专题20 坐标系与参数方程(教学案)-2018年高考理数二轮复习精品资料(原卷版)

1.考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化．

2.考查利用曲线的参数方程、极坐标方程计算某些量或讨论某些量之间的关系．

一、直角坐标与极坐标的互化

如图，把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M

ρ＝x＋y，x＝ρcos θ，

是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则 y

y＝ρsin θ，tan θ＝x≠0.

x

222

【特别提醒】在曲线方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性． 二、直线、圆的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程

若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置直线的极坐标方程 ①直线过极点：θ＝α；

②直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a； π

b，且平行于极轴：ρsin θ＝b. ③直线过点M2(2)几个特殊位置圆的极坐标方程 ①圆心位于极点，半径为r：ρ＝r； ②圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcos θ； π

r，，半径为r：ρ＝2rsin θ. ③圆心位于M2

【特别提醒】当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时，要建立圆的极坐标方程，通常把极点放置在圆心处，极轴与x轴同向，然后运用极坐标与直角坐标的变换公式．

三、参数方程 (1)直线的参数方程

x＝x0＋tcos α，

过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．

y＝y0＋tsin α

(2)圆、椭圆的参数方程

x＝x0＋rcos θ，

①圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)．

y＝y0＋rsin θx＝acos θ，x2y2

②椭圆2＋2＝1的参数方程为

aby＝bsin θ

(θ为参数)．

【特别提醒】在参数方程和普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．

考点一 坐标系与极坐标

例1．【2017天津，理11】在极坐标系中，直线4cos()10与圆2sin的公共点的个数为___________.

【变式探究】【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线cos3sin10与圆2cos交于A，B两点，则|AB|______.

【变式探究】在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2 π

B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2

2π

C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1

2D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1

考点二 参数方程

6例2．【2017·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

x8t在平面坐标系中xOy中,已知直线l的参考方程为(t为参数),曲线C的参数方程为ty22x2s,(s y22s为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.

【变式探究】【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为xacost错误！未找到引用源。（t为参数,a＞0）．

y1asint在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=4cos. （I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；

（II）直线C3的极坐标方程为0,其中0满足tan0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a． 【变式探究】(2015·重庆，15)已知直线l的参数方程为x1t,(t为参数)，以坐标原点为极点，x

y1t3π5π

ρ＞0，＜θ＜，则直线l与曲线轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝444C的交点的极坐标为________．

【变式探究】(2014·江西，11(2))若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )

1π

A．ρ＝，0≤θ≤ 2cos θ＋sin θ1π

B．ρ＝，0≤θ≤

4cos θ＋sin θπ

C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤

2π

D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ 4

1.【2017天津，理11】在极坐标系中，直线4cos()10与圆2sin的公共点的个数为___________.

2. 【2017北京，理11】在极坐标系中，点A在圆22cos4sin40上，点P的坐标为（1,0），则|AP|的最小值为___________.

x3cos,3. 【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线

ysin,6l的参数方程为

xa4t,（t为参数）. y1t,（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.

【2017·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

x8t在平面坐标系中xOy中,已知直线l的参考方程为(t为参数),曲线C的参数方程为ty22x2s,(s y22s为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.

1.【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线cos3sin10与圆2cos交于A，B两点，则|AB|______.

2.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

xacost在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为错误！未找到引用源。（t为参数,a＞0）．

y1asint在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=4cos. （I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；

（II）直线C3的极坐标方程为0,其中0满足tan0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a． 3.【2016高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225．

（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程； （Ⅱ）直线l的参数方程是率．

4. 【2016高考新课标3理数】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

x3cos在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正

ysinxtcos（t为参数）, l与C交于A,B两点，|AB|10，求l的斜

ytsin半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin()22．

4（I）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

（II）设点P在C1上，点Q在C2上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标.

π7π

θ－＝2，点A的极坐标为A22，，则点1．(2015·广东，14)已知直线l的极坐标方程为2ρsin44A到直线l的距离为________．

π

2，到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________． 2．(2015·北京，11)在极坐标系中，点3π

3．(2015·安徽，12)在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值是________．

3π

θ－－4＝0，求圆C的半径． 4．(2015·江苏，21)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋22ρsin4

5．(2015·新课标全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C1，C2的极坐标方程；

π

(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．

4

x13cost,6．(2015·福建，21(2))在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 (t为参数)．在

y23sint极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直π

θ－＝m(m∈R)． 线l的方程为2ρsin4

①求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；

②设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．

3x2t,2(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴7．(2015·湖南，16Ⅱ)已知直线l：y31t2建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.

(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设点M的直角坐标为(5，3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．

1. 【2014高考安徽卷理第4题】以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程是是4cos，则直线l被圆C截得的弦长为（ ）

A.14 B.214 C.2 D.22 2. 【2014高考北京卷理第3题】曲线xt1（t为参数），圆C的极坐标方程

yt3x1cos，（为参数）的对称中心（ ）

y2sinA．在直线y2x上 B．在直线y2x上 C．在直线yx1上 D．在直线yx1上

xt3. 【2014高考湖北卷理第16题】已知曲线C1的参数方程是以坐标原点为极点，3tt为参数，

y3x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2，则C1与C2交点的直角坐标

为 .

x2cos4. 【2014高考湖南卷第11题】在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：，4y1sin（为参数）交于A、B两点，且AB2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________.

5.【2014江西高考理第12题】若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，

则线段y1x0x1的极坐标为（ ）

A.11,0 B.,0

cossin2cossin4C.cossin,02 D.cossin,04

6. 【2014重庆高考理第15题】已知直线l的参数方程为x2t（t为参数），以坐标原点为极点，xy3t2轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin线l与曲线C的公共点的极径________.

7. 【2014陕西高考理第15题】在极坐标系中，点(2,4cos00,02，则直

)到直线sin()1的距离是 . 668. 【2014天津高考理第13题】在以O为极点的极坐标系中，圆r=4sinq和直线rsinq=a相交于

A,B两点．若DAOB是等边三角形，则a的值为___________．

9.【2014高考福建理第21（2）题】 已知直线l的参数方程为方程为

xa2t，（t为参数），圆C的参数

y4tx4cos，（为常数）.

y4sin （I）求直线l和圆C的普通方程；

（II）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.

x110. 【2014高考江苏第21C题】在平面直角坐标系xoy中，已知直线l的参数方程y2参数），直线l与抛物线y4x相交于AB两点，求线段AB的长.

22t2（为

t2t211. 【2014高考辽宁理第23题】将圆xy1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.

（Ⅰ）写出C的参数方程；

(Ⅱ)设直线l:2xy20与C的交点为P1,P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标

22

l系，求过线段PP12的中点且与垂直的直线的极坐标方程.

x2t,x2y21，直线l：12. 【2014高考全国1第23题】已知曲线C1:（t为参数）. 49y22t,

（I）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（II）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，PA的最大值与最小值． 13. 【2014高考全国2第23题】在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos，

. 0,2（Ⅰ）求C的参数方程；

（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l:y3x2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标.

14. 【2014高考上海理科】已知曲线C的极坐标方程为p(3cos4sin)1，则C与极轴的交点到极点的距离是 .

（2013·新课标I理）（23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程

x=4+5cost

已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐

y=5+5sint

标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ。

（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）

（2013·新课标Ⅱ理）（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程 已知动点P，Q都在曲线C：x2cos（β为参数）上，对应参数分别为β=α

y2sin与α=2π（0＜α＜2π），M为PQ的中点。 （Ⅰ）求M的轨迹的参数方程

（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点。

（2013·陕西理）C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角为参数, 则圆

x2y2x0的参数方程为 .

yPθOx

（2013·江西理）15（1）．（坐标系与参数方程选做题）设曲线C的参数方程为：x=t，y=t2 （t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_______.

x2costy2sint(t为参（2013·广东理）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C的参数方程为数),C在点

1,1处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为

_____________.

（2013·福建理）(2).(本小题满分7分) 选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为

2,，直线l的极坐标方程为cos()a，且点A在直线l上。

44 （Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程；

x1cosa, （Ⅱ）圆C的参数方程为(a为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系.

ysina

（2013·辽宁理）23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C1，直线C2的极坐标方程分别为

4sin,cos22.. 4（I）求C1与C2交点的极坐标；

（II）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点已知直线.PQ的参数方程为

xt3ab3tR为参数,求a,b的值. yt12