2020-2021学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校八年级（下）
开学数学试卷
一、选择题（共10小题）. 1．在﹣，﹣π，0，3.14，﹣A．1个
B．2个
，0.，﹣7，﹣3中，无理数有（ ）
C．3个
D．4个
2．2020年12月1日，《天津市生活垃圾管理条例》正式施行，标志着本市垃圾分类工作进入法制化、制度化、规范化阶段、生活垃圾分类实施“四分类”标准，即可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾，分别对应下面四个图形，那么这些图形中为中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下面的每组数分别是一个三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A．
，
，
B．2，2，5
C．32，42，52
D．3，4，5
4．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点是A（1，3），B（2，1）．将线段AB沿某一方向平移后，若点A的对应点A′的坐标为（﹣2，0），则点B的对应点B′的坐标为（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣1，﹣2） D．（0，﹣2）
5．如果把分式中的x和y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
B．扩大为原来的6倍 D．不变
A．扩大为原来的3倍 C．缩小为原来的3倍
6．如果不等式（a﹣3）x＞a﹣3的解集是x＜1，那么a的取值范围是（ ） A．a＞0
B．a＜0
C．a＞3 的结果是（ ）
C．a
D．﹣a
D．a＜3
7．已知a＜0，b≠0，化简二次根式A．a
B．﹣a
8．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．S△ABC＝10 C．AB＝2
B．∠BAC＝90°
D．点A到直线BC的距离是2
9．一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，两车同时出发，在快车到达乙地之前，两车间的距离y（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系如图所示，则快车到达乙地后，慢车到达甲地还要继续行驶（ ）
A．0.8h B．0.9h C．4h D．1.2h
10．两条直线y1＝mx﹣n与y2＝nx﹣m在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共4小题）.
11．因式分解：3xy3﹣27x3y＝ ． 12．以下四个命题：①﹣
的立方根是±；②要调查一批灯泡的使用寿命适宜用抽样调
查； ③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； ④已知∠ABC与其内部一点D，过点D作DE∥BA，作DF∥BC，则∠EDF＝∠B．其中假命题的序号 ． 13．关于x的分式方程
＝2的解为正数，则a的取值范围是 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共54分） 15．完成下列各题． （1）计算：
+
﹣
．
（2）计算：（﹣3xy）÷•（）2．
（3）分解因式：25（x﹣2y）2﹣4（2y﹣x）2．
16．解不等式组，并在数轴上把不等式的解集表示出来．
17．先化简，再求值：
适的数作为a的值代入求值．
，并在2，3，﹣3，4这四个数中取一个合
18．某区为了了解本区内八年级男生的体能情况，从中随机抽取了40名八年级男生进行“引体向上”个数测试，将测试结果绘制成表格如下：
个数 人数
1 1
2 1
3 6
4 8
5 11
6 4
7 1
8 2
9 2
10 1
15 1
21 2
请根据以上表格信息，解答如下问题： （1）分析数据，补全表格信息：
平均数 6
众数
中位数
（2）在平均数、中位数和众数中，选择一个你认为比较合适的统计量作为该区八年级男生“引体向上”项目测试的“合格标准”，并说明选择的理由．
（3）如果该区现有8000名八年级男生，根据（2）中选定的“合格标准”，估计该区八年级男生“引体向上”项目测试的合格人数．
19．如图，三角形A'B'C'是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A'，点B与点B'，点C与点C'分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B'的坐标，并说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．
（2）连接BC'，直接写出∠CBC'与∠B'C'O之间的数量关系 ．
（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．
参
一、选择题（共10小题）. 1．在﹣，﹣π，0，3.14，﹣A．1个
B．2个
，0.，﹣7，﹣3中，无理数有（ ）
C．3个
D．4个
【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：在﹣，﹣π，0，3.14，﹣故选：B．
2．2020年12月1日，《天津市生活垃圾管理条例》正式施行，标志着本市垃圾分类工作进入法制化、制度化、规范化阶段、生活垃圾分类实施“四分类”标准，即可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾，分别对应下面四个图形，那么这些图形中为中心对称图形的是（ ）
，0.，﹣7，﹣3中，无理数有﹣π，
，共2个．
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：C．
3．下面的每组数分别是一个三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A．
，
，
B．2，2，5
C．32，42，52
D．3，4，5
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 解：A、（
）2+（
）2≠（
）2，故不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、22+22≠52，故不能构成直角三角形，故此选项不符合题意
C、因为32＝9，42＝16，52＝25，92+162≠252，故不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、32+42＝52，故能构成直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D．
4．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点是A（1，3），B（2，1）．将线段AB沿某一方向平移后，若点A的对应点A′的坐标为（﹣2，0），则点B的对应点B′的坐标为（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣1，﹣2） D．（0，﹣2）
【分析】利用平移变换的性质解决问题即可．
解：观察图象可知，点B的对应点B′的坐标为（﹣1，﹣2）．
故选：C． 5．如果把分式
中的x和y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍 C．缩小为原来的3倍
【分析】根据分式的基本性质，可得答案． 解：把分式
＝
故选：A．
B．扩大为原来的6倍 D．不变
中的x和y的值都扩大为原来的3倍，得
＝3×
，
6．如果不等式（a﹣3）x＞a﹣3的解集是x＜1，那么a的取值范围是（ ） A．a＞0
B．a＜0
C．a＞3
D．a＜3
【分析】根据不等式的基本性质3可知a﹣3＜0，解之可得答案． 解：∵（a﹣3）x＞a﹣3的解集是x＜1， ∴a﹣3＜0， 解得a＜3， 故选：D．
7．已知a＜0，b≠0，化简二次根式A．a
B．﹣a
的结果是（ ）
C．a
D．﹣a
【分析】根据二次根式的性质化简解答即可． 解：因为a＜0，b≠0， 所以故选：B．
8．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ）
，
A．S△ABC＝10 C．AB＝2
B．∠BAC＝90°
D．点A到直线BC的距离是2
【分析】根据三角形的面积公式、勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可．
解：A、S△ABC＝4×4﹣×3×4﹣×1×2﹣×2×4＝5，本选项结论错误，符合题意；B、∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25， ∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，本选项结论正确，不符合题意； C、∵AB2＝20， ∴AB＝2
，本选项结论正确，不符合题意；
D、设点A到直线BC的距离为h， 则×
×2
＝×5×h，
解得，h＝2，本选项结论正确，不符合题意； 故选：A．
9．一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，两车同时出发，在快车到达乙地之前，两车间的距离y（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系如图所示，则快车到达乙地后，慢车到达甲地还要继续行驶（ ）
A．0.8h B．0.9h C．4h D．1.2h
解：设当0≤x≤2时，y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， 将（1.5，90）、（2，0）代入y＝kx+b，得：
，解得：
∴y＝﹣180x+360（0≤x≤2）， ∴y＝180x﹣360（x＞2）． 当y＝288时，有180x﹣360＝288， 解得：x＝3.6．
当x＝0时，y＝﹣180x+360＝360， ∴甲、乙两地间的距离为360km．
，
快车的速度为360÷3.6＝100（km/h）， 慢车的速度为360÷2﹣100＝80（km/h），
慢车到达甲地还要继续行驶（360﹣288）÷80＝0.9（h）． 故选：B．
10．两条直线y1＝mx﹣n与y2＝nx﹣m在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数图象的性质加以分析即可． 解：根据一次函数的图象与性质分析如下：
A．由y1＝mx﹣n图象可知m＜0，n＜0；由y2＝nx﹣m图象可知m＜0，n＞0．A错误； B．由y1＝mx﹣n图象可知m＞0，n＜0；由y2＝nx﹣m图象可知m＞0，n＜0．B正确； C．由y1＝mx﹣n图象可知m＞0，n＞0；由y2＝nx﹣m图象可知m＜0，n＞0．C错误； D．由y1＝mx﹣n图象可知m＞0，n＞0；由y2＝nx﹣m图象可知m＞0，n＜0．D错误； 故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11．因式分解：3xy3﹣27x3y＝ 3xy（y+3x）（y﹣3x） ． 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 解：原式＝3xy（y2﹣9x2） ＝3xy（y+3x）（y﹣3x）． 故答案为：3xy（y+3x）（y﹣3x）． 12．以下四个命题：①﹣
的立方根是±；②要调查一批灯泡的使用寿命适宜用抽样调
查； ③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； ④已知∠ABC与其内部一点D，过点D作DE∥BA，作DF∥BC，则∠EDF＝∠B．其中假命题的序号 ①③④ ． 【分析】利用立方根的定义对①进行判断；根据普查和抽样调查的特点对②进行判断；根据平行线的性质对③④进行判断．
解：﹣的立方根是﹣，所以①为假命题；
要调查一批灯泡的使用寿命适宜用抽样调查，所以②为真命题； 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，所以③为假命题；
已知∠ABC与其内部一点D，过D点作DE∥BA，作DF∥BC，则∠EDF与∠B相等或互补，所以④为假命题． 故答案为①③④． 13．关于x的分式方程
＝2的解为正数，则a的取值范围是 a＜4且a≠2 ．
解：去分母得：1﹣（a﹣1）＝2（x﹣1）， 解得：x＝2﹣a，
由分式方程的解为正数，得到2﹣a＞0，且2﹣a≠1， 解得：a＜4且a≠2， 故答案为a＜4且a≠2．
14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为 6 ．
解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°， ∴∠ACB＝60°， ∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠B＝30°， ∵∠A＝90°，AN＝1， ∴MN＝2AN＝2，
∵MN平分∠AMC，∠AMN＝30°， ∴∠AMC＝∠NMC＝60°， ∵CM平分∠ACB，∠ACB＝60°， ∴∠ACM＝
ACB＝30°，
∴∠ACM＝∠NMC， ∴MN＝CN＝2，
∴AC＝AN+CN＝1+2＝3，
∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°， ∴BC＝2AC＝2×3＝6， 故答案为：6．
三、解答题（本大题共5小题，共54分） 15．完成下列各题． （1）计算：
+
﹣
．
（2）计算：（﹣3xy）÷•（）2．
（3）分解因式：25（x﹣2y）2﹣4（2y﹣x）2．
【分析】（1）先分母有理化，然后把二次根式化为最简二次根式，再合并即可； （2）先进行乘方运算，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （3）利用平方差公式分解． 解：（1）原式＝﹣（2+＝﹣2﹣
+5
；
）+5
﹣
（2）原式＝﹣3xy••
＝﹣y；
（3）原式＝[5（x﹣2y）+2（2y﹣x）][5（x﹣2y）﹣2（2y﹣x）] ＝（5x﹣10y+4y﹣2x）（5x﹣10y﹣4y+2x） ＝（3x﹣6y）（7x﹣14y） ＝21（x﹣2y）2．
16．解不等式组，并在数轴上把不等式的解集表示出来．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
解：，
由①得x≥﹣4， 由②得x＜3，
所以原不等式组的解集为﹣4≤x＜3， 数轴表示：
．
17．先化简，再求值：
适的数作为a的值代入求值．
，并在2，3，﹣3，4这四个数中取一个合
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由分式有意义的条件确定a的值，继而代入计算即可． 解：原式＝＝
﹣
﹣，
•
∵a≠±3且a≠2， ∴a＝4， 则原式＝＝4﹣7 ＝﹣3．
18．某区为了了解本区内八年级男生的体能情况，从中随机抽取了40名八年级男生进行“引体向上”个数测试，将测试结果绘制成表格如下： 个数 人数
1 1
2 1
3 6
4 8
5 11
6 4
7 1
8 2
9 2
10 1
15 1
21 2
﹣
请根据以上表格信息，解答如下问题： （1）分析数据，补全表格信息：
平均数
众数
中位数
6 5 5
（2）在平均数、中位数和众数中，选择一个你认为比较合适的统计量作为该区八年级男生“引体向上”项目测试的“合格标准”，并说明选择的理由．
（3）如果该区现有8000名八年级男生，根据（2）中选定的“合格标准”，估计该区八年级男生“引体向上”项目测试的合格人数． 解：（1）∵5个出现了11次，出现的次数最多， ∴众数为5个，
把这些数从小到大排列，中位数是第20、21个数的平均数， 则中位数为
＝5（个）．
故答案为：5，5；
（2）用中位数或众数5个作为合格标准次数较为合适， 因为5个大部分同学都能达到．
（3）根据题意得： 8000×
＝4800（人）．
答：该区八年级男生“引体向上”项目测试的合格人数有4800人．
19．如图，三角形A'B'C'是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A'，点B与点B'，点C与点C'分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B'的坐标，并说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．
（2）连接BC'，直接写出∠CBC'与∠B'C'O之间的数量关系 ∠BC′B′＝90°+∠B′C′O ．
（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．
解：（1）B（2，1），B′（﹣1，﹣2），
△A'B'C'是由△ABC向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的；
（2）连接BC′，
由平移可得：∠CBC′＝′BC′B′，
∵∠BC′B′＝∠BC′O+∠B′C′O＝90°+∠B′C′O， ∴∠BC′B′＝90°+∠B′C′O；
（3）若M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随△ABC按（1）中方式平移后得到对应点N（2a﹣7，4﹣b）， 则a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b， 解得：a＝3，b＝12．
