2）y=f（x）的值域为R，y=f（x）的单调增区间：[0，1]， y=f（x）的零点为x1=﹣1，x2=1．

【点评】本题主要考查函数的图象和性质的综合应用，分段函数的应用，属于基础题．

第16页（共21页）

20．某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）

（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；

（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？

【考点】函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值． 【专题】应用题．

【分析】（1）由于A产品的利润y与投资量x成正比例，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，故可设函数关系式，利用图象中的特殊点，可求函数解析式；

（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业利润为y万元．利用（1）由此可建立函数，采用换元法，转化为二次函数．利用配方法求函数的最值．

【解答】解：（1）设投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元． 由题意设f（x）=k1x，又g（4）=1.6，∴

．从而

．由图知

，

，∴

（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业利润为y万元．

（0≤x≤10）

令，则=

当t=2时，，此时x=10﹣4=6

答：当A产品投入6万元，则B产品投入4万元时，

该企业获得最大利润，利润为2.8万元．

第17页（共21页）

【点评】本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查正比例函数模型，关键是将实际问题转化为数学问题．

21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证： （1）AC⊥BC1； （2）AC1∥平面B1CD．

【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系． 【专题】证明题．

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理先证明AC⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，即可证得AC⊥BC1；

（2）取BC1与B1C的交点为O，连DO，则OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，而AC1⊂平面B1CD，利用线面平行的判定定理 即可得证．

【解答】证明：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC， ∴CC1⊥AC，

又AC⊥BC，BC∩CC1=C， ∴AC⊥平面BCC1B1 ∴AC⊥BC1．

（2）设BC1与B1C的交点为O，连接OD，BCC1B1为平行四边形，则O为B1C中点，又D是AB的中点，

∴OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1， 又∵AC1⊄平面B1CD，OD⊂平面B1CD， ∴AC1∥平面B1CD．

第18页（共21页）

【点评】本题考查直线与平面的平行与垂直，着重考查直线与平面平行的判定定理与直线与平面垂直的判定定理的应用，属于中档题．

22．已知定义域为R的函数f（x）=（1）求函数f（x）的解析式；

（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论； （3）若对于任意

都有f（kx2）+f（2x﹣1）＞0成立，求实数k的取值范围．

（a，b是常数）是奇函数．

【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．

【专题】证明题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用． 【分析】（1）根据f（x）为R上的奇函数便有

，这样即可求出a，b，从而

得出；

（2）分离常数得到，可看出f（x）在R上单调递减，根据减函数的定义，设

任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，然后作差，通分，证明f（x1）＞f（x2），这样便可得出f（x）在R上单调递减；

（3）根据f（x）为奇函数且为减函数便可得到kx2＜1﹣2x对任意

恒成立，从而有

对任意恒成立，可设，求导数g′（x），根据导数符号便可

得出x=1时，g（x）取最小值﹣1，从而得出k的取值范围． 【解答】解：（1）f（x）为R上的奇函数；

第19页（共21页）

∴；

解得a=2，b=1； ∴

；

（2）；

x增大时，f（x）减小，f（x）在R上为减函数，证明如下： 设x1＜x2，则：

=

∵x1＜x2； ∴又

∴f（x1）＞f（x2）； ∴f（x）在R上单调递减；

（3）f（x）为R上的奇函数，∴由f（kx2）+f（2x﹣1）＞0得：f（kx2）＞f（1﹣2x）； 又f（x）单调递减； ∴kx2＜1﹣2x对任意

恒成立；

，

；

；

；

∴对任意x恒成立；

设g（x）=，；

∴时，g′（x）＜0，x∈（1，3]时，g′（x）＞0；

∴x=1时，g（x）取到最小值﹣1； ∴k＜﹣1；

∴实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1）．

第20页（共21页）

【点评】考查奇函数、减函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，分离常数法的运用，根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，根据导数符号求函数的最值的方法．

第21页（共21页）