统计学例题

、

7.7 某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7 500名学生中采取重复抽样方法随机抽取

36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据（单位：小时）： 3。3 4.4 2。1 4。7 3。1 2.0 1.9 1.4 6.2 5。4 1.2 1。2 5。8 2.6 5.1 2.9 2。3 6.4 4.3 3。5 4。1 1.8 4。2 2.4 5.4 3.5 3。6 0.5 4。5 5。7 0.8 3.6 3。2 2。3 1.5 2。5 求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90％，95%和99%. 解：

(1)样本均值x=3.32，样本标准差s=1。61； （2）抽样平均误差： 重复抽样：x=s=1。61/6=0.268

nn 不重复抽样：x=nNnsNn1.61750036= N1N175001n36=0.268×0.995=0.268×0.998=0。267

(3)置信水平下的概率度：

1=0.9,t=z2=z0.05=1。5 1=0。95，t=z2=z0.025=1.96 1=0。99，t=z2=z0.005=2。576 (4）边际误差(极限误差）： xtxz2x

1=0。9,xtxz2x=z0.05x

重复抽样：xz2x=z0.05x=1.5×0。268=0。441 不重复抽样：xz2x=z0.05x=1.5×0。267=0。439

1=0。95，xtxz2x=z0.025x

重复抽样：xz2x=z0.025x=1.96×0.268=0.525 不重复抽样：xz2x=z0.025x=1.96×0。267=0.523

1=0。99，xtxz2x=z0.005x

重复抽样：xz2x=z0.005x=2.576×0。268=0.69 不重复抽样:xz2x=z0.005x=2.576×0.267=0。688

(5)置信区间:

xx,xx

1=0.9,

重复抽样：xx,xx=3.320.441,3.320.441=(2.88，3。76） 不重复抽样：xx,xx=3.320.439,3.320.439=（2.88，3。76)

1=0.95，

重复抽样：xx,xx=3.320.525,3.320.525=（2。79，3.85） 不重复抽样:xx,xx=3.320.441,3.320.441=（2。80，3.84）

1=0。99，

重复抽样：xx,xx=3.320.69,3.320.69=（2.63，4。01） 不重复抽样：xx,xx=3.320.688,3.320.688=(2。63，4.01)

7。9 某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机样

本，他们到单位的距离(单位:km）分别是:

10 3 14 8 6 9 12 11 7 5 10 15 9 16 13 2

假定总体服从正态分布，求职工上班从家里到单位平均距离的95％的置信区间. 解:小样本，总体方差未知,用t统计量

txsntn1

均值=9。375，样本标准差s=4.11 置信区间：

ssxtn1,xtn122

nn1=0。95，n=16，t2n1=t0.02515=2。13

ssxtn1,xtn122

nn

=9.3752.134.114.11,9.3752.13=（7。18,11。57） 1616

7．11 某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装,每袋标准重量为l00g。现从某天生产的

一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查，测得每包重量（单位：g)如下: 每包重量(g） 96～98 98~100 100~102 102～104 104～106 合计 包数 2 3 34 7 4 50 已知食品包重量服从正态分布，要求：

（1)确定该种食品平均重量的95％的置信区间. 解：大样本,总体方差未知,用z统计量

zxsnN0,1

样本均值=101。4，样本标准差s=1。829 置信区间：

ssxz,xz22

nn1=0。95,z2=z0.025=1。96

ssxz,xz22

nn=101.41.961.8291.829,101.41.96=（100。，101。91) 5050(2)如果规定食品重量低于l00g属于不合格，确定该批食品合格率的95％的置信区间。

解:总体比率的估计

大样本，总体方差未知,用z统计量

zpp1pnN0,1

样本比率=（50-5）/50=0。9 置信区间：

p1pp1ppz2 ,pz2nn

1=0。95,z2=z0.025=1。96

p1pp1ppz2 ,pz2nn0.910.90.910.9=（0。8168,0.9832） =0.91.96,0.91.965050

7．20 顾客到银行办理业务时往往需要等待一段时间，而等待时间的长短与许多因素有关，

比如,银行业务员办理业务的速度，顾客等待排队的方式等。为此，某银行准备采取两种排队方式进行试验,第一种排队方式是：所有顾客都进入一个等待队列；第二种排队方式是：顾客在三个业务窗口处列队三排等待。为比较哪种排队方式使顾客等待的时间更短，银行各随机抽取10名顾客，他们在办理业务时所等待的时间（单位:分钟）如下：

方式1 6。5 6。6 6。7 6。8 7。1 7。3 7。4 7。7 7.7 7。7 方式2 4.2 5。4 5.8 6。2 6。7 7。7 7。7 8。5 9.3 10 要求：

（1）构建第一种排队方式等待时间标准差的95％的置信区间。 解：估计统计量

n1S2~2n1 2经计算得样本标准差s2=3.318 置信区间:

2n1S22n1S2

2122n12n122221=0。95，n=10，2n1=0.0259=19.02,12n1=0.9759=2。7

n1S2n1S290.227290.2272,2,==（0。1075，0。7574） 2n1n119.022.7122因此，标准差的置信区间为(0.3279，0。8703）

（2）构建第二种排队方式等待时间标准差的95%的置信区间。 解:估计统计量

n1S2~2n1 2经计算得样本标准差s1=0。2272 置信区间：

2

n1S22n1S2 2122n12n122202，121=0。95，n=10，2n1=0.0259=19。2n1=0.9759=2。

7

n1S2n1S293.313.318,2,==(1。57，11.06） 2n1n119.022.7122因此,标准差的置信区间为(1。25,3。33)

(3)根据(1）和（2)的结果，你认为哪种排队方式更好？ 第一种方式好，标准差小!

8．10 装配一个部件时可以采用不同的方法，所关心的问题是哪一个方法的效率更高。劳

动效率可以用平均装配时间反映.现从不同的装配方法中各抽取12件产品,记录各自的装配时间（单位:分钟）如下：

甲方法：31 34 29 32 35 38 34 30 29 32 31 26 乙方法：26 24 28 29 30 29 32 26 31 29 32 28

两总体为正态总体，且方差相同。问两种方法的装配时间有无显著不同 （a＝0．05）? 解：建立假设

H0：μ1－μ2=0 H1：μ1－μ2≠0

总体正态，小样本抽样，方差未知,方差相等，检验统计量

tx1x2sp11n1n2

根据样本数据计算，得n1＝12,n2=12,x1＝31。75，s1＝3。19446,x2＝28。6667,s2=2。46183.

s2p2n11s12n11s2 n1n22 ＝

1210.9221621210.71067212122＝2.8

＝8.1326

tx1x2sp11n1n2α＝0。05时,临界点为t2n1n22＝t0.02522＝2。074,此题中t＞t2,故拒绝原假设，认为两种方法的装配时间有显著差异.

8．11 调查了339名50岁以上的人,其中205名吸烟者中有43个患慢性气管炎，在134名

不吸烟者中有13人患慢性气管炎。调查数据能否支持“吸烟者容易患慢性气管炎”这种观点(a＝0．05）？ 解：建立假设

H0：π1≤π2；H1:π1＞π2

p1＝43/205=0.2097 n1=205 p2＝13/134=0.097 n2=134 检验统计量

zp1p2d

p11p1p21p2n1n2 ＝0.20980.0970 0.209810.20980.09710.097205134＝3

当α＝0。05,查表得z＝1。5。因为z＞z,拒绝原假设，说明吸烟者容易患慢性气管炎。

8．15 有人说在大学中男生的学习成绩比女生的学习成绩好。现从一个学校中随机抽取了

25名男生和16名女生，对他们进行了同样题目的测试.测试结果表明，男生的平均成绩为82分，方差为56分,女生的平均成绩为78分，方差为49分。假设显著性水平α=0．02,从上述数据中能得到什么结论？ 解：首先进行方差是否相等的检验：

建立假设

H0：1＝2；H1：1≠2 n1=25，s1=56，n2=16,s2=49

22222256s12＝1。143 F2＝49s2当α＝0。02时，F＜F＜F2224,15＝3。294，F1224,15＝0。346.由于F1224,1524,15，检验统计量的值落在接受域中，所以接受原假设，说明总体方差

无显著差异。

检验均值差: 建立假设

H0:μ1－μ2≤0 H1:μ1－μ2＞0

总体正态,小样本抽样，方差未知，方差相等，检验统计量

tx1x2sp11n1n2

根据样本数据计算，得n1＝25，n2=16，x1＝82,s1=56，x2＝78,s2=49

22s2p2n11s12n11s2＝53。308 n1n22tx1x2sp11n1n2＝1.711

α＝0.02时，临界点为tn1n22＝t0.0239＝2.125,t＜t,故不能拒绝原假设,不能认为

大学中男生的学习成绩比女生的学习成绩好.

13。3 下面是一家旅馆过去18个月的营业额数据

月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 营业额(万元） 295 283 322 355 286 379 381 431 424 月份 10 11 12 13 14 15 16 17 18 营业额（万元) 473 470 481 449 544 601 587 4 660 （1)用3期移动平均法预测第19个月的营业额.

（2）采用指数平滑法,分别用平滑系数a=0。3、a=0.4和a=0。5预测各月的营业额,分析预测误差，说明用哪一个平滑系数预测更合适？ （3）建立一个趋势方程预测各月的营业额，计算出估计标准误差.

详细答案：

（1）第19个月的3期移动平均预测值为：

(2）

营业额 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 295 283 322 355 286 379 381 431 424 473 470 481 449 544 601 587 4 a=0。3 295.0 291.4 300。6 316。9 307。6 329。0 344。6 370。5 386。6 412.5 429.8 445。1 446.3 475。6 513。2 535。4 144.0 936.4 2961.5 955。2 5093。1 2699.4 7459。6 2857.8 7468.6 3305。6 2626.2 15。0 9547。4 15724.5 5443.2 11803.7 预测 误差平方 a=0.4 295。0 290.2 302。9 323。8 308。7 336.8 354。5 385。1 400。7 429.6 445。8 459。9 455.5 490。9 534.9 555.8 144。0 1011。2 2712.3 1425。2 4949。0 1954。5 5856。2 1514。4 5234.4 1632。9 1242.3 117.8 7830。2 12120。5 2709。8 7785。2 预测 误差平方 a=0.5 295。0 2.0 305。5 330。3 308.1 343。6 362。3 396.6 410。3 441。7 455.8 468。4 458。7 501。4 551。2 569。1 144。0 10。0 2450。3 1958。1 5023.3 1401。6 4722.3 748。5 3928.7 803。1 633。5 376。9 7274。8 9929。4 1283.3 5611。7 预测 误差平方

18 合计 660 — 567。9 - 8473。4 87514。7 591。1 - 4752。7 62992。5 606.5 — 2857.5 50236 由Excel输出的指数平滑预测值如下表： a=0。3时的预测值：

，误差均方＝87514.7。

a=0.4时的预测值:

,误差均方＝62992。5。。

a=0。5时的预测值：

,误差均方＝50236。

比较各误差平方可知，a=0。5更合适。

（3）根据最小二乘法,利用Excel输出的回归结果如下：

回归统计 Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差 观测值 方差分析 回归分析 残差 总计 df 0。9673 0.9356 0。9316 31.6628 18 SS MS F Significance F 1 232982。5 232982。5 232。3944 16 17 16040.49 1002.53 5.99E-11 249022.9

Intercept X Variable 1 Coefficients 标准误差 t Stat P—value Lower 95％ 206.7239 Upper 95％ 272.7401 239.73203 15。57055 15.3965 5。16E—11 21。928793 1。438474 15。24449 5。99E—11 18.87936 24。97822 。估计标准误差

。