【2021新高考数学】 小题分类练(四) 直观想象

小题分类练(四) 直观想象

一、单项选择题

1．已知全集U＝{1，3，5，7}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则如图所示阴影区域表示的集合为( )

A．{3} C．{3，7}

B.{7}

D．{1，3，5}

2．某商场通过转动如图所示的质地均匀的6等分的圆盘进行抽奖活动，当指针指向阴影区域时为中奖．规定每位顾客有3次抽奖机会，但中奖1次就停止抽奖．假设每次抽奖相互，则顾客中奖的概率是( )

A. 27

5

C. 94

1B. 319D． 27

3．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M为CD的中点，则三棱锥A­BC1M的体积VA­BC1M＝( )

1

A. 21C. 6

1B. 4D．

121

4．(一题多解)(2020·高考全国卷Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是( )

A．a＋2b B．2a＋b C．a－2b D．2a－b

5．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2.若直线y＝x＋a与函数f(x)的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是( )

A．0 1

B．0或－ 2C．－或

42D．0或－

4

11

1

6．如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆面，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP＝x(0＜x＜2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD)的面积为y，则函数y＝f(x)的大致图象是( )

7．已知点P是直线l：3x＋4y－7＝0上的动点，过点P引圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PM，PN，其中M，N为切点，当∠MPN的最大值为π3

时，则r的值为( ) A．4 C．2

B.3 D．1

8．设函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，当x∈[0，1]时，13

f(x)＝x3，则函数g(x)＝|cos πx|－f(x)在区间－，上零点的个数为( )

22

A．3 C．5

二、多项选择题

B.4 D．6

9．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，若函数f(x)在x＝1处取得极大值，则函数y＝－xf′(x)的图象不可能是( )

10．抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，→＝2BF→，|FA|＝2，则( ) B两点，交抛物线C的准线于点D，若BDA．F(3，0)

B．直线AB的方程为y＝C．点B到准线的距离为6

D．△AOB(O为坐标原点)的面积为3

3

2a，2a，A，B，C，D分别是

33x－

2

11．如图，一张A4纸的长、宽分别为2

其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体．下列关于该多面体的命题，正确的是( )

A．该多面体是三棱锥 B．平面BAD⊥平面BCD C．平面BAC⊥平面ACD

D．该多面体外接球的表面积为5πa2

12．如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则下列说法正确的是( )

A．函数y＝f(x)是偶函数

B．对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x－2) C．函数y＝f(x)在区间[2，3]上单调递减 D．函数y＝f(x)的值域是[0，1] 三、填空题

13．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2.

14．已知关于x的方程cos 2x＋

π



3sin 2x－m＝0在，π上有两个不同

2

的实数根，则m的取值范围是________．

15．设F1，F2分别是椭圆

＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，

2516

x2y2

点M的坐标为(6，4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．

16．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1，一次函数g(x)＝x－1，不等式f(x)≤g(x)的解集为[1，2]，则

ab＝________；记函数h(x)＝

f（x），f（x）≥g（x），则h(x)的最小值是________． g（x），g（x）≥f（x），

小题分类练(四)

1．解析：选B.由题图可知，阴影区域为∁U(A∪B)，由并集的概念知，A∪

B＝{1，3，5}，又U＝{1，3，5，7}，所以∁U(A∪B)＝{7}，故选B.

2．解析：选D.记顾客中奖为事件A，恰抽1次就中奖为事件A1，恰抽2次中奖为事件A2，恰抽3次中奖为事件A3，每次抽奖相互，每次抽奖中奖112122119

的概率均为，所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋×＋××＝，故选

333333327D.

111

3．解析：选C.VA­BC1M＝VC1­ABM＝S△ABM·C1C＝×AB×AD×C1C＝.故

3326选C.

1

4．解析：选D.通解：由题意，得a·b＝|a|·|b|cos 60°＝.对于A，(a＋2b)·b2＝a·b＋2b2＝

1

＋2＝≠0，故A不符合题意；对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b222

C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝

1

－2＝－≠22

3

5

1

＝1＋1＝2≠0，故B不符合题意；对于

0，故C不符合题意；对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以(2a－b)⊥b，故选D.

1533

优解一：不妨设a＝，，b＝(1，0)，则a＋2b＝，2a＋b，2222

33

＝(2，3)，a－2b＝－，，2a－b＝(0，3)，易知，只有(2a－b)·b＝220，即(2a－b)⊥b，故选D.

优解二：根据条件，分别作出向量b与A，B，C，D四个选项对应的向量的位置关系，如图所示：

由图易知，只有选项D满足题意，故选D.

5．解析：选D.因为f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2，作图，如图：

由图知，直线y＝x＋a与函数f(x)的图象在区间[0，2]内恰有两个不同的公共点时，直线y＝x＋a经过点(1，1)或与曲线f(x)＝x2(0≤x≤1)相切于点A，则1＝1＋a或

x2＝x＋a，则a＝0或Δ＝1＋4a＝0，即a＝0或a＝－.故选D.

4

1

6．解析：选A.观察题图可知阴影部分的面积y的变化情况： ①当0＜x≤1时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越快； ②当1＜x＜2时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越慢． 分析四个选项中的图象，只有选项A符合条件，故选A. 7.

解析：选D.结合题意，如图，当∠MPN取到最大值时，∠MPC也取到最大|MC|r值．而sin∠MPC＝＝，当|PC|取到最小值时，∠MPC取到最大值，|PC|

|PC||PC||3×（－1）＋0－7|rrπ

的最小值为点C到直线l的距离d＝＝2，故＝＝sin

22|PC|263＋41

＝，解得r＝1.故选D. 2

8．解析：选C.由f(－x)＝f(x)，得函数f(x)的图象关于y轴对称．由f(x)＝

f(2－x)，得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．当x∈[0，1]时，f(x)＝x3，所以f(x)在区间[－1，2]上的图象如图．

令g(x)＝|cos πx|－f(x)＝0，得|cos πx|＝f(x)，两函数y＝f(x)与y＝|cos π13



x|的图象在区间－，上的交点有5个．

22

9．解析：选ACD.因为函数f(x)在x＝1处取得极大值，所以可知x>1时f′(x)<0，x<1时，f′(x)>0，所以当x>1时，y＝－xf′(x)>0，A，C不可能，当010．解析：选BCD.如图，不妨令点B在第一象限，设点K为准线与x轴的交点，分别过点A，B作抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线的垂线，垂足分别为G，

1→→

E，因为BD＝2BF，所以点F为BD的中点，又|BE|＝|FB|，所以|BE|＝|BD|，

2所以在Rt△EBD中，∠BDE＝30°，所以|AD|＝2|AG|＝2|AF|＝2×2＝4，所以|DF|＝|AD|＋|FA|＝6，所以|BF|＝6，则点B到准线的距离为6，故C正确；

3



因为|DF|＝6，所以|KF|＝3，所以p＝3，则F，0，故A错误；由∠BDE23

＝30°，易得∠BFx＝60°，所以直线AB的方程为y＝tan 60°·x－＝

2

3

3x－，

2

1313

故B正确；连接OA，OB，S△AOB＝S△OBF＋S△AOF＝××6×sin 120°＋××2

2222×sin 60°＝3

3，故D正确．故选BCD.

11．解析：选ABCD.由题意得该多面体是一个三棱锥，故A正确； 因为AP⊥BP，AP⊥CP，BP∩CP＝P，BP，CP⊂平面BCD， 所以AP⊥平面BCD，

又因为AP⊂平面BAD，所以平面BAD⊥平面BCD，故B正确； 同理可证平面BAC⊥平面ACD，故C正确； 通过构造长方体可得该多面体的外接球半径R＝

52

a，

所以该多面体外接球的表面积为5πa2，故D正确． 综上，正确的命题为ABCD.

12．解析：选AB.当－2≤x≤－1时，P的轨迹是以点A(即(－1，0))为圆心，1为半径的圆；当－1411

径的圆；当144当24

1

1

f(x)的周期为4，图象如图所示，根据图象的对称性可知函数y＝f(x)是偶函数，所以A正确；因为函数f(x)的周期为4，所以B正确；函数f(x)在区间[2，3]上单调递增，所以C不正确；函数f(x)的值域为[0，

2]，所以D不正确．

13．解析：将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S＝×(50＋80)×(π×40)＝2 600

2π(cm2)．

答案：2 600 π

14．解析：因为cos 2x＋

π

3sin 2x－m＝0，所以2sin2x＋＝m，

6

π

3 sin 2x－m＝0在区间，π上有两

2

1

πm即sin2x＋＝.方程cos 2x＋

62个不同的实数根，

ππm

即函数y＝sin2x＋，x∈，π的图象与函数y＝的图象有2个不同

622

ππm

的交点．作出函数y＝sin2x＋，x∈，π及函数y＝的图象如图所示，则

622－1<<－，

22

m1

即－2由椭圆方程得a＝5，b＝4，c＝3.所以F1(－3，0)，F2(3，0)，如图所示．由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，所以|PM|＋|PF1|＝|PM|＋2a－|PF2|＝10＋(|PM|－|PF2|)≤10＋|MF2|＝10＋

32＋42＝15，当且仅当P，M，F2三点共

线时等号成立，则|PM|＋|PF1|的最大值为15.

答案：15

16．解析：不等式f(x)≤g(x)可化为ax2＋(b－1)x＋2≤0.因为该不等式的解集为[1，2]，所以1，2为关于x的方程ax2＋(b－1)x＋2＝0的两个实数根，所



1＋2＝1－b，

a＝1，

a以解得所以a＝1.由题意，得h(x)＝max{f(x)，g(x)}，

b＝－2.

1×2＝2，aba≠0，

它的图象如图所示．由图象可得函数h(x)的最小值为0.

答案：1 0