北京市第一次普通高中2019-2020学年高二学业水平考试合格性考试数学试题

数学试卷

第一部分 选择题

1. 已知集合A1,2,3，B3,4,5，那么集合AA.  【答案】D 【解析】 【分析】

由集合的并集运算求解即可. 【详解】A故选：D 2. 函数fxA. ,1 【答案】C 【解析】 【分析】

解不等式x10，即可得出其定义域.

【详解】要使得x1有意义，则x10，解得x1，即函数fx故选：C

3. 如果指数函数fxa(a0，且a1)的图象经过点

xB等于（ ）

D. 1,2,3,4,5

B. 3 C. 1,2,4,5

B1,2,33,4,51,2,3,4,5

x1的定义域是（ ）

B. 0,

C. 1, D. R

x1的定义域是1,

2,4，那么a的值是（ ）

D. 4

A.

2

B. 2 C. 3

【答案】B 【解析】 【分析】 将点

2,4代入函数解析式，即可得出a的值.

【详解】由题意可知f2a24，解得a2或a2（舍） 故选：B

- 1 - 知识改变格局 格局决定命运！

4. 将函数ysinx的图象向右平移

π个单位，所得图象对应的函数表达式是（ ） 3πysinxB. 

3D. ycosxπysinxA. 

3C. ycosx【答案】A 【解析】 【分析】

由三角函数图象平移的规律即可得解. 【详解】若将函数ysinx的图象向右平移

π 3π 3π个单位， 3ysinx所得函数图象对应的函数表达式是.

3故选：A.

5. 在平行四边形ABCD中，ABAD等于（ ） A. AC 【答案】A 【解析】 【分析】

直接由向量加法平行四边形法则即可得结果.

【详解】根据向量加法的平行四边形法则可得ABADAC， 故选：A.

B. BD

C. BC

D. CD

6. 在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3,4)，那么sin的值是（ ）

A.

3 5【答案】C 【解析】 【分析】

的B.

3 4C.

4 5D.

4 3- 2 - 知识改变格局 格局决定命运！

根据正弦函数的定义计算．

【详解】由已知OP32425，所以sin故选：C．

7. 已知向量a1,A. 1 【答案】A 【解析】 【分析】

由向量平行的坐标表示计算．

4． 51，b2,m，且a//b，那么实数m的值是（ ） 2B. 1 2C.

1 2D. 1

1m【详解】由题意20，解得m1．

2故选：A． 8. 已知直线l1:yA. 2 【答案】A 【解析】 【分析】

由直线垂直斜率乘积为1解方程可得答案． 【详解】因为直线l1:y所以

1x，l2:yax2，且l1l2，那么实数a的值是（ ） 211B.  C. D. 2

221x，l2:yax2，且l1l2， 21a1，a2． 2故选：A

【点睛】方法点晴：斜率存在的两直线：垂直的充要条件是斜率乘积为1，平行的充要条件是斜率相等且纵截距不等．

9. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，BC，CD，CC1所在的直线中，与直线BC1成异面直线的是（ ）

- 3 - 知识改变格局 格局决定命运！

A. 直线AB 【答案】C 【解析】 【分析】

B. 直线BC C. 直线CD D. 直线CC1

由异面直线的概念，逐项判断即可得解.

【详解】由题意，直线AB、BC、CC1均与直线BC1相交， 由异面直线的概念可得直线CD与直线BC1成异面直线. 故选：C.

10. 计算16log4的结果是（ ）

2A. 6 【答案】A 【解析】 【分析】

由指数和对数的运算性质求解即可. 【详解】16log4422故选：A

11. 在庆祝中华人民共和国成立70周年之际，某学校为了解《我和我的祖国》､《我爱你，中国》､《今天是你的生日》等经典爱国歌曲的普及程度，在学生中开展问卷调查.该校共有高中学生900人，其中高一年级学生330人，高二年级学生300人，高三年级学生270人.现采用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为90的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为（ ） A. 30 【答案】D 【解析】 【分析】

- 4 - 知识改变格局 格局决定命运！

1212B. 7 C. 8 D. 10

12log222426

B. 31 C. 32 D. 33

直接根据分层抽样的概念可得结果.

【详解】由分层抽样方法可得：应抽取高一年级学生的人数为330故选：D. 12. 计算tan90=33， 9005π的结果是（ ） 4B. A. 1 【答案】D 【解析】 【分析】

由诱导公式求解即可. 【详解】tan故选：D

2 2C.

2 2D. 1

5πππtantan1 44413. 某同学打算编织一条毛线围巾送给妈妈，决定从妈妈喜欢的白色､黄色和紫色中随机选择两种颜色的毛线编织，那么这条围巾是由白色､紫色两种颜色的毛线编织的概率是（ ） A.

1 4B.

1 3C.

1 2D.

3 4【答案】B 【解析】 【分析】

通过列举法求出所有基本情况数及满足要求的基本情况数，再由古典概型概率公式即可得解. 【详解】由题意，该同学选择的两种颜色的基本情况有： （白，黄），（白，紫），（黄，紫），共3种情况； 其中满足要求的基本情况有1种； 故所求概率P故选：B.

14. 计算cos69cos24sin69sin24的结果是（ ） A.

1. 31 2B.

2 2C.

3 2D. 1

- 5 - 知识改变格局 格局决定命运！

【答案】B 【解析】 【分析】

由余弦的差角公式，运算即可得解.

【详解】由题意，cos69cos24sin69sin24cos6924cos45故选：B.

15. 经过点1,0，且斜率为2的直线的方程是（ ） A. 2xy20 C. x2y10 【答案】B 【解析】 【分析】

直接由直线的点斜式方程可得结果.

【详解】由于直线经过点1,0，且斜率为2，故其直线方程为y2x1， 化简得2xy20， 故选：B.

16. 已知向量a，b满足a1，b2，a与b夹角为30，那么ab等于（ ） A. 1 【答案】C 【解析】 【分析】

根据数量积的定义计算．

【详解】ababcos3012故选：C．

17. 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A底面ABC，ABAC，A1AABAC2，那么三棱锥A1ABC的体积是（ ）

- 6 - 知识改变格局 格局决定命运！

2. 2B. 2xy20 D. x2y10

B.

2

C.

3 D. 2

33． 2

A.

4 3B.

8 3C. 4 D. 8

【答案】A 【解析】 【分析】

椎体的体积公式V1sh，因此要找到三棱锥的高和底面，由题知A1A为高，底面为直角三角形3ABC，代入公式计算即可.

【详解】

A1A底面ABC

A1A为三棱锥A1ABC的高h2

ABC为底面 SABC11ABAC222 2214h22 ABC331VA1ABCS3故选：A.

18. 已知ABC中，A60，B45，ACA. 1 【答案】B 【解析】 【分析】

由正弦定理运算即可得解. 【详解】由正弦定理可得

B.

2，那么BC等于（ ）

D. 4

3 C. 2

BCAC， sinAsinB- 7 - 知识改变格局 格局决定命运！

所以BCACsinAsinB222323.

故选：B.

19. 函数fxlog2x2的零点的个数是（ ） A. 0 【答案】B 【解析】 【分析】

根据函数的单调性与零点存在定理确定零点个数．

【详解】由已知函数f(x)log2x2是定义域(0,)上的增函数，

又f(1)20，f(8)10，∴函数f(x)在(1,8)上有一个零点，也是定义域内唯一个零点， 故选：B．

20. 已知两条直线m，n和平面，那么下列命题中正确的是（ ） A. 若m，n，则m//n C. 若mn，n，则m 【答案】A 【解析】 【分析】

根据线面、线线间的位置关系判断各选项．

【详解】若m，n，由线面垂直的性质定理得m//n，A正确； 若m//，n//，m,n可能相交，可能平行，也可能异面，B错； 若mn，n，则m//或m，C错； 若m//n，n//，则m//或m，D错． 故选：A．

21. 如图，给出了偶函数fx的部分图象，那么f2等于（ ）

B. 若m//，n//，则m//n D. 若m//n，n//，则m

B. 1

C. 2

D. 3

- 8 - 知识改变格局 格局决定命运！

A. 3 【答案】D

【解析】 【分析】 由图可得

B. 1

C. 1 D. 3

f2的值，结合奇偶性可得结果.

【详解】由图象可得f23，由于fx为偶函数，所以f2f23， 故选：D. 22. 圆x2y21圆心到直线xy20的距离是（ ）

A.

2 2【答案】B 【解析】 【分析】

由点到直线的距离公式计算．

【详解】已知圆圆心是O(0,0)，所求距离为d故选：B．

23. 已知直线l经过1,0，0,3两点，那么直线l的倾斜角的大小是（ ） A. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】

首先根据直线上的两点计算斜率，再根据ktan，求倾斜角.

B. 45°

C. 60°

D. 90°

的0022B.

2

C. 2

D. 22 1122．

- 9 - 知识改变格局 格局决定命运！

【详解】根据斜率公式可知k303，即tan3，

010,180，60.

故选：C

24. 圆x2y11与圆x1y21的公共点的个数是（ ）

22A. 0 【答案】C 【解析】 【分析】

B. 1 C. 2 D. 3

根据圆心距和半径和，以及半径差比较大小，判断两圆的位置关系，求得两圆公共点的个数. 【详解】圆x2y11的圆心为0,1，半径r11，圆x1y21的圆心为1,0，半径

22r21，圆心距0110222，

r1r22r1r2，两圆相交，

两圆的公共点的个数是2个.

故选：C

O2，【点睛】方法点睛：判断两圆的位置关系如下：设两圆的圆心分别为O1，半径为R和r， Rr，

当OO12Rr时，两圆相外离，没有交点，当OO12Rr时，两圆相外切，有一个交点，当

RrOO两圆相交，有两个交点，当OO两圆相内切，有一个交点，12Rr时，12Rr时，

当OO12Rr，此时两圆内含，没有交点.

x,x0,25. 已知函数fx1如果fm2，那么实数m的值是（ ）

,x0.xA. 8 【答案】C 【解析】 【分析】

对m0,m0进行分类讨论，即可得出m的值.

知识改变格局- 10 - 格局决定命运！

B. 2

C. 1 2D. 1

【详解】当m0时，fmm2，不满足条件 当m0时，fm故选：C

【点睛】本题主要考查了分段函数已知函数值求自变量，关键是对m进行分类讨论，属于基础题.

226. 如果函数fxx2ax在区间0,上单调递增，那么实数a的取值范围是（ ）

112，m

2mA. ,0 【答案】A 【解析】 【分析】

B. 1,0 ，C. 01 D. 0,

求出二次函数的对称轴，则对称轴与已知区间的关系可得结论．

2【详解】f(x)x2ax的对称轴是xa，

由题意a0， 故选：A．

27. 2007年以前，北京市先后组织实施了多个阶段的大气污染防治行动，针对燃煤､工业､扬尘排放和机动车排放等采取了数百项治理措施.2008年北京市首次探索区域联防联控，取得了良好效果.2013年北京市制定实施以防治细颗粒物为重点的《2013-2017年清洁空气行动计划》，治理成效显著.

上图是2000年至2018年可吸入颗粒物､细颗粒物､二氧化氮､二氧化硫等主要污染物年日均值的折线图.根据图中信息，下列结论中正确的是（ ）

A. 2013年到2018年，空气中可吸入颗粒物年日均值逐年下降

知识改变格局- 11 - 格局决定命运！

B. 2013年到2018年，空气中细颗粒物的年日均值逐年下降

C. 2000年到2018年，空气中二氧化氮的年日均值都低于40微克/立方米 D. 2000年到2018年，空气中二氧化硫的年日均值最低的年份是2008年 【答案】B 【解析】 【分析】

观察折线图，确定数据的变化规律，判断各选项．

【详解】2014年空气中可吸入颗粒物年日均值比2013年多，A错； 2013年到2018年，空气中细颗粒物的年日均值逐年下降，B正确；

2007年（含2007年）之前空气中二氧化氮的年日均值都高于40微克/立方米，C错； 2000年到2018年，空气中二氧化硫的年日均值最低的年份是2018年，D错． 故选：B．

第二部分 解答题

28. 某同学解答一道三角函数题：“已知函数fx3sinxcosx. （1）求函数fx的最小正周期； （2）求函数fx在区间该同学解答过程如下：

解答：（1）因为fx3sinxcosx， 所以fx2π,π上的最大值.” 631sinxcosx 22ππ2sinxcoscosxsin

66π2sinx.

6所以T2π2π. 1所以函数fx的最小正周期是2π. （2）因为πxπ， 6知识改变格局- 12 - 格局决定命运！

所以0xπ7π. 66πππysinx所以当x时，函数的最大值是1.

662所以当xπ时，函数fx的最大值是2. 3写出该同学在解答过程中用到了下表中的哪些数学知识.(写出5个即可) 任意角的概念 任意角的正弦､余弦､正切的定义 弧度制的概念 弧度与角度的互化 三角函数的周期性 π，π的正弦､余弦､正切的诱导公式 2函数ysinx，ycosx，ytanx的图象 正弦函数､余弦函数在区间0,2π上的性质 同角三角函数的基本关系式 ππ正切函数在区间,上的性质 22函数yAsinωxφ的实际意义 两角和的正弦､余弦､正切公式 参数A，，对函数yAsinωxφ图象变化的影响 两角差的余弦公式 两角差的正弦､正切公式 二倍角的正弦､余弦､正切公式

【答案】答案见解析 【解析】 【分析】

结合该同学的解答过程，逐步分析即可得解.

【详解】由题意，该同学在解答过程中用到的数学知识有： 任意角的正弦､余弦､正切的定义；两角和的正弦､余弦､正切公式； 三角函数的周期性；正弦函数､余弦函数在区间0,2π上的性质； 参数A，，对函数yAsinωxφ图象变化的影响. 29. 阅读下面题目及其证明过程，并回答问题.

知识改变格局- 13 - 格局决定命运！

如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ABBC，E，F分别是棱BC，PC的中点.

（1）求证：EF//平面PAB； （2）求证：EFBC. 解答：（1）证明：在PBC中， 因为E，F分别是BC，PC的中点， 所以EF//PB.

因为EF平面PAB，PB平面PAB， 所以EF//平面PAB.

（2）证明：在三棱锥PABC中， 因为PA底面ABC，BC平面ABC， 所以______.

因为ABBC，且PA所以______.

因为PB平面PAB， 所以______.

由（1）知EF//PB， 所以EFBC.

问题1：在（1）的证明过程中，证明的思路是先证______，再证______.

问题2：在（2）的证明过程中，设置了三个空格.请从下面给出的四个选项中，为每一个空格选择一个正确的选项，以补全证明过程.

①PABC；②PAAC；③BC⊥平面PAB；④BCPB.

BC⊥平面PAB；【答案】问题1：直线与直线平行；直线与平面平行；问题2：PABC；BCPB.

ABA，

【解析】 【分析】

（1）利用线面平行的判断定理，补全过程；（2）利用线线，线面的垂直关系补全条件.

知识改变格局- 14 - 格局决定命运！

【详解】（1）根据证明过程可知，利用的是直线与平面平行的判断定理，先证明直线与直线平行，再证明直线与平面平行；

（2）根据证明过程可知，本题是证明线线垂直，利用线面垂直，证明线线垂直，

PA底面ABCD，则PABC，再根据线面垂直的判断定理可知，BC⊥平面PAB，

再证明得到BCPB.

故答案为：（1）直线与直线平行；直线与平面平行；（2）PABC；BC⊥平面PAB；BCPB. 【点睛】方法点睛：本题第二问考查了垂直的证明，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含：

1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.

0，且与y轴相切，直线l:yx4与圆C交于M，N两点，30. 已知圆C的圆心坐标为2，求MN.

某同学的解答过程如下：

解答：因为圆C的圆心坐标为2,0，且与y轴相切，

所以圆C的半径是2.

所以圆C的方程是x2y24.

因为直线l:yx4与圆C交于M，N两点，

2x2y24,联立方程组

yx4,2x11,x25,解得或

y3,y1.12不妨设M1,3，N5,1，

知识改变格局- 15 - 格局决定命运！

所以MN5121342 2（1）指出上述解答过程中错误之处； （2）写出正确的解答过程. 【答案】（1）【解析】 【分析】

的【x11,x25,或不对；（2）答案见解析. y3,y1.12x11,x25,详解】（1）或不对.

y3,y1.12（2）因为圆C的圆心坐标为2,0，且与y轴相切， 所以圆C的半径是2.

所以圆C的方程是x2y24.

2写出圆的方程，与直线方程联立解方程组可得正确结论，题中解方程组出现错误．

因为直线l:yx4与圆C交于M，N两点，

2x2y24,联立方程组

yx4,x12,x24,解得或

y0.y2,21不妨设M2,2，N4,0，

2所以MN4202222. 【点睛】方法点睛：求直线与圆相交弦长有两种方法：

（1）代数法：求出直线与圆的两个交点坐标，由两点间距离公式计算；

（2）几何法：求出圆心到直线的距离，利用垂径定理（勾股定理）计算弦长．

31. 2019年1月11日下午，探月工程传来捷报，嫦娥四号任务取得成功，在人类历史上首次实现了航天器在月球背面软着陆和巡视勘察，首次实现了月球背面与地球的测控通信，在月球背面留下了人类探月的第一行足迹，开启了人类探索宇宙奥秘的新篇章.某同学为祖国的航天事业取得的成就感到无比自豪，同时对航天知识产生了浓厚的兴趣.通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，单级火箭的最大速度V(单位：千米/秒)满足VWln知识改变格局- 16 - 格局决定命运！

mM，其M中W(单位：千米/秒)表示它的发动机的喷射速度，m(单位：吨)表示它装载的燃料质量，M(单位：吨)表示它自身的质量(不包括燃料质量).

（1）某单级火箭自身的质量为50吨，发动机的喷射速度为3千米/秒.当它装载100吨燃料时，求该单级火箭的最大速度；(精确到0.1)

（2）根据现在的科学技术水平，通常单级火箭装载的燃料质量与它自身质量的比值不超过9.如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，判断该单级火箭的最大速度能否超过7.9千米/秒，请说明理由.(参考数据：无理数e2.71828，ln31.10)

【答案】（1）3.3千米/秒；（2）该单级火箭的最大速度不能超过7.9千米/秒，理由见解析. 【解析】 【分析】

（1）理解题意，直接代值，求V；（2）由条件可知得V2ln10，再利用放缩法，说明V7.9. 【详解】（1）依题意，W3，M50，m100， 所以VWlnmmM9，W2，代入VWln后可MMmM100503ln3ln33.3. M50所以该单级火箭的最大速度约为3.3千米/秒.

m9，W2， MmMm110. 所以

MMmM2ln10. 所以VWlnM（2）依题意，

因为e7.927.927128100， 所以7.9lne7.9ln100. 所以V7.9.

所以该单级火箭的最大速度不能超过7.9千米/秒.

知识改变格局- 17 - 格局决定命运！