2019-2020学年河北省部分重点高中高三(上)期末数学试卷(理科)

2019-2020学年河北省部分重点高中高三（上）期末数学试卷（理

科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝[﹣1，3），∁UB＝（﹣∞，1）∪（4，+∞），则A∩B＝（ ） A．（﹣1，1） 2．（5分）复数(A．﹣i

1−𝑖√2𝑖2

B．（﹣1，3） C．[1，3） D．[1，4]

)（其中i为虚数单位）的虚部等于（ ）

B．﹣1

C．1

D．0

3．（5分）已知各项为正数的等比数列{an}中，a2＝1，a4a6＝，则公比q＝（ ） A．4

B．3

C．2

D．√2

4．（5分）某校高一年级有甲，乙，丙三位学生，他们前三次月考的物理成绩如表：

学生甲 学生乙 学生丙

第一次月考物理成绩

80 81 90

第二次月考物理成绩

85 83 86

第三次月考物理成绩

90 85 82

则下列结论正确的是（ ）

A．甲，乙，丙第三次月考物理成绩的平均数为86 B．在这三次月考物理成绩中，甲的成绩平均分最高 C．在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定 D．在这三次月考物理成绩中，丙的成绩方差最大

5．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）

第1页（共19页）

A．54

𝜋2

B．27

𝜋2C．18

13D．9

6．（5分）已知α∈（，π）且sin（α+）=−，则tan（α+π）＝（ ） A．﹣2√2

2

B．2√2 C．−4

𝑥2𝑎2

√2√2D． 4

7．（5分）已知抛物线y＝2px（p＞0）与双曲线−

𝑦2𝑏2

=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点

F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（ ） A．√2+2

B．√5+1

C．√3+1

D．√2+1

8．（5分）下列命题中真命题的个数是（ ）

①△ABC中，B＝60°是△ABC的三内角A，B，C成等差数列的充要条件； ②若“am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题； ③xy≠6是x≠2或y≠3充分不必要条件； ④lgx＞lgy是√𝑥＞√𝑦的充要条件． A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

9．（5分）将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有（ ） A．252种 10．（5分）设a=（ ） A．﹣192

B．193

C．﹣6

D．7

﹣

B．112种

𝜋

∫2𝜋 √2𝑐𝑜𝑠(𝑥−2C．70种

1D．56种

+4)dx，则二项式（a√𝑥−𝑥）6展开式中含x2项的系数是

√𝜋

11．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f′（x）+f（x）＝2xex，若f（0）＝1，则函数

𝑓′(𝑥)𝑓(𝑥)

的取值范围为（ ）

第2页（共19页）

A．[﹣2，0] B．[﹣1，0] C．[0，1]

𝑥2𝑎2

D．[0，2]

−

𝑦2𝑏2

12．（5分）已知O为直角坐标系的坐标原点，双曲线C：=1（b＞a＞0）上有的

一点P（√5，m），（m＞0），点P在x轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点，过点P作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形PAOB的面积为1，则双曲线的标准方程是（ ）

𝑦2

A．𝑥−=1

42

B．

𝑥22𝑥2

32−

𝑦23

72=1 =1

𝑦2

C．𝑥−=1

62

D．−

𝑦2

二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.

𝑥+2𝑦≤1

13．（5分）设x，y满足约束条件{2𝑥+𝑦≥−1，则z＝3x﹣2y的最小值为 ．

𝑥−𝑦≤014．（5

𝜋

分）（理）∫2𝜋 （1+cosx）dx＝

−2 ．

𝜋21215．（5分）已知函数𝑓(𝑥)=𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴＞0，𝜔＞0，0＜𝜑＜)的图象过点(0，)，最小正周期为

2𝜋3

，且最小值为﹣1．若𝑥∈[，𝑚]，f（x）的值域是[−1，−

𝜋

6√32]，则m的

取值范围是 ．

16．（5分）数列{an}是首项a1≠0，公差为d的等差数列，其前n和为Sn，存在非零实数t，对任意n∈N*有Sn＝an+（n﹣1）t•an恒成立，则t的值为 ．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.

17．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝an+1﹣1，且a1＝1，数列{bn}中，b1＝1，b5＝9，2bn＝bn+1+bn﹣1（n≥2）． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式： （2）若cn＝anbn，求{cn}的前n项的和Tn．

18．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠ADC＝120°，AD的中点M是顶点P的底面ABCD的射影，N是PC的中点． （Ⅰ）求证：平面MPB⊥平面PBC；

（Ⅱ）若MP＝MC，求直线BN与平面PMC所成角的正弦值．

第3页（共19页）

1𝑥2𝑦2

19．（12分）已知椭圆𝐶：2+2=1(𝑎＞𝑏＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，

𝑎2𝑏

P是椭圆C上的一个动点，且△PFF2面积的最大值为√3． （1）求椭圆C的方程；

（2）设斜率不为零的直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q，且PQ的垂直平分线交y轴于点𝑇(0，8)，求直线PQ的斜率． 20．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax2． （1）若a＝1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；

（2）若f（x）在（0，+∞）有两个零点，求a的取值范围．

21．（12分）11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地﹣安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人或在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得﹣1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为

12

1

，乙每次投球命中的概容为，且各次投球互不影响．

3

2

（1）经过1轮投球，记甲的得分为X，求X的分布列；

（2）若经过n轮投球，用pi表示经过第i轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率．

①求p1，p2，p3；

②规定p0＝0，经过计算机计算可估计得pi＝api+1+bpi+cpi﹣1（b≠1），请根据①中p1，p2，p3的值分别写出a，c关于b的表达式，并由此求出数列{pn}的通项公式． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{𝑥=√3+2𝑐𝑜𝑠𝛼（α为参数），

𝑦=2+2𝑠𝑖𝑛𝛼直线C2的方程为𝑦=3𝑥，以O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．

第4页（共19页）

√3

（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；

（2）若直线C1与曲线C2交于P，Q两点，求|OP|•|OQ|的值． [选修4-5：不等式选讲]

23．已知a＞0，b＞0，a+2b＝3．证明： （1）𝑎2+𝑏2≥95； （2）𝑎3𝑏+4𝑎𝑏3≤8116．

第5页（共19页）

2019-2020学年河北省部分重点高中高三（上）期末数学试卷（理

科）

参与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝[﹣1，3），∁UB＝（﹣∞，1）∪（4，+∞），则A∩B＝（ ） A．（﹣1，1）

B．（﹣1，3）

C．[1，3）

D．[1，4]

【解答】解：∵全集U＝R，∁UB＝（﹣∞，1）∪（4，+∞）， ∴B＝[1，4]， ∵A＝[﹣1，3）， ∴A∩B＝[1，3）． 故选：C．

2．（5分）复数(1−𝑖)2（其中i为虚数单位）的虚部等于（ ） A．﹣i

B．﹣1

√2𝑖2

√2𝑖C．1

2𝑖2

D．0

2𝑖2

【解答】解：由于 ()=2=−2𝑖=−𝑖，所以虚部为﹣1， 1−𝑖(1−𝑖)

故选：B．

3．（5分）已知各项为正数的等比数列{an}中，a2＝1，a4a6＝，则公比q＝（ ） A．4

B．3

C．2

D．√2

【解答】解：∵各项为正数的等比数列{an}中，a2＝1，a4a6＝， 𝑎1𝑞=1∴{，且q＞0， 𝑎1𝑞3⋅𝑎1𝑞5=解得𝑎1

=，q＝2，

12∴公比q＝2． 故选：C．

4．（5分）某校高一年级有甲，乙，丙三位学生，他们前三次月考的物理成绩如表：

学生甲

第一次月考物理成绩

80

第二次月考物理成绩

85

第6页（共19页）

第三次月考物理成绩

90

学生乙 学生丙

81 90

83 86

85 82

则下列结论正确的是（ ）

A．甲，乙，丙第三次月考物理成绩的平均数为86 B．在这三次月考物理成绩中，甲的成绩平均分最高 C．在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定 D．在这三次月考物理成绩中，丙的成绩方差最大

【解答】解：由表中数据知，甲、乙、丙的第三次月考物理成绩的平均数为

13

×（90+85+82）=

257

＜86，∴A错误； 3这三次月考物理成绩中，丙的成绩平均分最高， 为×（90+86+82）＝86，∴B错误；

31

这三次月考物理成绩中，乙的成绩波动性最小，最稳定，∴C正确； 这三次月考物理成绩中，甲的成绩波动性最大，方差最大，∴D错误． 故选：C．

5．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）

A．54

B．27

C．18

D．9

【解答】解：由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥， 且底面为矩形，长6，宽3；体高为3． 则𝑉=3𝑆ℎ=3⋅6⋅3⋅3=18． 故选：C．

6．（5分）已知α∈（，π）且sin（α+2）=−3，则tan（α+π）＝（ ）

2

第7页（共19页）

11

𝜋

𝜋1

A．﹣2√2 B．2√2 𝜋

𝜋

C．−4

1

√2D．

√2 4

2√2【解答】解：∵已知α∈（，π）且sin（α+2）＝cosα=−3，∴sinα=√1−𝑐𝑜𝑠2𝛼=3，

2 tanα=𝑐𝑜𝑠𝛼=−2√2，则tan（α+π）＝tanα＝﹣2√2， 故选：A．

7．（5分）已知抛物线y＝2px（p＞0）与双曲线

2

𝑠𝑖𝑛𝛼

𝑥2𝑎2−

𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点

F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（ ） A．√2+2

B．√5+1

𝑝2

C．√3+1 D．√2+1

【解答】解：抛物线的焦点坐标为（，0）；双曲线的焦点坐标为（c，0）， ∴p＝2c，

∵点A 是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴， 将x＝c代入双曲线方程得到 A（c，

𝑏2𝑎

），

𝑏4𝑎2

将A的坐标代入抛物线方程得到解得=

𝑎𝑏

=2pc，即4a4+4a2b2﹣b4＝0．

√2+2√2，

𝑎2∴

𝑏2𝑎2=

𝑐2−𝑎2

=2+2√2，解得：=

𝑎

𝑐

√2+1．

故选：D．

8．（5分）下列命题中真命题的个数是（ ）

①△ABC中，B＝60°是△ABC的三内角A，B，C成等差数列的充要条件； ②若“am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题； ③xy≠6是x≠2或y≠3充分不必要条件； ④lgx＞lgy是√𝑥＞√𝑦的充要条件． A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【解答】解：①△ABC中，B＝60°⇔△ABC的三内角A，B，C成等差数列，故①正确； ②若“am2＜bm2，则a＜b”的逆命题“若a＜b，则am2＜bm2”，

当m＝0时不成立，故若“am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为假命题，故②错误； ③∵xy≠6是x≠2或y≠3的逆否命题是：

第8页（共19页）

若x＝2且x＝3，则xy＝6，真命题， ∴xy≠6⇒x≠2或y≠3，

∴xy≠6是x≠2或y≠3充分不必要条件，故③正确；

④f（x）＝lgx在定义域x＞0范围内是单增函数：lgx＞lgy可得到x＞y＞0 g（x）=√𝑥在定义域x＞＝0范围内是单增函数：√𝑥＞√𝑦可得到x＞y≥0 可见，lgx＞lgy⇒√𝑥＞√𝑦，但是当y＝0时，√𝑥＞√𝑦推不出lgx＞lgy， ∵lg0不存在，∴lgx＞lgy是√𝑥＞√𝑦的充分不必要条件，故④错误． 故选：B．

9．（5分）将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有（ ） A．252种

B．112种

C．70种

D．56种

【解答】解：由题意知将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生

包括甲、乙每屋住4人、3人或5人、2人， ∵当甲和乙两个屋子住4人、3人，共有C73A22 当甲和乙两个屋子住5人、2人，共有C72A22

∴根据分类计数原理得到共有C73A22+C72A22＝35×2+21×2＝112（种）． 故选：B． 10．（5分）设a=（ ） A．﹣192

【解答】解：由于a=＝2，

∴二项式（a√𝑥−

﹣r

𝜋

∫2𝜋 √2𝑐𝑜𝑠(𝑥−2+)dx，则二项式（a√𝑥−

𝜋416

）展开式中含x2项的系数是√𝑥B．193

𝜋

∫2𝜋 √2𝑐𝑜𝑠(𝑥−2C．﹣6 D．7

𝜋

√2√2𝜋𝜋2+4)dx=√2sin（x+4）|𝜋=√2×[（）﹣（−2）]

−22161𝑟

）＝（2√𝑥−）6，它的展开式的通项公式为Tr+1=𝐶6（•﹣1）r•26𝑥𝑥√√•x3r，

﹣

615令3﹣r＝2，可得r＝1，故二项式（a√𝑥−𝑥）展开式中含x2项的系数是−𝐶6•2＝﹣192，

√1故选：A．

第9页（共19页）

11．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f′（x）+f（x）＝2xex，若f（0）＝1，则

﹣

函数

𝑓′(𝑥)𝑓(𝑥)

的取值范围为（ ）

B．[﹣1，0]

﹣

A．[﹣2，0] C．[0，1] D．[0，2]

【解答】解：由f′（x）+f（x）＝2xex， 得

𝑓′(𝑥)+𝑓(𝑥)

𝑒−𝑥=2𝑥，即exf′（x）+exf（x）＝2x，

令g（x）＝exf（x），则g′（x）＝exf（x）+exf′（x）＝2x， ∴g（x）＝x2+c（其中c为常数），

𝑥2+𝑐∴f（x）=𝑒𝑥，

又f（0）＝1， ∴c＝1，则f（x）=

𝑥2+1

， 𝑒𝑥2𝑥−𝑥2−1

∴f′（x）=， 𝑒𝑥∴

𝑓′(𝑥)𝑓(𝑥)

=

2𝑥−𝑥2−1𝑥2+1𝑓′(𝑥)𝑓(𝑥)

𝑓′(𝑥)𝑓(𝑥)

=−1+

2𝑥

𝑥2+1

，

当x＝0时，当x≠0时，

1

=−1， =−1+

2𝑥+

1， 𝑥∵𝑥+𝑥∈(−∞，−2]∪[2，+∞)， ∴

𝑓′(𝑥)𝑓(𝑥)

∈[﹣2，0]．

故选：A．

12．（5分）已知O为直角坐标系的坐标原点，双曲线C：

𝑥2𝑎2−

𝑦2𝑏2=1（b＞a＞0）上有的

一点P（√5，m），（m＞0），点P在x轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点，过点P作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形PAOB的面积为1，则双曲线的标准方程是（ ）

𝑦2

A．𝑥−=1

42

B．

𝑥22𝑥2

32−

𝑦23

72=1 =1

𝑦2

C．𝑥−6=1

2

D．−

𝑦2

【解答】解：由题意可知：在x轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点，即c=√5， 由双曲线方程可得渐近线方程bx±ay＝0，

第10页（共19页）

由𝑃(√5，𝑚)（m＞0），设过P平行于bx+ay＝0的直线为l，

则l的方程为：bx+ay﹣b√5−am＝0，l与渐近线bx﹣ay＝0交点为A， 则A（

𝑏√5+𝑎𝑚2𝑏

，

𝑏√5+𝑎𝑚2𝑎

），|OA|＝|

𝑏√5+𝑎𝑚2

|2

√𝑎+𝑏

2

𝑎2𝑏

2，

P点到OA的距离是：d=

丨𝑏√5−𝑎𝑚丨√𝑎2+𝑏

2，

∵|OA|•d＝1，∴|

𝑏√5+𝑎𝑚2

|

2√𝑎+𝑏

2

𝑎2𝑏

2•丨𝑏√5−𝑎𝑚丨√𝑎2+𝑏2=1，

5b2﹣a2m2＝2ab，

由P在双曲线上，5b2﹣a2m2＝a2b2， 且a2+b2＝5， ∴b＝2，a＝1，

𝑦2

∴双曲线的方程为𝑥−4=1，

2

故选：A．

二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.

𝑥+2𝑦≤1

13．（5分）设x，y满足约束条件{2𝑥+𝑦≥−1，则z＝3x﹣2y的最小值为 ﹣5 ．

𝑥−𝑦≤0𝑥+2𝑦≤1

【解答】解：由x，y满足约束条件{2𝑥+𝑦≥−1作出可行域如图，

𝑥−𝑦≤0由图可知，目标函数的最优解为A， 𝑥+2𝑦=1联立{，解得A（﹣1，1）．

2𝑥+𝑦=−1∴z＝3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1＝﹣5． 故答案为：﹣5．

第11页（共19页）

𝜋

14．（5分）（理）∫2𝜋 （1+cosx）dx＝ ．

−2𝜋𝜋2【解答】解：∫𝜋 (1+𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥=（x+sinx）|2𝜋

−−22=

𝜋𝜋

+1﹣（−−1）＝π+2， 22故答案为π+2．

15．（5分）已知函数𝑓(𝑥)=𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴＞0，𝜔＞0，0＜𝜑＜2)的图象过点(0，2)，最小正周期为

2𝜋3

𝜋

1

，且最小值为﹣1．若𝑥∈[，𝑚]，f（x）的值域是[−1，−

29518𝜋

6√32]，则m的

取值范围是 [𝜋，𝜋] ．

12𝜋2

=𝜋，所以ω＝3，又过（0，），即cos（3•0+φ）𝜔32

【解答】解：由题意可得A＝1，T==，0＜φ＜，所以φ=， 所以f（x）＝cos（3x+）；

𝜋

312𝜋2𝜋3因为𝑥∈[，𝑚]，所以3x+∈[𝜋，3m+]，令t＝3x+，t∈[＝cost，t∈[

5𝜋6

𝜋6𝜋536

𝜋3𝜋35𝜋6

，3m+]，所以f（t）

𝜋3，3m+]，

𝜋3

第12页（共19页）

由f（x）的值域是[−1，−

√3√32]，即f（t）的值域是[−1，−

7

5

√32]，如图所示，t=𝜋或

567𝜋6

，

f（t）=−2，这时3m+3=6𝜋，解得m=18𝜋， 当t＝3m+3=π，即m=9𝜋，f（t）＝﹣1， 所以m的取值范围为：[𝜋，

92

518

𝜋

2

𝜋

π]．

故答案为：[𝜋，

9

25

18

π]．

16．（5分）数列{an}是首项a1≠0，公差为d的等差数列，其前n和为Sn，存在非零实数t，对任意n∈N*有Sn＝an+（n﹣1）t•an恒成立，则t的值为 1或 ．

21

【解答】解：∵对任意n∈N*有Sn＝an+（n﹣1）t•an恒成立， ∴Sn﹣1＝（n﹣1）t•an（n≥2）恒成立， 又数列{an}是首项a1≠0，公差为d的等差数列， ∴

(𝑎1+𝑎𝑛−1)(𝑛−1)

2𝑎1+𝑎1

22𝑎1+𝑎2

=（n﹣1）t•an（n≥2）恒成立，即=a1＝ta2＝t（a1+d）① =

2𝑎1+𝑑2

𝑎1+𝑎𝑛−1

2

=t•an（n≥2）恒成立，

当n＝2时，当n＝3时，

=t（a1+2d）②

联立①②得：d2＝a1d， ∴d＝0或d＝a1， 当d＝0时，t＝1； 当d＝a1时，t=2． 故答案为：1或．

211

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.

17．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝an+1﹣1，且a1＝1，数列{bn}中，b1＝1，b5＝9，2bn＝bn+1+bn﹣1（n≥2）． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式： （2）若cn＝anbn，求{cn}的前n项的和Tn． 【解答】解：（1）由题意，可知：

第13页（共19页）

对于数列{an}： ①当n＝1时，a1＝1．

②当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（an+1﹣1）﹣（an﹣1）＝an+1﹣an． ∴an+1＝2an．

∴数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列． ∴an＝2n1．

﹣

对于数列{bn}：

∵2bn＝bn+1+bn﹣1（n≥2）．

∴根据等差中项判别法，可知：数列{bn}是等差数列． 又∵公差d=

𝑏5−𝑏19−1

==2． 5−14∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列． ∴bn＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1． （2）由（1），可知： cn＝anbn，＝（2n﹣1）•2n1．

﹣

Tn＝c1+c2+…+cn

＝1•1+3•21+5•22+…+（2n﹣1）•2n1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣①．

﹣

2𝑇𝑛=1⋅21+3⋅22+⋯+(2𝑛−3)⋅2𝑛−1+（2n﹣1）•2n，﹣﹣﹣﹣﹣﹣②． ①﹣②，可得：

−𝑇𝑛=1+2⋅21+2⋅22+⋯+2•2n1﹣（2n﹣1）•2n

﹣

＝1+4•（1+2+22+…+2n2）﹣（2n﹣1）•2n

﹣

＝1+4•

1−2𝑛−11−2

﹣

−（2n﹣1）•2n

＝1+4•（2n1﹣1）﹣（2n﹣1）•2n ＝（3﹣2n）•2n﹣3． ∴Tn＝（2n﹣3）•2n+3．

18．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠ADC＝120°，AD的中点M是顶点P的底面ABCD的射影，N是PC的中点． （Ⅰ）求证：平面MPB⊥平面PBC；

（Ⅱ）若MP＝MC，求直线BN与平面PMC所成角的正弦值．

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【解答】（Ⅰ）证明：在菱形ABCD中，设AB＝2a，M是AD的中点，

MB2＝AM2+AB2﹣2AM•AB•cos60°＝3a2，MC2＝DM2+DC2﹣2DM•DC•cos120°＝7a2． 又∵BC2＝4a2，∴MB2+BC2＝MC2，∴MB⊥BC，

又∵P在底面ABCD的射影M是AD的中点，∴PM⊥平面ABCD， 又∵BC⊂平面ABCD，∴PM⊥BC，

而PM∩MB＝M，PM，MB⊂平面PMB，∴BC⊥平面PMB， 又BC⊂平面PBC，∴平面MPB⊥平面PBC． （Ⅱ）解：过B作BH⊥MC，连接HN，

∵PM⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BH⊥PM，

又∵PM，MC⊂平面PMC，PM∩MC＝M，∴BH⊥平面PMC， ∴HN为直线BN在平面PMC上的射影， 故∠BNH为直线BN与平面PMC所成的角， 在△MBC中，𝐵𝐻=

2𝑎⋅√3𝑎2√21=7𝑎 √7𝑎由（Ⅰ）知BC⊥平面PMB，PB⊂平面PMB，∴PB⊥BC． 𝐵𝑁=2𝑃𝐶=2𝑎，

𝑎2√6𝐵𝐻

∴𝑠𝑖𝑛∠𝐵𝑁𝐻=𝐵𝑁=√7=7． 142𝑎2√211√14

19．（12分）已知椭圆𝐶：

1𝑥2𝑦2

+=1(𝑎＞𝑏＞0)的左、右焦点分别为F，F，离心率为，12𝑎2𝑏22

第15页（共19页）

P是椭圆C上的一个动点，且△PFF2面积的最大值为√3． （1）求椭圆C的方程；

（2）设斜率不为零的直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q，且PQ的垂直平分线交y轴于点𝑇(0，8)，求直线PQ的斜率．

【解答】解：（1）因为椭圆离心率为，当P为C的短轴顶点时，△PF1F2的面积有最大

21

1

值√3，

𝑎=2𝑎=2𝑥2𝑦2

222所以𝑎=𝑏+𝑐，所以{𝑏=√3，故椭圆C的方程为：+=1

43 1𝑐=1

{2×2𝑐×𝑏=√3（2）设直线PQ的方程为y＝k（x﹣1）， 当k≠0时，y＝k（x﹣1）代入

𝑥24

𝑐

1

+

𝑦23

=1，

得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0， 设P（x1，y1），Q（x2，y

2

），线段PQ的中点为N（x0，y0），

24𝑘2−3𝑘𝑦1+𝑦2𝑥1+𝑥24𝑘−3𝑘x0==，y==k（x﹣1）=，即N（，）． 0022223+4𝑘23+4𝑘23+4𝑘3+4𝑘

因为TN⊥PQ，则

−3𝑘1

−283+4𝑘kTN•kPQ＝﹣1，所以4𝑘2•k＝﹣1，

3+4𝑘2化简得4k2﹣8k+3＝0，解得k=或k=． 20．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax2． （1）若a＝1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；

（2）若f（x）在（0，+∞）有两个零点，求a的取值范围．

【解答】（1）证明：当a＝1时，函数f（x）＝ex﹣x2，则f′（x）＝ex﹣2x． 令g（x）＝ex﹣2x，则g′（x）＝ex﹣2，令g′（x）＝0，得x＝ln2． 当x∈（0，ln2）时，g′（x）＜0，当x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＞0， ∴g（x）≥g（ln2）＝eln2﹣2ln2＝2﹣2ln2＞0， ∴f（x）在[0，+∞）上单调递增， ∴f（x）≥f（0）＝1；

（2）解：f（x）在（0，+∞）有两个零点⇔方程ex﹣ax2＝0在（0，+∞）有两个根， ⇔𝑎=

1

232𝑒𝑥

在（0，+∞）有两个根， 𝑥2第16页（共19页）

𝑒𝑥

即函数y＝a与G（x）=2 的图象在（0，+∞）有两个交点．

𝑥𝑒𝑥(𝑥−2)

G′（x）=，

𝑥3当x∈（0，2）时，G′（x）＜0，G（x）在（0，2）递增， 当x∈（2，+∞）时，G′（x）＞0，G（x）在（2，+∞）递增， ∴G（x）最小值为G（2）=

𝑒2， 4当x→0 时，G（x）→+∞，当x→+∞时，G（x）→+∞， ∴f（x）在（0，+∞）有两个零点时，a的取值范围是（

𝑒24

，+∞）．

21．（12分）11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地﹣安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人或在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得﹣1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为

12

，乙每次投球命中的概容为，且各次投球互不影响．

3

2

（1）经过1轮投球，记甲的得分为X，求X的分布列；

（2）若经过n轮投球，用pi表示经过第i轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率．

①求p1，p2，p3；

②规定p0＝0，经过计算机计算可估计得pi＝api+1+bpi+cpi﹣1（b≠1），请根据①中p1，p2，p3的值分别写出a，c关于b的表达式，并由此求出数列{pn}的通项公式． 【解答】解：（1）X的可能取值为﹣1，0，1， P（X＝﹣1）=(1−2)×3=3， P（X＝0）=

12121

×+(1−)×(1−)=， 232321

2

1

1

2

1

P（X＝1）=2×(1−3)=6， ∴X的分布列为：

X P

（2）①由（1）知p1=6，

第17页（共19页）

﹣1 3

1

1

0

21

1 61

经过两轮投球甲的累计得分高有两种情况：

一是两轮甲各得1分，二是两轮中有一轮甲得0分，有一轮甲得1分，

1

∴p2=6×6+𝐶2(2)(6)=36．

11117

经过三轮投球，甲的累计得分高有四种情况：

一是三轮甲各得1分，二是三轮中有两轮甲各得1分，一轮得0分，三是三轮中有一轮甲得1分，两轮各得0分，四是两轮各得1分，1轮得﹣1分，

212∴p3=(6)3+𝐶3(6)2(2)+𝐶3(6)(2)2+𝐶3(6)2(3)=216．

111111143

②∵p0＝0，pi＝api+1+bpi+cpi﹣1（b≠1）， ∴𝑝𝑖=

𝑎𝑐

𝑝𝑖+1+𝑝， 1−𝑏1−𝑏𝑖−1

1

6𝑎6𝑐1743

，𝑝3=代入，解得=，=， 362161−𝑏71−𝑏7

将𝑝0=0，𝑝1=，𝑝2=

6

717∴𝑎=(1−𝑏)，𝑐=(1−𝑏)，

∴𝑝𝑖=𝑝𝑖+1+𝑝𝑖−1，∴𝑝𝑖+1=𝑝𝑖−𝑝𝑖−1， ∴pi+1﹣pi=6（pi﹣pi﹣1），

∵p1﹣p0=，∴{pn﹣pn﹣1}是首项与公比都是的等比数列，

6

1

61

167177616∴pn﹣pn﹣1=

1𝑛， 6

11

6(1−6𝑛)1−16∴pn＝p0+（p1﹣p0）+（p2﹣p1）+…+（pn﹣pn﹣1）=

=5(1−

1

1

𝑛)． 6（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

𝑥=√3+2𝑐𝑜𝑠𝛼

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{（α为参数），

𝑦=2+2𝑠𝑖𝑛𝛼直线C2的方程为𝑦=3𝑥，以O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；

（2）若直线C1与曲线C2交于P，Q两点，求|OP|•|OQ|的值． 【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为{𝑥=√3+2𝑐𝑜𝑠𝛼（α为参数），

𝑦=2+2𝑠𝑖𝑛𝛼转化为普通方程：(𝑥−√3)2+(𝑦−2)2=4， 即𝑥2+𝑦2−2√3𝑥−4𝑦+3=0，

第18页（共19页）

√3

则C1的极坐标方程为𝜌2−2√3𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃−4𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃+3=0，…（3分） ∵直线C2的方程为𝑦=3𝑥，

∴直线C2的极坐标方程𝜃=(𝜌∈𝑅)．…（5分） （2）设P（ρ1，θ1），Q（ρ2，θ2）， 将𝜃=

𝜋

(𝜌∈𝑅)代入𝜌2−2√3𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃−4𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃+3=0， 6𝜋6√3得：ρ2﹣5ρ+3＝0， ∴ρ1•ρ2＝3，

∴|OP|•|OQ|＝ρ1ρ2＝3．…（10分） [选修4-5：不等式选讲]

23．已知a＞0，b＞0，a+2b＝3．证明： （1）𝑎2+𝑏2≥； （2）𝑎3𝑏+4𝑎𝑏3≤16．

【解答】证明：（1）已知a＞0，b＞0，a+2b＝3，则a＝3﹣2b＞0，b∈（0，），

23

819

5所以a2+b2＝（3﹣2b）2+b2＝5b2﹣12b+9＝5（b−）2+≥， 当b=5时，a＝3﹣2b=5时，取等号， 故结论成立；

（2）已知a＞0，b＞0，a+2b＝3≥2√2𝑎𝑏， 故0＜ab≤8，当且仅当a＝2b=2取等号，

所以a3b+4ab3＝ab（a2+4b2）＝ab[（a+2b）2﹣4ab]＝ab（9﹣4ab）＝﹣4（ab）2+9ab=

819

−4(𝑎𝑏−)2， 16

3

6

3

6

59595当且仅当ab=8时，取等号， 故命题成立．

9

第19页（共19页）