初中数学思想方法

一 数形结合的思想方法

注解：

数形结合思想指将数量与图形结合起来，对题目中的给定的题设和结论既进行代数方面的分析，又从几何含义方面进行分析，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，也可以使图形的性质通过数量之间的计算与分析，达到更加完整、严密和准确。

在解决数学问题的过程时要善于由形思数，由数思形，数形结合，通过数量与图形的转化，把数的问题利用图形直观的表示出来，力图找到解题思路。

数形结合是数学学习的一个重要方法，通常与平面直角坐标系，数轴及其他数学概念同时使用。 实例运用：

1、 在实数中的运用

【例1】如图，在所给数轴上表示出实数—3，—1，2的点，并把这组数从小到大用“＜”连接。

【例2】已知a＜0，b＜0，且a＜b，则（ ）

A —b＞—a B —b＞a C —a ＞b D b＞a 2、 在不等式中的运用 【例3】不等式组2x03x0的正整数解的个数为（ ）

A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

【例4】关于x的不等式组3、 在方程（组）中的运用

2xy4【例5】利用图像法解方程组

x2y1252x1xa0无解，则a的取值范围是 。

4、 在函数中的运用

【例6】某水电站的蓄水池有2个进水口和1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示。已知某天0点到6点进行机组试运行，试机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示。 给出三个判断：

（1）0点到3点，只进水不出水；（2）3点到4点，不进水只出水；（3）4点到6点，不进水不出水。则以上判断正确的是（ ）

A （1） B （2） C （2）（3） D （1）（2）（3） 【例7】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则在（1）a＜0,（2）b＞0（3）c＜0（4）b2-4ac＞0中，正确的判断是（ ） A （1）（2）（3）（4） B （4） C（1）（2）（3） D（1）（4）

1

5、 在统计与概率中的运用

【例8】近年来，某市旅游业蓬勃发展，吸引了大批海内外游客前来观光，下面两图分别反映了该市2001—2004年旅客总人数和旅游业总收入的情况。 根据统计图回答下列问题：

（1）2004年游客总人数为 万人次，旅游业总收入为 万元。

（2）在2002年、2003年、2004年这三年中，旅游业总收入增长最大的是 年，这一年的旅游业总收入比上一年增长的百分率是 （精确到0.1%）。

（3）2004年的游客中，国内的游客为1200万人次，其余为海外游客，国内游客的人均消费约为700元，问海外游客的人均消费为多少元？

2001—2004年游客总人数统计图 2001年—2004年旅游业总收入统计图

6、 在探究规律中的运用

【例9】如图是小张用火柴搭的1条、2条、3条……“金鱼”。则搭n条“金鱼”需要火柴 根。

练习随堂：

1、a、b、c在数轴上的位置如图所示：且︱a︱=︱b︱，︱c－a︱＋︱c－b︱＋︱a＋b︱= 。

22、实数a、b在数轴上的位置如图所示：化简a＋∣a－b∣= 。

3、已知在坐标平面中，点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则P点的坐标是 。

4、已知点M(1-a，a+2)在第二象限，则a的取值范围是（ ） （A）a>－2 (B)－21

5、在频率分布直方图中，小长方形的面积等于（ ）

（A）相应各组的频数 （B）组数 （C）相应各组的频率 （D）组距

6、等腰梯形两底之差等于一腰的长，则它的腰与下底的夹角是 。

7、等腰梯形中位线长为a，对角线互相垂直则此梯形的面积是 。

8、已知⊙O的半径为25cm，⊙O的两条平行弦AB=40cm，CD=48cm，求这两条平行弦间的距离

是 。

9、若等腰三角形的底角为15，腰长为5㎝，则腰上的高为 。

10、若三角形的三边都为整数，周长为11，且有一边为4，则这个三角形的另两边的长可能是 。

11、如图，在△ABC中，∠C=90o, AB的垂直平分线交AC于D，垂足为E，若∠A=30o，DE=4㎝，求∠DBC的度数和CD的长。

2

0

11、如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为4，A的坐标为(2，0)，⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过C点作⊙A 的切线BC交x轴于点B。(1)求直线BC的解析式；(2)若抛物线y=ax+bx+c的顶点在直线BC上，与x轴的交点恰为⊙A与x轴的交点，求抛物线的解析式；(3)试判断点C是否在抛物线上，并说明理由。 课后练习： 选择题：

1、“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点表示的数是”，这种说明问题的方式体现的数学思想叫做（ ）

A 代入法 B 换元法 C 数形结合 D 分类讨论

2、实数a，b在数轴上的未知如图所示，那么化简的结果是（ ） A 2a-b B b C –b D -2a+b 3、若M(122

,y1),N(14,y2),P(

12,y3)三点都在函数y（k<0）的图象上，

xk则y1，y2，y3的大小关系为（ ）

A y2＞y3＞y1 B y2＞y1＞y3 C y3＞y1＞y2 D y3＞y2＞y1 4、能表示如图所示的一次函数图象的解析式是（ ）

A y=2x+2 B y=-2x-2 C y=-2x+2 D y=2x-2

5、如果等腰三角形的底角是30°，腰长为6cm，那么这个三角形的面积是（ ）

2222

A 4.5cm B 93cm C 183cm D 36cm

6、“龟兔赛跑”讲诉了这样的故事：领先的兔子看着爬行缓慢的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是最先到达终点。用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程s，用t表示时间，则下列图象与故事情节吻合的是（ ）

7、在平面直角坐标系中，A（1，2）点的横坐标乘以-1，纵坐标不变，得到点B，则A与B两点的关系是（ ）

A 关于x轴对称 B 关于y轴对称 C 关于原点对称 D 将A向x轴负方向平移一个单位

8、已知⊙O1和⊙O2的半径分别是5和2，O1O2=3,则两圆的位置关系为（ ）

A 外离 B 外切 C 相交 D 内切

9、小华设计了个仪器测定圆的直径，标有刻度的尺子OA,OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位。则圆的直径为（ ） A 12个单位 B 10个单位 C 4个单位 D 15个单位

10、如图是甲乙两个家庭全年支出费用的扇形统计图，则下列关于两家全年对食品支出的费用中，判断正确的是（ ）

A 甲户比乙户多 B 乙户比甲户多 C 两户一样多 D 无法确定哪家多 填空题：

3

1、如图是某校四个年级男女生人数的条形统计图，则学生最多的年级是 。

2、近年来某市不断加大对城市绿化的经济投入，使全市绿化面积不断增加，从2002年底到2004年底城市绿地面积变化如图所示，那么绿地面积的平均增长率是 。 3、抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，则它关于y轴对称的抛物线的解析式是 。

4、如图△ABC内接于⊙O，∠B=30°，AC=2cm，则⊙O的半径为 。 5、如图是根据某地近两年6月上旬日平均气温绘制的折线统计图，由图可知，这两年6月上旬气温比较稳定的年份是 。

6、如图是由边长为a和b的两个正方形组成的图形，可以通过用不同的方法计算阴影部分的面积，可以验证的公式是 。 解答题：

1、阅读下列材料：

点A，B在数轴上分别表示实数a，b。A，B两点之间的距离表示为B中有一点是原点时，不妨设A点在原点，如图（1），AOBbab，当AB两点

同理，当点B在原点时，ABOAaab 当A，B都不在原点时，

①如图（2），点A，B都在原点的左边，ABOBOAbaab

②如图（3），点A，B都在原点的右边，ABOAOBbab(a)ab ③如图（4）点A，B分别在原点的两边，ABOAOBaba(b)ab

回答下列问题：

（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 。数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 。

（2）数轴上表示x和-1的两点之间的距离是 。如果=2，那么x为 。 （3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 。

4

2、某储水塔在工作期间，每小时的进水量和出水量都是固定不变的，每日从凌晨4点到8点，只进水不出水；8点到12点既进水又出水；14点到凌晨只出水不进水。经测定，水塔的储水量y（立方米）与时间x（小时）的关系如图。

（1）求每小时的进水量；

（2）当8≤x≤12时，求y与x之间的函数关系； （3）当14≤x≤16时，求y与x之间的函数关系。 3、如图是某班学生外出乘车、步行和骑车的人数分布直方图和扇形分布图。根据统计图回答： （1）求该班有多少学生？

（2）补上分布图中空缺的部分。

（3）在扇形统计图中，求骑车人数所占圆心角的度数。 （4）若全年级有500人，估计该年级步行人数。

4、如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴的负半轴相交于A，B两点，与y轴的正半轴相交于C点，与双曲线y析式。

6x的一个交点是（1，m），且OA=OC。求抛物线的解

二 分类讨论的思想方法

注解：

分类讨论思想又称为逻辑划分，是中学数学最常用的数学思想方法之一，也是中考数学中经常出现的

数学思想。分类讨论就是依据一定的标准，对问题进行分类，求解，然后综合出问题的答案。

当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按照可能出现的情况进行分类，分别讨论，得出各种不同情况下的相应结论。

分类原则：分类的对象是明确的；标准是统一的，不遗漏、不重复、分层次；不越级讨论。 分类方法：明确讨论的对象，确定对象的全体，然后确立分类标准，正确进行分类；逐步进行讨论，获取阶段性结果；归纳总结，综合得出结论。 实例运用：

1、 在实数中的运用

【例1】若，a1，b4且ab＜0，则a+b= 【例2】若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，求m。 2、 在代数式中的运用 【例3】若实数x满足xx9x4x32221x2x1x0，求x1x的值。

【例4】分式的值为0，则x= （ ）

A 3 B 3或-3 C -3 D 0 3、 在方程（组）中的运用

【例5】已知关于x的方程ax+2x-1=0有实根，求a的取值范围。

【例6】黄金周期间，某商场购物有如下优惠方案：（1）一次性购物在100元内（不含100元）时，不享受优惠；（2）100元到300元（不含300元）时，一律享受9折优惠；（3）300元以上时，享受8折优惠。 张伟在本商场分两次购物，分别付款80元和252元。如果改为在该商场一次性购买，需要支付多少钱？

4、 在不等式中的运用

5

2

【例7】国家规定个人发表文章，出版图书获得稿费的纳税计算办法是：（1）稿费不高于800元的，不纳税；（2）稿费高于800元，不高于4000元的，缴纳超过800那部分的14%；（3）稿费高于4000元的，应缴纳全部稿费的12%。

已知某作家获得一笔稿费，并交纳个人所得税a元（a＞0），求这笔稿费有多少元。

5、 在函数中的运用

【例8】如果一次函数y=ax+b的自变量x的取值范围是-2≤x≤6，相应函数值y的范围是-11≤y≤9，求这个一次函数的解析式。

【例9】一次函数y=kx-k与反比例函数ykx在同一直角坐标系内的大致图象是（ ）

6、 在三角形中的运用

【例10】等腰三角形的一个角等于30°，腰长为20cm，求等腰三角形腰上的高的长。 【例11】已知直角三角形两边x、y的长满足x247、 在四边形中的运用

【例12】劳技课上，老师要求学生在一张长17cm，宽16cm的长方形纸片上剪下一个腰长为10cm的等腰三角形，要求等腰三角形的一个顶点与长方形的顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上。请帮助同学们计算一下所得等腰三角形的面积。

【例13】在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=900，BC=16，DC=12，AD=21，

动点P从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动时间为t秒．

（1） 设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

当t为何值时，以B、P、Q三点为项点的三角形是等腰三角形？ 8、 在圆中的运用

【例14】直角三角形的两边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆的半径等于 。

【例15】已知⊙O的直径为6cm，如果直线上的一点C到圆心的距离为3cm，则直线与⊙O得位置关系是 。

【例16】⊙O的半径为5㎝，弦AB∥∥CD，AB=6㎝，CD=8㎝，则AB和CD的距离是（ ） （A）7㎝ （B）8㎝ （C）7㎝或1㎝ （D）1㎝ 随堂练习：

1、已知：x=3，y=2，且x·y<0，则x＋y的值等于 。 2、设为实数，下列四个命题中有 等正确（添代号）：

①若a＋b=0，则a=b ②若a＋b=0，则a=b=0 ③若a2＋b2=0，则a=b=0 ④若ab=0，则a=b=0

B F

A D E C

则第三边长为 ． y5y60，

2 6

3、当式子

x5x4x52的值为零时，x的值是 。

4、如图,四边形ABCD是正方形,E是CD中点,F是BC上一点,

则能使△ABF∽△ECF的条件是 。 5、已知圆的弦把圆周分为1：5两部分，则弦所对的圆周角的 度数是 。

6、已知两圆的半径分别是5㎝和6㎝，且两圆相切，则圆心距是 。

7、已知两圆相交，且公共弦为8㎝，圆心距是6㎝，若一圆半径为5㎝，则另一圆的半径是 。

8、公民的月收入超过1600元时，超过部分须依法缴纳个人所得税，当超过部分在500元以内(含500元)时税率为5%，那么公民每月所纳税款y(元)与月收入x(元)之间的函数关系式是 ，自变量取值范围是 ．某人月收人为1960元，则该人每月应纳税 元．

xm19、若不等式组无解，则m的取值范围是 。

x2m110、已知：如图，在直角坐标系中，⊙C与y轴相切于点O，且C点的坐标为(1，0)，直线l过点A(－1，0)与⊙C切于D点。(1)求直线l的解析式；(2)在直线l上存在点P，使△APC为等腰三角形，求P点的坐

标。

11、已知等腰△ABC的周长为18㎝，BC=8㎝．若△ABC≌△A´B´C´，则△A´B´C´中一定有一定有条边等于（ ）

A．7㎝ B．2㎝或7㎝ C．5㎝ D．2㎝或7㎝

12、已知⊙O的半径为2，点P是⊙O外一点，OP的长为3，那么以P这圆心，且与⊙O相切的圆的半径一定是（ ）

A．1或5 B．1 C．5 D．1或则

13、A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，以过t小时两车相距50千米，则t的值是（ ）

A．2或2．5 B．2或10 C．10或12．5 D．2或12．5 1４、已知点Ｐ是半径为２的⊙Ｏ外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，且PA=2，在⊙O内作了长为22的弦AB，连续PB，则PB的长为 15、在直角坐标系xoy中，一次函数y33x2的图象与x轴交于点A，与

y轴交于点B．（1）苈以原点

O这圆心的圆与直线AB切于点C，求切点C的坐标．（2）在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

课后练习：

选择题：

1、已知，则a的值为：（ ）

A 2 B -2 C ±2 D ±1/2 2、代数式

aabb（ab≠0）的所有可能的结果有（ ）

A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 3、若化简1xx8x16的结果为2x-5，则x得取值范围是（ ）

2A x为任意实数 B 1≤x≤4 C x≥1 D x≤4

7

4、已知x-y=4，且xy7，那么x+y的值为（ ）

A 2

32 B 112 C ±7 D ±11

5、方程x=2x的解为（ ）

A x=2 B x1=0，x2= 2 C x1=2，x2=0 D x=0

6、现有甲乙两种运输车将46吨抗旱物质运送往灾区，甲种车载重5吨，乙种车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种车至少需要安排（ ）

A 4辆 B 5辆 C 6辆 D 7辆

7、如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路线为（ ）

A 2 B 18、已知A（2，0），B(

122a C 3a D

5a

，0)，C（0，1），以A，B，C三点为顶点画平行四边

形，则第四个顶点不可能在（ ）

A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限

9、已知△ABC是半径为2的圆的内接三角形，若BC=cm，则∠A的度数为（ ）

A 30° B 60° C 120° D 60°或120°

10、若⊙O1和⊙O2相切，它们的半径分别为5cm和3cm，则圆心距O1O2=（ ）

A 8cm B 2cm C 8cm或2cm D 以上答案都不对 填空题：

1、在数轴上，离原点距离等于3的数是 。 2、当m= 时，分式

m1m3m3m22的值为0。

3、一个等腰三角形的两边长分别为8cm和6cm，则它的周长为 。 4、已知直角三角形的两边x，y的长满足x42y5y60，则第三边的长为 。

25、给出一个正方形，请你动手画一画，将它平分成n个小正方形，通过思考，你认为这样的自然数n可以取的所有值应该是 。

6、在半径为1的⊙O中，弦AB，AC分别为3和2，则∠BAC的度数为 。 解答题：

1、某自来水公司鼓励居民节约用水，采取按月用水量分段收费的办法，若居民应缴水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示。 (1)分别写出当0≤x≤15和x≥15时，y与x的函数关系。

（2）若一用户某月用水21吨，则应缴水费多少元？

2、某篮球队在平时训练中，球员甲的3分球命中率为70%，球员乙的3分球命中率为50%，在一场比赛中，甲投3分球4次，命中1次；乙投3分球4次，全部命中。全场比赛即将结束，甲乙两人所在的球队还落后对手2分，但只有最后一次进攻机会了，若你是这个球队的教练，问： （1）最后一个3分球由甲、乙中谁来投，获胜的机会更大？ （2）请简要说明你的理由。 3、如图，已知平行四边形ABCD及四边形外一直线l，四个顶点A,B,C,D

8

到直线l的距离分别为a,b,c,d。

（1）观察图形，猜想得出a,b,c,d满足怎样的关系式？并证明你的结论。 （2）现将直线l向上平移，你得到的结论还成立吗？说明理由。 4、如图，Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，点C和点M重合，BC和MN在同一直线上，让Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在的直线向右以每秒1cm的速度移动，直到点C与点N重合为止。设移动x秒后，矩形ABCD与

Rt△PMN重叠部分的面积为y（cm），求y与x之间的函数关系。

5、如图，在直角坐标系中,O是原点,A、B、C三点的坐标分别为A（18，0）、B（18，6）、C（8，6），四边形OABC是梯形．点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．

（1）求出直线OC的解析式．

2

yCQOP图2-4-37AxB（2）设从出发起运动了t秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围．

（3）设从出发起运动了t秒，当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分？如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由．

6、如图2-4-47，四边形AOBC为直角梯形，OC=5，OB=%AC，OC所在直线方程为y2x，平行于OC的直线l为：y2xt，l是由A点平移到B点时，l与直角梯形AOBC两边所转成的三角形的面积记为S．（1）求点C的坐标．（2）求t的取值范围．（3）求出S与t之间的函数关系式．

7、如图2-4-48，在△ABC中，∠B=900，点P从点A开始沿AB边向点B以1㎝/秒的

CQ8cmAPB速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2㎝/秒的速度移动．（1）如果P、Q

分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8㎝2？（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，点P到达点B后又继续沿BC边向点C移动，点Q到达点C后又继续沿CA边向点A移动，

DA在这一整个移动过程中，是否存在点P、Q，使△PBQ的面积等于9㎝2？若存在，试确定P、Q的位置；若不存在，请说明理由．

4．如图2-4-49，在梯形ABCD中，AB=BC=10㎝，CD=6㎝，∠C=∠D=90．（1）

如图2-4-50，动点P、Q同时以每秒1㎝的速度从点B出发，点P沿BA、AD、DC

2

运动到点C停止．设P、Q同时从点B出发t秒时，△PBQ的面积为y1（㎝），求y1（㎝）关于t（秒）的函数关系式．（2）如图2-4-51，动点P以每秒1㎝的速度

2

0

6cm图2-4-4810cm8cmCB6cm图2-4-49从点B出发沿BA运动，点E在线段CD上随之运动，且PC=PE．设点P从点B出发t秒时，四边形PADE的面积为y2（㎝2）．求y2（㎝2）关于t（秒）的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

三 化归思想

注解：

“化归”就是转化和归结的简称。所谓化归就是将所要解决的问题转化归结为另一个比较容易解决的问题或已经解决的问题。具体说就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂问题”转化为“简单问题”。如将分式方程转化为整式方程，将高次方程转化为低次方程，将二元转化为一元，将四边形转化为三角形，将非对称图形转化为对称图形…..

实现转化的方法通常有：换元法，待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，由具体到抽象等方法。

9

实例运用：

1、 在实数中的运用

【例1】今年2月份某市一天的最高气温11℃，最低气温-6℃，那么这一天的最高气温比最低气温高（ ）

A -17℃ B 17℃ C 5℃ D 11℃ 【例2】计算：22473230

2、 在代数式的化简求值中的运用 【例3】计算：

11xx1x

x1x1x的值。

x【例4】已知x31，求代数式

3、 在方程（组）中的运用

【例5】用配方法解方程：x-4x+1=0

xy7【例6】解方程组：

2xy82

【例7】用换元法解方程：x2x4、 在确定函数解析式中的运用

26x2x21

【例8】某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例关系，如图

为电流与电阻之间的函数图象，则电阻R与电流I的函数解析式为：（ ） A. I2R B. I3R C. I6R D. I6R

【例9】某商场的营业员小李销售某种商品，他的月收入与他的该月销售量成一次函数关系，如图所示，根据图象提供的信息解答下列问题： （1）求小李个人月收入y（元）与月销售量x（件）（x≥0）之间的函数关系式。 （2）已知小李4月份的销售量为250件，求小李4月份的收入是多少元？ 【例10】已知二次函数y=ax2+bx+c过点O（0，0），A（1，3），B（-2，43）和C（-1，m）四个点。

（1）确定这个二次函数的解析式； （2）判断△OAC的形状。

5、 在三角形中的运用 【例11】如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°则∠BCD= 。 【例12】如图，△ABC中，BC=4，AC=23，∠ACB=60°，P为BC上一点，过P作PD∥AB交AC于D，连接AP，问P在何处时，△APD面积最大？ 6、 在四边形中的运用

【例13】在平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，AC平分∠BAD，AC=7，AD=6，S△ADC=和AB的长。

【例14】在四边形ABCD中，∠A=120°，∠ABC=90°，BD=7，cos∠DBC=，求AB。

【例15】如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为 。 7、 在圆中的运用

10

1523,求BC

【例16】如图，△AOB中，OA=3，OB=1，将△AOB绕O逆时针旋转90°，得到△A’OB’，那么线段AB扫过的区域的面积为 。 随堂练习：

1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB=8，BC=5．若以AB为直径的 ⊙O与DC相切于E，则DC= 。

x24y262、二元二次方程组的解是 。

x2y33、已知：如图，扇形AOB中，∠AOB=45°，AD=4cm，弧CD=3cm，则图中阴影部分的面积是 。(结果保留)

4、在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周角的度数是 。

5、已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=CD=4，∠BCD=60°求梯形的中位线长。

7112111xya6、解方程组1时，若设，b，则方程组变1xy12xy为 ；若把

1x、

1y看作某关于z的一元二次方程的两根，则

方程组变为 。

7、如图：公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30，在点A处有

一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路NN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响? 请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米／时，那么学校受影响的时间为多少秒? 课后练习： 选择题：

1、如果a与-2互为倒数，那么a是（ ）

A -2 B 1212o

C D 2

2、今年2月3日，我市最低气温-6℃，最高气温7℃，那么这一天最低温度比最高温度低（ ）

A 7℃ B 13℃ C 1℃ D -13℃ 3、计算（-3a3）2÷a2的结果为（ ）

A 9a4 B -9a4 C 6a4 D 9a3

4、用换元法解分式方程

2(x1)x26xx127时，如果设y=

x1x2，那么将原方程化为（ ）

A 2y2-7y+6=0 B 2y2+7y+6-0 C y2-7y+6=0 D y2+7y+6=0

2

5、已知关于x的一元二次方程x-2x+a=0有实数根，则a的取值范围是（ ）

A a≤1 B a＜1 C a≤-1 Da≥1 6、在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）(如图)，把余下的部分拼成一个矩形。根据这两个图形中阴影部分的面积相同，可以验证（ ）

A (a+b)2=a2+2ab+b2 B (a-b)2=a2-2ab+b2

11

C a2-b2=(a+b)(a-b) D (a+2b)(a-b)=a2+ab-2ab

7、平面直角坐标系中的点P（2-m，m）关于x轴的对称点在第四象限，则m的取值范围在数轴上表示

21为（ ）

8、已知点A(-2，y1)，B（-1，y2），C（3，y3）都在反比例函数y4x的图象上，则（ ）

A y1＜y2＜y3 B y3＜y2＜y1 C y3＜y1＜y2 D y2＜y1＜y3

9、在△ABC中，∠C=90°，sinAA

4535，则cosA=( )

43 B

35 C

34 D

填空题： 1、若a23，则

a2a3a7a1222的值等于 。

2、解方程(x2-5)2-x2+3=0时，令x2-5=y，则原方程变为 。 3、一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距u，像距v和透镜的焦距f满足关系式则物距u= 。

4、请给出一元二次方程x2-8x+ =0的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根。

5、图象经过点（-1，2）的反比例函数的表达式为 。

6、若y关于x的函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个焦点，则a的可取的值为 。

7、将一个平角n等分，每份是15°，那么n= 。

8、如图是一口直径AB=4m，深BC=2m的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角∠COD= （不考虑青蛙的身高）

9、如图，AB是半圆的直径，D是弧AB上的三等分点，若⊙O的半径为1，E为线段AB上任意一点，则图中阴影部分的面积为 。 解答题：

1、计算：（1）93(22221u1v1f，若f=6cm，v=8cm，

1223)123

22（2）3abab(ab3ab5ab) 2、有一道题“先化简，再求值”：其中，小玲做题(x2x24xx42)1x42时把“x3”错抄成了x3，但她的计算结果也是正确的，请解释为什么？

3、为了确保我市“国家级卫生先进城市”的称号，市里对主要街道的排污水沟进行改造，其中光明施工队承包了一段96米长的排污水沟，开工后每天比原计划多挖2米，结果提前4天完成任务，问原计划每天挖多少米？

4、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，AD=3，BC=5，求AC的长。

四 方程思想

注解：

12

所谓方程思想就是先分析问题中的未知元素（未知量）的个数，再寻找关于这些未知量的相应个数的方程，从而用解方程（组）的方法探求解题途径的思想。

解题过程通常是：首先，从整体上分析题意，确定未知量的个数；其次，适当选择一个或几个未知量用x（或y, z……）表示，并弄清它（它们）与其他未知量的关系；再根据题设中的条件，列出方程（组），并求解。 实例运用：

1、 在基本概念中的运用 【例1】单项式13xabya1与3x2y是同类项，则a-b的值为（ ）

A 2 B 0 C -2 D 1 【例2】若函数ymxmm125是一次函数，且y随x的增大而减小，则m= 。

2、 在确定函数解析式中的运用 【例3】已知点P（2，-1）在双曲线ykx（k≠0）上，则k= 。

【例4】如图，一次函数y=kx+n的图象与x轴和y轴分别相交于点A(6，0)，B（0，23）线段AB的垂直平分线交x轴于点C，交AB于点D。 （1）试确定这个一次函数的解析式；

（2）求过A，B，C三点的抛物线的函数关系式。

3、 在列方程（组）中的运用

【例5】已知某项工程由甲，乙两队共同完成需要12天，共需工程费用13800元，乙队单独完成这项工程所需的时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元。 （1）求甲，乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？

（2）若工程主管部门决定由这两个工程队之一单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应选择哪家工程队？请说明理由。

【例6】甲问乙今年多少岁？乙对甲说：“等你到我这样的岁数时，我已经是60岁的老头，而当我像你一样大时，你还是个6岁的顽童。”则甲今年多少岁？

4、 在几何计算中的运用

【例7】如图，在河边有一座小山，从山顶A处测得河对岸观测点C的俯角为30°，河岸观测点D的俯角为45°，河宽CD为50米，现需从山顶到河对岸C点拉一条笔直的缆绳AC，求所需要的缆绳的长。 【例8】如图，宽为50cm的矩形团由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（ ）

A 400cm2 B 500cm2 C 600cm2 D 40000cm2

【例9】如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，若AB=10cm，PB=4cm，OP=5cm，则⊙O的半径等于 cm。 课后练习： 选择题：

1、某商店把一类商品按标价的九折（即优惠10%）出售，仍可获利20%，若该商品的标价为每件28元，则该商品的进价为（ ）

A 21元 B 19.8元 C 22.4元 D 25.2元

2、某型号的手机连续两次降价，每个的售价由原来的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为

13

x，则列出的方程为（ ）

A 580(1+x)2=1185 B 1185(1+x)2=580 C 580(1-x)2=1185 D 1185(1-x)2=580

3、古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驼着不同袋数的货物，每袋货物的重量是相同的，驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驼得一样多！”那么驴子所驼货物的袋数是（ ）

A 5 B 6 C 7 D 8

4、为适应国民经济的持续协调发展，自2004年4月18日起，全国铁路第五次提速。提速后，火车由天津到上海的时间缩短了7.42小时，若天津到上海的路程为1326㎞，提速前火车的平均速度为x㎞/小时，提速后火车的平均速度为y ㎞/小时。则x，y应满足的关系式是（ ）

A xy13267.42 B yx13267.42 C

1326x1326y7.42 D

1326y1326x7.42

5、为美化城市，经统一规划，将一正方形草坪的南北方向增加3米，东西方向缩短3米，则改造后的草坪面积与原来的正方形草坪面积相比（ ）

A 增加了6㎟ B 增加了9㎟ C 减少了9㎟ D 面积保持不变

6、已知小明身高1.5米，经太阳光照射，在地面上的影子长为2米，若测得同一时刻一塔在地面的影长60米，则塔高为（ ）

A 90米 B 80米 C 45米 D 40米

7、一个正多边形，它的一个外角等于它相邻内角的，则这个多边形是（ ）

A 正十二边形 B 正十边形 C 正八边形 D 正六边形 8、如图，在四边形ABCD中，E是AB上一点，EC∥AD，DE∥BC，若S△BEC=1，S△ADE=3,则S△CDE=( )

A

2 B

32 C 3 D 2

239、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，sinB=，那么AB的长是（ ）

A 4 B 9 C 35 D 25 10、如图，右边给出的是某年3月的日历，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请运用方程思想来探究，发现这三个数的和不可能是（ ） A 69 B 54 C 27 D 40 填空题：

1、据泉州市统计局公布的数据显示，2004年泉州市城镇单位在岗职工

年平均工资为14465元，比上年同期增长10.15%，则2003年泉州市城镇单位在岗职工年平均工资为 元（结果保留整数）。 2、某商场1月份营业收入是100万元，2月份的营业收入比1月份增加20%，则2月份的营业收入为 万元。

3、如图，正方形是由k个相同的矩形组成，上下各有2个水平放置的矩形，中间竖放若干个相同的矩形，则k= 。

4、若实数m，n满足条件m+n=3，且m-n=1，则m= ，n= 。

5、⊙O的半径为5cm，AB为直径，CD为弦，CD⊥AB，垂足为E，若CD=6cm，连接AE，则AE的长为 cm。

解答题：

1、某班初三（2）班的师生步行到距离10㎞的山区植树，出发1个半小时后，张辉同学骑自行车从学校按原路追赶队伍，结果他们同时到达植树地点，如果张辉同学每小时骑车的路程比步行队伍的路程的2倍多2㎞。

14

（1）求骑车与步行的速度。

（2）如果张辉同学要提前10分钟到达植树地点，则他骑车的速度应比原来的速度快多少?

2、读诗歌，列方程解应用题：

大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年都东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快？多少年华属周瑜？

3、为了美化市区环境，打造美丽城市，某市决定对一湖泊进行清淤疏通改造，现有两家清淤公司可供选择，这两家公司提供信息如下：

（1）若该湖泊首批需要清除的淤泥面积大约1.2万㎟，平均厚度约0.4m，那么请哪家公司费用比较节省？请说明理由。

（2）若甲公司单独做了2天，乙公司单独做了3天，恰好完成清淤工作的一半；若甲公司先做2天，剩下的由乙公司单独完成，则乙公司所用的时间恰好比甲公司单独完成任务的时间多1天，则甲，乙两公司单独完成任务各需要多少天？

4、我国人均年用纸量约为28㎏，每个初中毕业生离校时大约有10㎏废纸；用1吨废纸造出的再生好纸，能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树。 （1）若某市2010年初中毕业生环保意识较强的5万人，能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么每年至少可使多少亩森林免遭砍伐？

（2）湖北宜昌市从2001年初开始实施天然林保护工程，到2003年初取得显著成效，森林面积大约由1374.094万亩增加到1500.545万亩，假设该市年用纸量的15%来源于废纸回收，且森林面积年增长率保持不变，宜昌市人口415万人，请计算从2005年初到2006年初一年内，新增加的森林面积与银回收废纸所能保护的森林面积之和能达到多少亩？（精确到亩）。 5、小明家在公寓AD内，他家对面是一幢大厦BC。小明想知道大厦的高度，但由于施工，它不能测出两楼之间的距离AC，于是小明爬上楼顶，测得大厦顶部B的仰角为30°，又到楼底，测得大厦顶部B的仰角为60°。小明已知自己所在公寓高60米。请帮他计算出大厦的高度。

6、某超市购进了一批不同价格的皮鞋,下表是该超市在近几年统计的平均数据： 皮鞋价(元) 销售百分率 160 140 120 100 95% 60% 75% 83% 要使该超市销售皮鞋收入最大，该超市应多购进( )皮鞋.

A．160元 B．140元 C．120元 D．100元

7、南宁市是广西最大的罗非鱼养殖产区，被国家农业部列为罗非鱼优势区域，某养殖场计划下半年养殖无公害标准化罗非鱼和草鱼，要求这两个品种总产值G（吨）满足：1580G1600，总产值为1000万元．已知相关数据如上表所示，问该养殖场下半年罗非鱼的产量应控制在什么范围？（产值=产量×单价） 8、某公司推销一种新产品，设x（件）是推销新产品的数量，y（元）是推销费，图表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案．看图解答下列问题：（1）求y1,y2与x的函数关系式．（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的．（3）如果你是推销员，应该如何选择付费方案？

600500400300200100y1y(元)y2102030405060x(件)五 函数思想

注解：

15

函数是初中以及今后学习的重要内容，利用函数可以将两个或两个以上的量联系起来进行分析，得到量与量之间的变化关系。

函数思想是一种重要的数学思想方法，指用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题。因此，函数思想的实质是用联系和变化的观点提出研究对象，抽象其数量特征，建立函数关系。 实例运用：

1、 利用函数与方程的关系，将有关函数及其图象的问题转化为方程（组）来解决

【例1】点A是直线y=-2x+2上的一点，点A到两坐标轴的距离相等，则点A的坐标是 。 【例2】已知一次函数y=x+m与反比例函数y（1）求x0的值。

（2）求一次函数和反比例函数的解析式。 2、 函数思想在解决实际问题中的运用

【例3】某学校有一段25米长的旧围栏，（如图用AB表示），现打算利用该围栏（或它的一部分）为一边，围成一块面积为100㎟的长方形草坪，如图，其中CD＜CF。已知整修旧围栏的费用为每米1.75元，建造新围栏的价格为每米4.5元，设利用旧围栏CF的长度为x米，修建草坪围栏的总费用为y元。 （1）求出y与x之间的函数关系式。

（2）若计划修建费用只有150元，则应利用旧围栏多少米？

（3）若计划修建费用只有120元，能否完成该草坪的围栏修建任务？请说明理由。

【例4】某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，生产第一档次（即最低档次）的产品每天可生产76个，每件利润10元，每提高一个档次，利润每件增加2元。 （1）若每件利润为16元时，此产品应该在第几档次？

（2）由于生产工序不同，此产品每提高一个档次，一天的生产量将减少4件，若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为整数且1≤x≤10），求出y与x的函数关系式。 （3）若生产某档次的产品一天的总利润为1080元，则该工厂生产的是第几档次的产品？ 3、 在经济决策中的运用

【例5】某移动通讯公司开设有两种移动资费业务。“全球通”业务：先交纳50元月租费，然后每通话1跳次，再付费0.4元；“神州行”业务：无月租，每通话1跳次，付话费0.6元。（本题中均指市话通话）。若设一个月通话x跳次，两种付费方式的费用分别为y1元和y2元（跳次：1分钟为一个跳次，不足一分钟按1跳次算，如3.2分钟为4跳次） （1）写出y1和y2与x得函数关系式；

（2）一个月通话多少跳次时，两种费用相同？

（3）某人估计一个月内通话300跳次，应该选择哪种业务方式比较合算？

【例6】南泉汽车租赁公司有30辆出租车，其中甲型20辆，乙型10辆。现将这30辆汽车租赁给A、B两地旅游公司，其中20辆派往A地，10辆派往B地，两地旅游公司与汽车租赁公司商定每天的价格如下：

m1x（x≠-1）在第一象限的交点为P(x0，3)。

（1）设派往A地的乙型汽车x辆，租赁公司这30辆车一天工获得租金y元，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

（2）若要使租赁公司的这30辆汽车一天获得的总租金不少于2680元，请你说明有多少种分派方案？并将各种分派方案设计出来。

（3）如果要使这30辆汽车每天获得的租金最多，请你为租赁公司提供合理的分派方案。

4、 在几何中的运用

【例7】如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，矩形DEFG的顶点D在AB上，E，F在BC上，G在AC

16

上。

（1）设BE=x，S四边形DEFGy，求y与x的函数关系式和自变量x的取值范围。

（2）连接EG，当x取何值时，ED∥AB？并求出此时四边形DEFG的面积。 练习： 选择题：

1、甲，乙两摩托车分别从A，B两地出发，相向而行，如图l1，l2分别表示两摩托车与A地的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系，则以下说法：①AB两地相距24千米；②甲车比乙车行完全程多用了0.1小时；③甲车的速度比乙车慢8千米/小时；④两车出发后，经3/11小时，两车相遇。其中正确的结论有( )

A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

2、小明在今年的运动会跳远比赛中跳出满意的一跳，函数h=3.5t-4.9t2(t的单位s，h的单位m)可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间为：

A 0.71s B 0.70s C 0.63s D 0.36s

2

3、已知一个矩形的面积为24cm，其长为ycm，宽为xcm，则y与x的函数关系的大致图象为（ ）

填空题：

1、我市某出租车公司收费标准如图所示，如果小明只有19元钱，那么他乘此公司的出租车最远能达到 公里处。

2、如图，弹簧总长y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间是一次函数关系。则该弹簧在不挂物体时的长度为 cm。

3、在距离地面2m的高处把一物体以初速度v0（m/s）竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：sv0t2

12gt,(其

2中g是常数，通常取10m/s).若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高距离地面 m。

解答题：

1、有甲乙两家通讯公司，甲公司每月通话（不区分通话地点）的收费标准如图所示；乙公司每月通话的收费如下表所示。

（1）观察图形，写出甲公司用户，月通话时间不超过400分钟时应付的话费金额；并求出甲公司的用户通话400分钟后，每分钟的通话费用。

（2）王先生因工作需要，从4月份开始经常到外市出差，估计每月各种通话费的比例是：本地接听时间：本地拨打时间：外地通话时间=2：1：1。你认为王先生的每月通话时间不少于多少分钟时，入乙通讯公司更合算？请说明理由。

2、在十一黄金周期间，小明和他的父母坐游船从甲地到乙地观光，在售票大厅看到表（一），爸爸对小明说：“我来考考你，你知道里程与票价之间的关系吗？”小明说：“知道，里程与

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票价是一次函数关系，具体是………”

在游船上，他注意到表（二），思考一下，对爸爸说：“若游船在静水中的速度不变，那么我还能算出它的速度和水流速度。”爸爸说：“真聪明。”你知道小明是怎么求出来的吗？你也来试试。

（1）票价y(元)与里程x（千米）之间的函数关系式；

（2）游船在静水中的速度和水流速度。

3、一天上午6点钟，王老师从学校出发去市里开会，8点准时到达会场，中午12点回到学校，他这一段时间内的行程s(km)(即离开学校的距离)与时间t（h）之间的关系如图，根据图表提供的相关信息解答下列问题。

（1）开会的地点离学校多远？

（2）求出王老师在返校途中路程s（km）与时间t(h)之间的函数关系。

（3）请用一段简短的话，对王老师这个上午从6点到12点的活动情况进行描述。

4、为宣传秀山丽水，在“丽水文化摄影节”前夕，丽水电视台摄制组往返于丽水（A）、青田（B）两码头，在A，B之间设立拍摄中心C，在往返过程中，船在C，B两处均不停留，离开码头A的距离S（千米）与航行时间t（小时）之间的关系如图，根据提供的信

息解决问题：

（1）船从码头A到B航行的时间为 小时，航行速度为 千米/小时。 船从码头B到A航行的时间为 小时，航行速度为 千米/小时。

（2）过点C作CH∥t轴，分别交AD，DF于G，H，设AC=x，GH=y，求y与x之间的函数关系式。 （3）若拍摄中心C设在离A码头25千米处，摄制组在拍摄中心分成两组，一组乘皮划艇漂流而下，另一组乘船到达码B后立即返回

①求船只往返C，B两处所用的时间；

②两组在途中相遇，求相遇时船只离拍摄中心有多远。

5、某零件制造车间有工人20名。已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元。在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余制造乙种零件。

（1）请写出此车间每天所获利润y（元）与x（人）之间的函数关系；

（2）若要使车间每天所获利润不低于24000元，你认为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适？ 6、某市近年来经济发展迅速，根据统计，该市国内生产总值1990年为8.6亿元人民币，1995年为10.4亿元人民币，2000年为12.9亿元人民币。

经论证，上述数据适合一个二次函数关系，请根据这个函数关系，预测2010年该市国内生产总值将达到多少？

7、教室放有一台饮水机，饮水机上有两个放水管。课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水，假设接水过程中不发生泼洒，每个同学所接的水量都相同，两个放水管同时打开，它们的流量相同，放水时先打开一个水管，过一会儿，再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着，饮水机的存水量y（升）与放水时间x(分钟)的函数关系如图。

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（1）求出饮水机的存水量y（升）与放水时间x(分钟)的函数关系。 （2）如果打开第一个水管后，2分钟时间恰好有4个同学接水结束，则前22个同学接水结束需要几分钟？ （3）按照（2）的方法，求出课间十分钟内班级中最多有多少个同学可以及时接完水？

六 整体思想

注解：

郑板桥有这样一句大家耳熟能详的话：“难得糊涂”，如果事事较真，钻牛角尖，往往对解决问题没有帮助。这句话提醒我们，在有些时候不能方方面面都照顾，该忽略的问题你就应该忽略。

而在我们的数学学习过程中，也经常运用这种思想解决问题。整体思想就是要求大家在学习的过程中，有时候只能从大的，宏观的方面考虑问题，避免钻牛角尖，将一些问题“打包”处理，以达到事半功倍的效果。

整体思想就是考虑数学问题的时候不仅仅局限于它的局部特征，而且着眼于问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观上认识问题的实质，把一些彼此，但实质又相互紧密联系的量作为整体进行处理的思想方法。整体思想在处理数学问题时有着广泛的运用。 实例运用：

1、 在数与式中的运用 【例1】 【例2】

计算：112131111111111111 423452345234当x=1时，代数式px2+qx+1的值是2001，则当x= -1时，代数式px2+qx+1的值是：

1x1x2 A -1999 B -2000 C -2001 D 1999 【例3】

若x3则x2 。

2、 在方程（组）中的运用 【例1】已知二元一次方程组为2xy7x2y8则x-y= ，x+y= .

axby4x2【例2】已知方程组的解是，则a+b= .

bxay5y1【例3】有甲乙丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；

若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元。现购甲乙丙各1件，需要多少元？

3、 在几何计算中的运用

【例1】如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要 米。 【例2】如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，则图中的阴影面积为 。

【例3】有星型图，如图，求∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的和。 练习： 选择题：

1、把多项式a-2ab+b-1分解因式，结果是（ ）

A (a-b+1)(a-b-1) B (a-b+1)(a+b-1)

C (a+b+1)(a+b-1) D (a+b+1)(a-b-1)

2、若x=1时，代数式ax3+bx+7的值为4，则当x= -1时，ax3+bx+7的值为（ ） A 7 B 12 C 11 D 10

3、用换元法解方程（x2+x）2+2(x2+x)-1=0，若设y=x2+x，则原方程变形为（ ）

A y2+2y+1=0 B y2-2y+1=0 C y2+2y-1=0 D y2-2y-1=0

19

2

2

4、方程组x2y5xy7xy12的一个解是（ ）

A.  B. x6y2 C. x4y3 D. x3y4

5、若分式

xyxy中的x，y的值都变为原来的3倍，则此分式的值（ ）

A 不变 B 是原来的3倍 C 是原来的三分之一 D 是原来的六分之一

6、如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下的部分作为耕地，根据图中提供的数据，计算耕地的面积（ ）

A 600㎟ B 551㎟ C 550㎟ D 500㎟ 填空题：

1、已知x+y=1，那么

12xxy212y的值为 。 1x22、已知x-2x-1=0，且x＜0，则x 。

3、已知x+y=5，且x-y=1，则xy= .

4、若非零实数a，b满足4a2+b2=4ab，则b:a= .

5、如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3= 。

6、如图，ABCD是各边都大于2的四边形，分别以它的顶点为圆心，1为半径在四边形外作圆弧，则这四条弧长的和是 。

7、如图是在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形构成的一个正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，则a+b= 。

8、如图所示的直角坐标系中，已知半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分的面积是 。

9、如图，是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，大圆的半径是2，则图中阴影部分

的面积为 。 解答题： 1、计算：xy4xy4xyxyxyxy 4

3

2、已知实数a，b满足（a+b）2=1，(a-b)2=25，求a2+b2+ab的值。 xx3、解方程：280

x1x12 20