正四面体的性质：设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的
(1)全面积 S全= 3a2； 23a； 122a；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱2(2)体积 V=(3)对棱中点连线段的长 d=
都相切，则此线段就是该球的直径。) (4)相邻两面所成的二面角 =arccos(5)对棱互相垂直。
(6)侧棱与底面所成的角为=arccos1 31 3(7)外接球半径 R= 6a； 4(8)内切球半径 r=
6a. 12(9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质
有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.
如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c.则 ①不含直角的底面ABC是锐角三角形；
②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心； ③体积 V= ④底面面积S△ABC
2
A
1abc； 6122=abb2c2c2a222
△ABC
；
O B
H
C
D
⑤S△BOC=S△BHC·S△ABC； ⑥S△BOC+S⑦
2
2
△AOB
+S△AOC=S
2
1111;
OH2a2b2c212⑧外接球半径 R= ab2c2；
2SSBOCSAOCSABC⑨内切球半径 r=AOBabc如果从面的数目上来说，四面体是最简单的多面体。 一．四面体性质
四面体的性质探究
1．四面体的射影定理：如果设四面体ABCD的顶点A在平面BCD上的射影为O，△ABC的面积为S1，△ADC
AA-DC-B 的面积为S2，△BCD的面积为S3，△ABD的面积为S4，二面角A-BC-D为θ1-3，二面角为θ2-3，二面
角A-BD-C为θ3-4，二面角C-AB-D为θ1-4，二面角C-AD-B为θ2-4，二面角B-AC-D为θ1-2，则
S1 = S2cosθ1-2 + S3cosθ1-3 + S4cosθ1-4 S2 = S1cosθ1-2 + S3cosθ2-3 + S4cosθ2-4 S3 = S1cosθ1-3 + S2cosθ2-3 + S4cosθ3-4 S4 = S1cosθ1-4 + S2cosθ2-4 + S3cosθ3-4
2．性质2(类似余弦定理)
S1 = S2 + S3 +S4 - 2S2S3 cosθ2-3 - 2S2S4 cosθ2-4 - 2S3S4 cosθ3-4 S2 = S1 + S3 +S4 - 2S1S3 cosθ1-3 - 2S1S4 cosθ1-4 - 2S3S4 cosθ3-4 S3 = S1 + S +S - 2S1S2 cosθ1-2 - 2S1S4 cosθ1-4 - 2S2S4 cosθ2-4 S4 = S1 + S2 +S3 - 2S1S2 cosθ1-2 - 2S1S3 cosθ1-3 - 2S2S3 cosθ2-3
特别地，当cosθ1-2 = cosθ1-4 = cosθ2-4 = 0，即二面角C-AB-D、 C-AD-B、B-AC-D均为直二面角（也就是AB、AC、BC两两垂直）时，有S3 = S1 + S2 +S4， 证明：S3 = S3S1cosθ1-3 + S3S2cosθ2-3 + S3S4cosθ3-4
= S1 S3cosθ1-3 + S2 S3cosθ2-3 + S3 S4cosθ3-4
= S1（S1 - S2cosθ1-2 + S4cosθ1-4）+S2（S2 - S1cosθ1-2 + S4cosθ2-4）+ S4（S4 - S1cosθ1-4 + S2cosθ2-4）
= S1 + S2 +S4 - 2S1S2 cosθ1-2 - 2S1S4 cosθ1-4 - 2S2S4 cosθ2-4
二．正四面体的性质
设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的 (1)全面积 S全= 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
24
2
2
2
2
2
2
2
2
S4
S2
S1
B
O D
S3 C
3a2；
(2)体积 V=
23a； 122a；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都2(3)对棱中点连线段的长 d= 相切，则此线段就是该球的直径。)
(4)相邻两面所成的二面角 =arccos(5)对棱互相垂直。
(6)侧棱与底面所成的角为=arccos1 31 3(7)外接球半径 R= 6a； 4(8)内切球半径 r=
6a. 12(9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高).
三．直角四面体的性质
有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 直角四面体有下列性质：
如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c.则 ①不含直角的底面ABC是锐角三角形；
②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心； ③体积 V= ④底面面积S△ABC
2
A
1abc； 6122=abb2c2c2a222
△ABC
；
O B
H
C
D
⑤S△BOC=S△BHC·S△ABC； ⑥S△BOC+S⑦
2
2
△AOB
+S△AOC=S
2
111122; 22OHabc12⑧外接球半径 R= ab2c2；
2SAOBSBOCSAOCSABC⑨内切球半径 r=
abc三．应用
HEFG由课本新教材第二册下(A)53页第8题可知，正方体截去四个三棱锥后,得到一个正四面体。
若设正方体的棱长为a,正四面体的棱长为a′，正方体及正四面体的外接球半径分别为R、R′,正方体的内切球及正四面体的．．．棱切球半径分别为r、r',易知有如下结论： ．．．
性质①正四面体内接于一正方体，且a′=性质②V正四面体
ABCD2a
CES1=V3正方体
1=a33
AD性质③R'=R =
3a 2BF性质④r'=r=
1 (证明略) 2利用上述结论可迅速解决如下各题:
例1.正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等，如果 E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等( ) (90年全国高考试题)
(A) 90° （B）60° （C）45° （D）30°
分析：本题若仔细观察已知条件，易知S-ABC为正四面体。而一正四面体必可补成正方体（如图2)，显然，EF在正方体的两底面的中心连线上，与正方体的侧棱SD平行，由∠ASD=45°，知选(C).
例2.棱长为2的正四面体的体积为_____________.(98年上海高考题)
本题若直接计算,有一定的难度与计算量,若利用上述习题结论,将其补成正方体,可取得事半功倍之效.
解: 将该正四面体补成正方体,由正四面体的棱长为2,易知正方体的棱长为
2.故V
正方体
=(
2)=22 ∴V
3
正四面体
=
1V3正方体
=
23 。 3例3.一个球与正四面体的6条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积为__________. (2000年全国高中数学竞赛试题)
本题所给的参较复杂,若能把正四面体补成正方体，然后再利用正四面体的棱切球半径等于正方体的内切球半径解决,就会有意想不到的解题功效.
解:(如图)将正四面体补成正方体,由上述结论可知正四面
AB1体的棱切球即为正方体的内切球. D1C∵正四面体的棱长为a
∴正方体的棱长为
22Oa
C1BA1D∴正方体的内切球半径 r=
24a
∴V棱切球=
244πr=π×(
4333
a)=
3
224a .
3
例4.如图S-ABC 是一体积为72的正四面体,连接两个面的重心E、F，则线段EF的长是____.(2000年春季高考题)
分析：连接SE、SF延长分别交AB、BC 于G、H，易知 EF=
21GH=AB，故只需求出正四面体的棱长即可，本题若直接由体积求棱长有一定的难度，若根据习题结332，
论①②，先把正四面体补成正方体，则V正方体=3V正四面体=216，故正方体的棱为6，而正四面体的棱长为6所以EF=
1AB=22. 3例5.正三棱锥A- BCD得侧棱长与底面边长相等,顶点A、B、C、D在同一个球面上，CC1和DD1是该球得直径，则平面ABC与平面AC1D1所成角的正弦值为____________.(第十一届“希望杯”高一培训题)
分析:利用习题结论①③可知,正三棱锥A-BCD与它外接正方体的各顶点共球面.故构造如图5的正方体AD1CB1- C1BA1D,易知CC1与DD1就是该球的直径.取AB的中点O,连D1O、CO，则∠COD1是平面ABC与平面AC1D1所成的锐角二面角，于是
sin∠COD1=
CD1CO=
63R
例6.半径为的球的内接正四面体的体积等于___________.
(第十一届“希望杯”高一培训题)
分析:由上述结论①②③可知,半径为R的球的内接正方体的对角线长为2R,故其棱长为
23R,其3体积为V正方体=(
2343R)=R,V3273
正四面体
=
83R. 27正四面体与正方体是立几中较特殊、内涵较丰富的几何体,且两者有着密不可分的关系.我们在解题时若注意运用两者的特殊关系,往往会达到
“山穷水复疑无路,柳暗花明又一村.”的效果.
