平方差公式和完全平方公的提高练习

一、平方差公式和完全平方公式的适用条件（准确运用两个公式） 1、平方差公式：是两项的符号一项相同，另一项相异。 例如（a+b）（a-b）=a2-b2可以有如下变化：

（1）、（-a+b）（-a-b）=a2-b2（2）（-a+b）（a+b）=b2-a2等变化，注意：符号相同的一项相当于公式中的a，而符号相异的项相当于公式中的b。归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，xyyxxy2

2

2

2

42

2 2

2

2

2

4、 (2mnp)(2mnp) 5、a4b3ca4b3c 6、3xy22

三、利用两个公式进行简便运算

例题：1、2015-2014×2016 2、98×102 3、10.39.7

4、98

四、综合两个公式的运算（注意括号的作用）

2

222103 6、2015＋2016－2015·4032； 5、

2

② 符号变化，xyxyxy xy ③ 指数变化，xyxyxy ④ 系数变化，2ab2ab4ab

2、完全平方公式：是两项的符号完全相同或完全相异。 例如（a±b）2=a2±2ab+b2可以有如下变化：

（1）（a+b）（-a-b）=_____________________。（2）（a-b）（-a+b）=_____________________

对应练习：

1、下列式子可用平方差公式计算的是： （A） （a－b）（b－a）； （B） （－x+1）（x－1）； （C） （－a－b）（－a+b）； （D） （－x－1）（x+1）； 2、计算：(2x1)(2x1) 3、下列各式中,能用完全平方公式计算的是( )

2

24

A.(4x3y)(3y4x) B.(2xy)(2xy) C.(abc)(cba) D .(xy)(xy)

22221、(2a1)2(2a1)(12a) 2、［(x+2y)(x－2y)-4(x－y)2－6x］÷6x.

3、先化简2x13x13x15xx1， 其中X=-2

24、下列多项式乘法中不能用平方差公式计算的是 （ ） ．．A．(ab)(ab) B．(ab)(ba) C．(2xy1)(2xy1) D．(x2y)(2xy) 5、下列关系式中，正确的是（ ） ．．

2222 A.abab B.ababab

22222 C.abab D.aba2abb

22333322222222

4、化简求值：已知x、y满足：xy4x6y130 求代数式(3xy)3(3xy)(xy)(x3y)(x3y)的值.

222xx6、4y222

2

y=____________。(-2x2-5)(2x2-5)=____________。 2

2

7、 7、(-a+4b)=____________。 （-3a-2b）=____________。

二、两个公式的综合应用

特点：两个三项的多项式相乘时，先用平方差公式再用完全平方公式。 例题：1、（a+2b+3c）（a+2b-3c） 2、（a-2b+3c）（a+2b-3c） 3、3mnp

2

五、a2+b2、（a+b）2、（a-b）2、ab四项之间的关系

乘法公式的提高应用 第 1 页（共4页）

1.ab2aba2b22恒等式为（ ）

2.ab2aba2b223.abab2a2b222

4.abab4ab22 A.ab2a22abb2

222aba2abbB.

22C.aba-bab D.aaba2ab

2、如图是由四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的 不同表示法，写出一个关于a、b的恒等式 。

3、（2012•遵义）如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a-1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ）

例题：1、已知a＋b＝3，且a－b＝－1，则a2＋b2＝ 。 2、已知：xy9,3、已知

xy3，则x23xyy2__________

，求

的值。4、已知ab2，ab1，求ab的值。

22

25．已知ab8，ab2，求(ab)的值

6．已知xy4，xy1，求代数式(x1)(y1)的值

7、解下列各式

（1）已知ab13，ab6，求ab，ab的值。 （2）已知ab7，ab4，求ab，ab的值。

2

2

2

2

2

2

2

2

A．2cm B2acm C．4acm D．（a-1）cm

4（2012•白银）如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（ ） A．m+3 B．m+6 C．2m+3 D.2m+6

5.（2012四川绵阳）图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）

22222

22剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）

a2b2（3）已知aa1ab2，求ab的值。

22

222

A．2mn B．（m+n） C．（m-n） D．m-n

6.如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（ C ）

2

（4）已知x

113，求x44的值。 xxA．（a-b）=a-2ab+b B．（a+b）=a+2ab+bC．a-b=（a+b）（a-b） D．a+ab=a（a+b）

7.图①是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ）

22222

A.（m+n）-（m-n）=4mn B.（m+n）-（m+n）=2mn

22222

C.（m-n）+2mn=m+n D.（m+n）（m-n）=m-n

222222222

六、两个公式的几何意义

1、将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，根据两个图形的面积关系可以得到一个关于a、b的

a

8.利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公

222

式：（a+b）=a+2ab+b．你根据图乙能得到的数学公式是 .

乘法公式的提高应用 第 2 页（共4页）

9.阅读材料并回答问题：

我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种

22

形式表示，如：（2a+b）（a+b）=2a+3ab+b，就可以用图（1）或图（2）等图形的面积表示．

1、若a2+b2－2a+2b+2=0,则a2015

+b2016=________.

（1）请写出图（3）所表示的代数恒等

式： .

22

（2）试画一个几何图形，使它的面积表示：（a+b）（a+3b）=a+4ab+3b；

（3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．

七、公式的连续使用

1．（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）；

2、探究拓展与应用

2、5－(a－b)2的最大值是________，当5－(a－b)2取最大值时，a与b的关系是________.

13.要使式子0.36x2+y2成为一个完全平方式，则应加上________.

414.已知x2－5x+1=0,则x2+2=________.

x5.已知(2005－a)(2003－a)=1000,请你猜想(2005－a)2+(2003－a)2=________. 6.已知(a+b)2=11,ab=2,则(a－b)2的值是（ ） A.11 B.3 C.5 D.19

7、已知aa10，求a2a2007的值. 8、5049484721

232222222

1111 9、1212121 10、22124128121 22342004

11．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3， （1－x）（󰀀1+x+x2+x3）=1－x4．

（1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+…+xn）=______．（n为正整数） （2）根据你的猜想计算：

①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______． ②2+22+23+…+2n=______（n为正整数）． ③（x－1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=_______． （3）通过以上规律请你进行下面的探索： ①（a－b）（a+b）=_______． ②（a－b）（a2+ab+b2）=______．

③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______． 12、.如图2所示的是甲、乙、丙三种地板砖，其中甲是边长为a的正方形，乙是长为a宽为b的长方形，丙是边长为b的正方形。如果说把这三种地板装拼成一个边长为a+2b的正方形，你认为能拼吗？如果能拼成，请画出拼出后的图形并说明需要这三种地板砖各多少块，如果不能拼成，请说明理由。

20.计算.

(2+1)(22+1)(24+1)

=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)=(22－1)(22+1)(24+1) =(24－1)(24+1)=(28－1).

根据上式的计算方法，请计算

3（1）(3+1)(3+1)(3+1)…(3+1)－的值.

22

4

32

40323（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32016+1）－．

2

八、其它类型

乘法公式的提高应用 第 3 页（共4页）

13、如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，󰀀规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？󰀀并求出当a=3，b=2时的绿化面积．

14、观察下面的几个算式，你发现了什么规律？ ○116×14=224=1×（1+1）×100+6×4 ○223×27=621=2×（2+1）×100+3×7 ○332×38=1216=3×（3+1）×100+2×8

（1）按照上面的规律，仿照上面的书写格式，迅速写出81×的结果 （2）用公式（x+a）（x+b）=x2+(a+b)x+ab证明上面所发现的规律 （提示：可设这两个两位数分别为（10n+a），（10n+b），其中a+b=10） （3）简单叙述以上所发现的规律

乘法公式的提高应用 第 4 页（共4页）