三角形四心与向量(最新整理)

知识点总结1．O是ABC的重心OAOBOC0;

SBOCSAOCSAOB1SABC3故

若O是ABC的重心，则

PG1(PAPBPC)32．O是ABC的垂心OAOBOC0;

G为ABC的重心.

OAOBOBOCOCOA;

SBOC：SAOC：SAOBtanA：tanB：tanC若O是ABC(非直角三角形)的垂心，则

故tanAOAtanBOBtanCOC02223．O是ABC的外心|OA||OB||OC|(或OAOBOC若O是ABC的外心则

)

SBOC：SAOC：SAOBsinBOC：sinAOC：sinAOBsin2A:sin2B:sin2C故sin2AOAsin2BOBsin2COC0ABACAC)OB(BA|BA|BC|BC|)OC(CA|CA|CB|CB|)04．O

是内心ABC的充要条件是

OA(|AB|引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB,BC,CA的单位向量为e1,e2,e3，则刚才O是ABC内心的充要条件

可以写成　

OA(e1e3)OB(e1e2)OC(e2e3)0 ，O是ABC内心的充要条件也可以是

。若O是ABC的内心，则

aOAbOBcOC0

SBOC：SAOC：SAOBa：b：c　

故　aOAbOBcOC0或sinAOAsinBOBsinCOC0;

A|AB|PC|BC|PA|CA|PB0P是ABC的内心;

ACAB)(0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直向量(|AB||AC|线)；

e1BCPe2CC范 例

(一)将平面向量与三角形内心结合考查

例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP则P点的轨迹一定通过ABC的（

OA(ABABACAC)，0,）

（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心

解析：因为ABAB是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为e1和e2，

- 1 -

又OPOAAP，则原

式可化为

AP(e1e2)，由菱形的基本性质知AP平分BAC，那么在ABC中，AP平分BAC，则知选B.

(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”

例2． H是△ABC所在平面内任一点，HAHBHBHCHCHA点H是△ABC的垂心.由HAHBHBHCHB(HCHA)0HBAC0HBAC,同理HCAB，HABC.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若PAPBA．外心　解析:由PAPB则PBB．内心　

PBPCPCPA，则P是△ABC的（D　）

C．重心　

D．垂心

PBPC得PAPBPBPC0.即PB(PAPC)0,即PBCA0所以P为ABC的垂心. 故选D.

CA,同理PABC,PCAB

(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”

例4． G是△ABC所在平面内一点，GAGBGC=0点G是△ABC的重心.证明 作图如右，图中GBGCGE连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将GBGCGE代入GAGBGC=0，

得GAEG=0GAGE2GD，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略））例5． P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心PG1(PAPBPC).3证明 PGPAAGPBBGPCCG3PG(AGBGCG)(PAPBPC)∵G是△ABC的重心 ∴GAGBGC=0AGBGCG=0，即3PGPAPBPC由此可得PG1）(PAPBPC).（反之亦然（证略）

3例6 若O 为ABC内一点，OAOBOC0 ，则O 是ABC 的（ ）

A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心

解析：由OAOBOC0得OBOCOA，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则OBOCOD，由

1平行四边形性质知OEOD，OA2OE2(四) 将平面向量与三角形外心结合考查

，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。

例7若O 为ABC内一点，OAOBOC，则O 是ABC 的（ ）

- 2 -

A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心

解析：由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等。故O 是ABC 的外心 ，选B。 (五)将平面向量与三角形四心结合考查

例8．已知向量OP1，OP2，OP3满足条件OP1+OP2+OP3=0，|OP1|=|OP2|=|OP3|=1，求证 △P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题）证明 由已知OP1+OP2=-OP3，两边平方得OP1·OP2=

同理 OP2·OP3=OP3·OP1=1，21，2∴|P1P2|=|P2P3|=|P3P1|=3，从而△P1P2P3是正三角形.

反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|.即O是△ABC所在平面内一点，

OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|点O是正△P1P2P3的中心.

例9．在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。

【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：

x1xx2y2xyx,0)、E(1,)、F(2,2) 由题设可设Q（1,y3)、H(x2,y4),222222xx1x2y2xyyG(,)AH(x2,y4)，QF(21,2y3)33222BC(x2x1,y2)FAHBCAHBCx2(x2x1)y2y40D（C(x2,y2)HGQEx2(x2x1)y2QFACxxyQFACx2(21)y2(2y3)0222x(xx1)y2y3222y22y4x2xx13x2(x2x1)y2QH(x21,y4y3)（2,)222y22xB(x1,0)ADxxxy2xx1y2x2(x2x1)y21QG(21,2y3)（2,)323632y222x2x13x2(x2x1)y212xx13x2(x2x1)y2,)(2,)66y26322y221 =QH3 (- 3 -

即QH=3QG，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2

例10．若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证

OHOAOBOC.

证明 若△ABC的垂心为H，外心为O，如图.连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.

∴ADAB，CDBC.又垂心为H，AHBC，CHAB，∴AH∥CD，CH∥AD，∴四边形AHCD为平行四边形，

∴AHDCDOOC，故OHOAAHOAOBOC.

著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；

（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例11． 设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心. 证明 按重心定理 G是△ABC的重心OG按垂心定理 OHOAOBOC

求证 OG1OH 31(OAOBOC)31OH.3由此可得 OG补充练习

1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足

OP=

111 (OA+OB+2OC),则点P一定为三角形ABC的 322B.AB边中线的三等分点（非重心）D.AB边的中点由OP=2OM，

（ B ）

A.AB边中线的中点 C.重心 1.

B取AB边的中点M，则OAOB∴MP2MC，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.

111 (OA+OB+2OC)可得3OP3OM2MC，32232．在同一个平面上有ABC及一点Ｏ满足关系式：

222222OA＋BC＝OB＋CA＝OC＋AB，则Ｏ为

ABC的

Ａ 外心

（ D ）Ｂ 内心

C 重心

D 垂心

2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：（ C ）Ａ 外心

Ｂ 内心

C 重心

D 垂心

3．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：

PAPBPC0，

则P为

ABC的

OPOA(ABAC)，则P的轨迹一定通过△ABC的 （ C ）

Ａ 外心

Ｂ 内心

C 重心

D 垂心

4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：

- 4 -

PAPCPAPBPBPC0，则P点为三角形的 （ D ）

Ａ 外心

Ｂ 内心

C 重心

D 垂心

5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点（ B ）Ａ 外心

Ｂ 内心

C 重心

D 垂心

P满足：aPAbPBcPC0，则

P点为三角形的

6．在三角形ABC中，动点P满足：（ B ） Ａ 外心

CACB2ABCP，

22则P点轨迹一定通过△ABC的：

C 重心 D 垂心→→→→ABACABAC 1→→→

7.已知非零向量AB与AC满足(+)·BC=0且·= , 则△ABC为( )

→→→→2

|AB||AC||AB||AC|

A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形

Ｂ 内心

ABAC)·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴ AB=AC，又cosA解析：非零向量与满足(|AB||AC|所以△ABC为等边三角形，选D．

8.ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH9.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OAOB（A）三个内角的角平分线的交点（C）三条中线的交点

ABAC1= ，∠A=，

3|AB||AC|2

m(OAOBOC)，则实数m = 1

OBOCOCOA，则点O是ABC的（B）

（B）三条边的垂直平分线的交点（D）三条高的交点

10. 如图1，已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且AMxAB，11ANyAC，则3。

xy 证 点G是ABC的重心，知GAGBGCO，

1得AG(ABAG)(ACAG)O，有AG(ABAC)。又M，N，G三点共线（A不在直线MN上），

3 于是存在,，使得AGAMAN(且1)，

1 有AGxAByAC=(ABAC)，

3111得1，于是得3。

xyxy3- 5 -

例讲三角形中与向量有关的问题

教学目标：1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法 2、向量的加法、数量积等性质

3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题 4、数形结合

教学重点：灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题教学难点：针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题教学过程：1、课前练习

1.1已知O是△ABC内的一点，若OA2OBOC22，则O是△ABC的〔 〕

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心1.2在△ABC中，有命题①

ABACBC；②ABBCCA0；③若ABACABAC0，则△ABC

为等腰三角形；④若

ABAC0，则△ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是〔 〕

A、①② B、①④ C、②③ D、②③④2、知识回顾

2.1 三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法 2.2 向量的有关性质

2.3 上述两者间的关联

3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题

ABACABAC1BC0例1、已知△ABC中，有和,试判断△ABC的形状。ABABAC2AC练习1、已知△ABC中，

ABa，BCb，B是△ABC中的最大角，若ab0，试判断△ABC的形状。

4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题

例2、已知O是△ABC所在平面内的一点，满足〔 〕

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题

OABCOBACOCAB222222，则O是△ABC的

ABAC例3、已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足OPOA则动点P一定过△ABC,0,，

ABAC的〔 〕

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

- 6 -

练习2、已知O为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足OP则动点P 的轨迹一定通过△ABC的〔 〕

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

1OAABBC,0,，

2ABAC例4、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足OPOA则动点P,0,，

ABcosBACcosC一定过△ABC的〔 〕

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

OBOCABAC练习3、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足OP,0,，

2ABcosBACcosC则动点P一定过△ABC的〔 〕

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

例5、已知点G是的重心，过G作直线与AB、AC分别相交于M、N两点，且

AMxAB,ANyAC，求证：

113xy6、小结

处理与三角形有关的向量问题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实数互化，合理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键。7、作业

1、已知O是△ABC内的一点，若OAOBOC0，则O是△ABC的〔 〕

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心2、若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且OAOBOCA、

0，则OAOB等于〔 〕

11 B、0 C、1 D、223、已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C、所对的过分别是a、b、c若aOAbOBcOC的〔 〕

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心4、已知P是△ABC所在平面内与A不重合的一点，满足

0，则O是△ABC

ABAC3AP，则P是△ABC的〔 〕

求证：△ABC为正三角形。0，OAOBOC1，

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 5、平面上的三个向量OA、OB、OC满足OAOBOC6、在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，求OA(OBOC)- 7 -