高考数学圆锥曲线小题解题技巧

圆锥曲线高考小题解析

一、 考点分析

1. 点、直线、斜率和倾斜角之间的关系；

2. 直线与圆的位置关系判断，以及圆内弦长的求法；

3. 掌握椭圆、双曲线、抛物线基础内容，特别是参数之间的计算关系以及独有的性质；

4. 掌握圆锥曲线内弦长的计算方法（弦长公式和直线参数方程法）； 5. 通过研究第二定义，焦点弦问题，中点弦问题加深对图形的理解能力； 6. 动直线过定点问题和动点过定直线问题； 7. 定值问题； 8. 最值问题。 二、 真题解析

1. 直线与圆位置关系以及圆内弦长问题

1.【2018全国1文15】直线yx1与圆x2y22y30交于A,B两点，则

|AB|=___________

解析：xy2y30x(y1)4，圆心坐标为(0,1)，半径r2 圆心到直线yx1的距离d222222，由勾股定理得|AB|2r2d222 2.【2018全国2理19文20】设抛物线C:y4x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线

l与C交于A,B两点，|AB|8

（1）求l的方程；

（2）求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程。

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解析：（1）直线过焦点，因此属于焦点弦长问题，可以利用焦点弦长公式来求 根据焦点弦长公式可知|AB| 则l的直线方程为yx1

（2）由（1）知AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为

22psin，则，tan1 822siny2(x3)，即yx5

设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则

y0x05 (y0x01)2216(x01)2解得x03x011 或y02y0-62222因此所求圆的方程为(x3)(y2)1或(x11)(y+6)1

通过这个题目注意一个在抛物线中不常用的结论：在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切，证明过程如下：

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在上图中过焦点的直线与抛物线交于A,B两点，取AB的中点M，三点分别向准线

作垂线，垂足分别为C,D,N，因为MN1(ACBD)，ACAF,BDBF，所以211MN(AFBF)AB，所以AB为直径的圆与准线相切。

223.【2018北京理10】在极坐标中，直线cossina(a0)与圆2cos相切，则

a=__________.

解析：cossina(a0)xya 2cos(x1)y1 直线与圆相切时d22|1a|r1，解得a12 22x1t2（t为参数）与224.【2018天津理12】已知圆xy2x0的圆心为C，直线y32t2该圆相交于A,B两点，则ABC的面积为___________. 解析：xy2x0(x1)y1

22222x1t2 xy2 y32t2圆心(1,0)到直线xy20的距离为d2，所以|AB|2r2d22 2--完整版学习资料分享----

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所以SABC11|AB|d 225.【2018天津文 12】在平面直角坐标系中，经过三点(0,0),(1,1)(2,0)的圆的方程为__. 解析：(0,0),(1,1)两点的中垂线方程为xy10，(0,0),(2,0)两点的中垂线方程为x1，

联立xy10解得圆心坐标为(1,0)，半径r1

x122所以圆的方程为(x1)y1

6.【2018江苏选修 C】在极坐标中，直线l的方程为sin(6)2，曲线C的方程为

4cos，求直线l被曲线C截得的弦长。

解析：sin(6)2x3y40

22 4cos(x2)y4，设直线与圆相交于A,B两点 圆心(2,0)到直线x3y40的距离d |AB|2r2d223

21 22. 椭圆，双曲线，抛物线中基础性的计算问题

x2y21的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为7.【2018全国1 文4】已知椭圆C:2a4___________.

解析：c2,b2所以a2b2c28，ec22 a222x2y28.【2018全国2 理5 文6】双曲线221的离心率为3，则其渐近线方程为___.

abc2b2解析：e23，则令c23,a21则b22，所以渐近线方程为yx2x

aax2y29.【2018全国3 文10】已知双曲线C:221的离心率为2，则点(4,0)到C的

ab渐近线的距离为_________. 解析：ec2，渐近线bxay0 a4ba2b24b c所以点(4,0)到渐近线的距离为d令c2,a1，则bc2a21,d

4ba2b24b22 c--完整版学习资料分享----

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因为求的是比值，因此没必要求出b,c具体的数字，因为无论b,c是多少，其比值都是相同的。

10.【2018北京 文10】已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y24ax截得的

线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.

解析：l:x1，代入到y24ax得y2a，所以4a4，a1（a只能为正数）

x2y251(a0)的离心率为11.【2018北京文 12】若双曲线2，则a=_______.

2a4c2a2b2a2452，解得a4 解析：b2,e222aaa4x2y212.【2018天津理 7】已知双曲线221的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线

ab与双曲线交于A,B两点，设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1,d2，且

d1d26，则双曲线的方程为_______________.

解析：如上图，d1d2为右焦点F到渐近线ybx的距离的2倍，故 a

2bca2b2d1d26，又因为ec2，解得a23,b29 ax2y21 所以双曲线的方程为

39x2y213.【2018江苏8】在平面直角坐标系xoy中，若双曲线221(a0,b0)的右焦点

ab3c，则其离心率的值是_________. F(c,0)到一条渐近线的距离为2bc3解析：双曲线的渐近线为bxay0，dbc

222abc2c2所以e222 2acbx2y21的焦点坐标是_________. 14.【2018浙江2】双曲线3--完整版学习资料分享----

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解析：a23,b21,c2a2b24，且焦点在x轴上，所以焦点坐标为(2,0),(2,0)

x2y21上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之15.【2018上海1】设P为椭圆53和为__________.

解析：a25,a5，P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a25 x2y21的渐近线方程为__________. 16.【2018上海6】双曲线4b1解析：a24,b21，所以渐近线方程为yxx

a217.【2018全国1 理8】设抛物线C:y24x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为

与C交于M,N两点，则FMFN=__________. 解析：F(1,0)，过点(2,0)且斜率为

联立

2的直线3224的直线方程为yx，设M(x1,y1),N(x2,y2)，333y24x224x5x40x1x25,x1x24 yx33所以FMFNx1x2(x1x2)14x1x28

18.【2018江苏 12】在平面直角坐标系xoy中，A为直线l:y2x上在第一象限内的点，

B(5,0)以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D。若ABCD0，则点A的横坐标为

__________.

解析：因为ADBD，所以|BD|为点B到直线y2x的距离，所以BD为ABD为等腰直角三角形，所以AB1025，因52BD210

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设A(m,2m)，所以(m5)2(2m)2210，且m0 解得m3

3. 圆锥曲线的离心率问题

x2y219.【2018全国2 理12】已知F1,F2是椭圆C:221的左右焦点，A是C的左顶点，

ab点P在过点A且斜率为离心率为________.

3的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C 的6

解析：如上图，PF2F1F22c,PF2Q60F2Qc,PQ3c

所以P(2c,3c)，因为A(a,0)

所以KAP3c31e

2ca20.【2018全国2 文11】已知F1,F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1PF2，

且PF2F160，则C的离心率是________.

解析：因为|F1F2|2c,PF1PF2且PF2F160，则|PF2|c,|PF1|3c

所以|PF1||PF2|(13)c2a，解得ec31 ax2y221.【2018全国3 理11】设F1,F2是双曲线C:221的左右焦点，O是坐标原点，过F1作

ab--完整版学习资料分享----

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C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|6|OP|，则双曲线的离心率为_______.

解析：由题意知：PF2:ya(xc) baa2y(xc)xa2abbc联立，解得，即P(,)

bccabyxyaca2ab2a22ab22|PF1|6|OP|(c)()6[()()]

cccc解得e3 x2y2x2y222.【2018北京理14】已知椭圆M:221(ab0)，双曲线N:221.若双曲线

abmnN的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则

椭圆M的离心率为___________;双曲线的N的离心率为____.

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解析：如上图，点P在椭圆上，也在以F1F2为直径的圆上，所以

F1PF290,PF2F130，PF1c,PF23c

e31 所以PF1PF2(13)c2a，解得

在上图中，QOF260，所以

b3e2 a4. 最值和范围问题

23.【2018 全国3 理6文8】直线xy20分别于x轴，y轴交于A,B两点，点P 在圆

(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是___________.

解

析

：

A(2,0),B(0,2),P(22cos,2sin)，

AB(2,2),AP(42cos,2sin)

此处用到了三角函数方法和向量法求三角形面积的公式

24.【2018北京理7】在平面直角坐标系中，记d为点P(cos,sin)到直线xmy20的距离，当,m变化时，d的最大值为__________.

解析：题目中如果是按照常规的点到直线距离来算，则要同时面对两个变量，点P在单位圆上，

则d最大时等于圆心(0,0)到直线的距离加半径，这样就可以不用考虑的变化对最值的影响。

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P(cos,sin)是圆x2y21上的点，所以d12m123

x2y2m(m1)上两点A,B满足AP2PB，则当25.【2018浙江17】点P(0,1)，椭圆4m=_______时，点B横坐标的绝对值最大。

分析：若设B点横坐标为x0，则题目转化为当m为何值时，x0最大

因此可将x0和m放在同一个等式中且将x0单独分离到一边，含有m的式子放到另

一边，此时含有x0的部分类似于关于m函数的值域，因此题目的关键是找到一个包含m和x0的等式，A,B两点的坐标通过共线产生关联，且A,B均在椭圆上，因此将A,B两点坐标代入椭圆方程，消去y即可得到关于m和x0的等式。 解析：设B(x0,y0)，因为AP2PB，则A(2x0,32y0)

x02y02m422联立消去x4y-(32y)3m 00024x0(32y)2m04解得y03m 4x023m2(m5)2162()m，化简得x0所以 444所以当m5时，x0取得最大值。

26.【2018浙江21】如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C:y4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上。

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（1） 设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

y21(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围。 （2） 若P是半椭圆x42解析：（1）设P(x0,y0),A(121y1,y1),B(y22,y2) 44y122x0y0y124) )4(AP中点满足：(22y222x0y0y224) )4(BP中点满足：BP:(22y22x0y0y24)即y22yy8xy20的两个根，所以y1,y2是方程()4(00022yy2所以1y0，故PM垂直于y轴。

22（2）由（1）可知y1y22y0,y1y28x0y0

所以|PM|123(y1y22)x0y023x0,|y1y2|22(y024x0) 8431322|PM||y1y2|(y04x0)2 24因此，SPABy021(x00)，所以y024x04x024x04[4,5] 因为x042--完整版学习资料分享----

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因此，PAB面积的取值范围是[62,1510] 45. 距离型问题

x2y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F27.【2018全国1理11】已知双曲线C:3的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N，若OMN为直角三角形，则

|MN|________.

解析：如上图所示，可得kMN3,MN所在直线方程为y3(x2)

y3(x2)M(3,3)联立3xy3 y3(x2)33N(,) 联立322xy3解得|MN|3

6.定值问题

28.【2018全国3 理16】已知点M(1,1)和抛物线C:y4x，过C的焦点且斜率为k的直线

与抛物线交于A,B两点，若ABM90，则k=________.

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解析：用到结论：在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切

所以yNyM1，设N(x0,1)，根据焦点弦斜率公式可得

kABkONp12kABkAB2 x0x0x0

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