2021年七年级数学下册第六单元《实数》经典习题(提高培优)

一、选择题

1．若15的整数部分为a，小数部分为b，则a-b的值为（） A．615 解析：A 【分析】

先根据无理数的估算求出a、b的值，由此即可得． 【详解】

B．156

C．815 D．158A

91516，

91516，即3154， a3,b153，

ab3故选：A． 【点睛】

153615，

本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．

2．如图，直径为1个单位长度的圆从A点沿数轴向右滚动（无滑动）两周到达点B，则点B表示的数是（ ）

A．1 解析：B 【分析】

根据是数的运算，A点表示的数加两个圆周，可得B点，根据数轴上的点与实数一一对应，可得B点表示的数． 【详解】

解：A点表示的数加两个圆周，可得B点， 所以，21， 故选：B． 【点睛】

本题考查了实数与数轴，直径为1个单位长度的圆从A点沿数轴向右滚动，A点表示的数加两个圆周．

3．已知实数a的一个平方根是2，则此实数的算术平方根是（ ） A．2 解析：C 【分析】

B．2

C．2

D．4C

B．21

C．2

D．21B

根据平方根的概念从而得出a的值，再利用算术平方根的定义求解即可． 【详解】

∵-2是实数a的一个平方根， ∴a4，

∴4的算术平方根是2， 故选：C． 【点睛】

本题主要考查了平方根以及算术平方根，在解题时要注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．一个正数的算术平方根是它的正的平方根．

4．对任意两个正实数a，b，定义新运算a★b为：若ab，则a★ba；若bab，则a★bb．则下列说法中正确的有（ ） a①a★b=b★a；②a★bb★a1；③a★bA．① 解析：A 【分析】

B．②

12 a★bD．①②③A

C．①②

①根据新运算a★b的运算方法，分类讨论：ab，ab，判断出a★b是否等于

b★a即可；

②由①，推得a★b=b★a，所以a★bb★a1不一定成立； ③应用放缩法，判断出a★b【详解】 解：①ab时， a★bb★aa， ba， b1与2的关系即可． a★ba★b=b★a；

ab时，

a★bb★ab， ab， aa★b=b★a； ①符合题意．

②由①，可得：a★b=b★a， 当ab时，

a★bb★aa★ba★babaa2a2， bbba★bb★a不一定等于1，

当ab时，

a★bb★aa★ba★bbaa★bb★a不一定等于1， a★bb★a1不一定成立， ②不符合题意．

③当ab时，a0，b0，

bb2b， 2aaaa1， ba★b，

1a1ababababab2abab2a★bbbabaababab当ab时，

a★b，

1b1baabababab2abab2a★baababababba12不成立， a★ba★b③不符合题意，

说法中正确的有1个：①．

故选：A． 【点评】

此题主要考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

31,，3.14，8,327,0.2，1.010010001…（从左到右，每两个1之间依7次增加一个0）中，其中无理数有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个C

5．下列实数解析：C

【分析】

根据无理数的定义、算术平方根与立方根逐个判断即可得． 【详解】

314.4285717小数点后的428571是无限循环的，属于有理数，

3273属于有理数， 822是无理数，

则无理数为,8,1.010010001，共有3个， 故选：C． 【点睛】

本题考查了无理数、算术平方根与立方根，熟记各定义是解题关键．

6．关于x的多项式7x311mx215x9与多项式22x25nx7相加后不含x的二次和一次项，则(mnn)平方根为（ ） A．3 解析：C 【分析】

将两个多项式相加，根据相加后不含x的二次和一次项，求得m、n的值，再进行计算． 【详解】

B．3

C．3

D．3C 7x311mx215x9＋22x25nx7

＝7x2211mx155nx2

32由题意知，2211m=0， 155n=0， ∴m=2，n=3，

∴(mnn)=323=9， 9的平方根是3， ∴(mnn)平方根为3， 故选：C． 【点睛】

此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，同时考查了平方根的定义，熟练掌握正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根． 7．在3.14,A．5 解析：D 【分析】

根据无理数的概念逐一判断即可，其中无限不循环小数是无理数． 【详解】

2,0.4,30.001,23,B．2

22,5.121121112……中，无理数的个数为 （ ） 7C．3

D．4D

3.14是有理数，

是无理数， 20.44210，所以0.4是无理数， 1051022是有理数， 730.0010.1是有理数，23是无理数，5.121121112……是无理数； 故选D． 【点睛】

本题考查了无理数的概念，熟记无限不循环小数为无理数是本题的关键． 8．若a1，则a，a，A．aa解析：C 【分析】

可以用取特殊值的方法，因为a＞1，所以可设a=2，然后分别计算|a|，-a，可求得它们的关系． 【详解】 解：设a=2， 则|a|=2，-a=-2，∵2＞

1的大小关系正确的是（ ） a1 aB．

1aa aC．a1a aD．aa1C a1，再比较即a11， a21＞-2， 21＞-a； a故选：C． 【点睛】

∴|a|＞

此类问题运用取特殊值的方法做比较简单．

22，9，6.1010010001…（相邻两个1之间0的个数在递增）7中，无理数有（ ）．

9．在0，3π，5，A．1个 解析：C 【分析】

先计算算术平方根，再根据无理数的定义即可得． 【详解】

B．2个

C．3个

D．4个C

223.1428577小数点后142857是无限循环的，则

22是有理数， 793，则9是有理数，

因此，题中的无理数有3，5，6.1010010001（相邻两个1之间0的个数在递增），共有3个， 故选：C． 【点睛】

本题考查了无理数、算术平方根，熟记无理数的定义是解题关键． 10．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③﹣数，而且是分数；④

不仅是有理223是无限不循环小数，所以不是有理数；⑤无限小数不一定都是有7理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；⑦非负数就是正数；⑧正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；其中错误的说法的个数为（ ） A．7个 解析：B 【分析】

根据有理数的分类依此作出判断，即可得出答案． 【详解】

解：①没有最小的整数，所以原说法错误； ②有理数包括正数、0和负数，所以原说法错误； ③﹣④

B．6个

C．5个

D．4个B

是无理数，所以原说法错误； 223是无限循环小数，是分数，所以是有理数，所以原说法错误； 7⑤无限小数不都是有理数，所以原说法正确；

⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，所以原说法正确； ⑦非负数就是正数和0，所以原说法错误；

⑧正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，所以原说法错误； 故其中错误的说法的个数为6个． 故选：B． 【点睛】

本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．

二、填空题

11．已知x1a,y2a5．

（1）已知x的算术平方根为3，求a的值；

（2）如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数．（1）a=-8；（2）1或9【分析】

（1）根据平方运算可得（1-a）的值求解可得答案；（2）根据题意可知相等或互为相反数列式求解可得a的值根据平方运算可得答案【详解】解：（1）∵x的算术平方根是3∴

解析：（1）a=-8；（2）1或9． 【分析】

（1）根据平方运算，可得（1-a）的值，求解可得答案；

（2）根据题意可知x，y相等或互为相反数，列式求解可得a的值，根据平方运算，可得答案． 【详解】

解：（1）∵x的算术平方根是3， ∴1-a=9， ∴a=-8；

（2）x，y都是同一个数的平方根， ∴1-a=2a-5或1-a+（2a-5）=0， 解得a=2，或a=4，

当a=2时，（1-a）=（1-2）2=1， 当a=4时，（1-a）=（1-4）2=9， 答：这个数是1或9． 【点睛】

本题考查了平方根和算术平方根，注意第（2）问符合条件的答案有两个，小心漏解． 12．阅读下列材料，并回答问题：

我们把单位“”平均分成若干份，表示其中一份的数叫“单位分数”．单位分数又叫埃及分数，在很早以前，埃及人就研究如何把一个单位分数表示成两个或几个单位分数的和或差．今天我们来研究如何拆分一个单位分数．请观察下列各式：

11111111；， 6232312343411111111． ，

2045453056561 ； （1）由此可推测56（2）请用简便方法计算：

11111； 612203042（3）请你猜想出拆分一个单位分数的一般规律，并用含字母m的等式表示出来（m表示正整数）；

（4）仔细观察下面的式子，并用（3）中的规律计算：

x2x3x1x3x1x2（1）；（2）；（3）；（4）0【分

析】（1）因为56=7×8所以根据题中规律；（2）根据题意把每个单位分数变成

121两个单位分数的差再对其进行加减运算；（3）根据上面规律可以写出拆分一个单位分数的规律：

1111115==；（2）；（3）解析：（1）；（4）0 mm1mm1147878【分析】

（1）因为56=7×8，所以根据题中规律

111； 5678（2）根据题意把每个单位分数变成两个单位分数的差，再对其进行加减运算；

111（3）根据上面规律可以写出拆分一个单位分数的规律：；

mm1mm1（4）根据（3）中的规律把每个分数单位拆分成两个分数单位的差再计算即可得到解答 ． 【详解】 解：（1）（2）+1111== 56787811111+++ 6122030401111111111++++ 23344556671127 5=14111=（3）

mm1mm1（4）

x2x3x1x3x1x2

121111111=

x3x2x3x1x2x1

=0 【点睛】

本题考查与实数运算相关的规律题，通过观察与归纳总结出运算规律是解题关键． 13．（1）计算：

①16938(2)2； ②1213125|63|6．

（2）求下列各式中x的值： ③25x236；

④(1x)3．（1）①；②；（2）③；④【分析】①先计算根式再加减

计算②先计算根式和绝对值再加减计算（2）③两边除以25再开算术平方根④先除以-1再开立方根【详解】（1）①②（2）③④【点睛】本题考查根式的化简求

解析：（1）①13；②926；（2）③x【分析】

①先计算根式，再加减计算． ②先计算根式和绝对值，再加减计算． （2）③两边除以25，再开算术平方根． ④先除以-1，再开立方根． 【详解】

（1）①16938(2)2 6；④x5． 5132213

②1213125|63|6

115366926 （2）③25x236

x236 256x

5④(1x)3

(1x)3

1x4

x5

【点睛】

本题考查根式的化简求值，关键在于化简．

14．规定一种新的定义：a★b＝b－a2，若a＝3，b＝49，则(a★b)★b＝

_________．【分析】根据题中给到的新运算先计算a★b然后直接代入数据计算

(a★b)★b即可【详解】因为a★b＝－a2=所以(a★b)★b==7-4=3故答案为：3【点睛】本题考查定义新运算解题关键在于熟练掌握运 解析：3

【分析】

根据题中给到的新运算，先计算a★b然后直接代入数据计算(a★b)★b即可. 【详解】

因为a★b＝b－a2， =4932792

所以 (a★b)★b =49(2)2 =7-4=3 故答案为：3． 【点睛】

本题考查定义新运算，解题关键在于熟练掌握运算法则. 15．计算：

（1）7|2|327 311（2）5（1）2；（2）5【分析】(1)先计算绝对值及开立方再计4222算加减法；(2)先计算括号中的减法及乘方再按顺序计算乘除法【详解】解：（1）=7-2-3=2；（2）==5【点睛】此题考查实数的混合运算掌握运

解析：（1）2；（2）5 【分析】

(1)先计算绝对值及开立方，再计算加减法；

(2)先计算括号中的减法及乘方，再按顺序计算乘除法． 【详解】

解：（1）7|2|327 =7-2-3 =2；

311（2）5 42211 44=5． 【点睛】

=5此题考查实数的混合运算，掌握运算法则及运算顺序是解题的关键． 16．已知x22930，y10，求xy的值．2或4【分析】根据平方根和立

方根的性质计算得到x和y的值再结合绝对值的性质计算即可得到答案【详解】∵∴∵∴∴当时=当时=【点睛】本题考查了平方根立方根绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握平方根立方根绝

解析：2或4 【分析】

根据平方根和立方根的性质计算，得到x和y的值，再结合绝对值的性质计算，即可得到答案． 【详解】 ∵x290

∴x3 ∵y310 ∴y1

∴当x3，y1时，xy=312 当x3，y1时，xy=314． 【点睛】

本题考查了平方根、立方根、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握平方根、立方根、绝对值的性质，从而完成求解．

17．比较大小：3 _______－2．(填“＞”“＝”或“＜”)>【分析】两个负数比较绝对值

大的反而小由此得到答案【详解】∵∴故答案为：>【点睛】此题考查实数的大小比较：负实数都比0小正实数都比0大两个负实数比较大小绝对值大的反而小

解析：> 【分析】

两个负数比较绝对值大的反而小，由此得到答案. 【详解】 ∵

32，

∴32， 故答案为：>. 【点睛】

此题考查实数的大小比较：负实数都比0小，正实数都比0大，两个负实数比较大小，绝对值大的反而小. 18．下列实数0，

2， 3，π，0.1010010001其中无理数共有___个．2【分析】根据3无理数的定答即可【详解】解：实数0π01010010001中无理数有实数π共2个故答案为：2【点睛】本题考查了无理数的定义其中初中范围内学习的无理数有：π2π等；开方开不尽的数；以

解析：2 【分析】

根据无理数的定答即可． 【详解】

2， 3，π，0.1010010001中，无理数有实数3，π共2个， 3故答案为：2． 【点睛】

解：实数0，

本题考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的

数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．

19．若ba3109,且b的算术平方根为4，则a__________．5【分析】先求出

b=16再代入根据立方根的定义即可解答【详解】解：∵的算术平方根为∴b=16∴∴∴a=5故答案为5【点睛】本题考查算术平方根的定义和立方根的定义熟知定义是解题关键

解析：5 【分析】

先求出b=16，再代入ba3109，根据立方根的定义即可解答． 【详解】

解：∵b的算术平方根为4， ∴b=16， ∴16a3109， ∴a3125， ∴a =5． 故答案为5． 【点睛】

本题考查算术平方根的定义和立方根的定义，熟知定义是解题关键．

20．若2a1b2c10，则abc=__________．【分析】先根据绝对

2值算术平方根偶次方的非负性求出abc的值再代入即可得【详解】由题意得：解得则故答案为：【点睛】本题考查了绝对值算术平方根偶次方的非负性的应用等知识点熟练掌握绝对值算术平方根偶次方的

1解析：

2【分析】

先根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性求出a、b、c的值，再代入即可得． 【详解】

1a2a102由题意得：b20，解得b2，

c10c1则abc故答案为：【点睛】

本题考查了绝对值、算术平方根、偶次方的非负性的应用等知识点，熟练掌握绝对值、算

1121， 221． 2术平方根、偶次方的非负性是解题关键．

三、解答题

ab0,则ab21．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即ab0,则ab

ab0,则ab例如：比较192与2的大小；

1922194，

161925，则4195， 19221940，

1922．

请根据上述方法解答以下问题： （1）比较大小：329_______3；

（2）比较223与3的大小，并说明理由． 解析：（1）＞；（2）3＜223． 【分析】

（1）由327＜329＜3，可得：3＜329＜4，从而可得答案；

（2）由16＜23＜25，可得4＜23＜5，从而可得：0＜523，即0＜

2233，从而可得答案．

【详解】 解：（1）

327＜329＜3，

3＜329＜4，

故答案为：＞． （2）

16＜23＜25，

4＜23＜5，

0＜523， 0＜3+223， 0＜2233，

 3＜223．

【点睛】

本题考查的是实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解题的关键．

22．已知3a1的算数平方根是4，4c2b1的立方根是3，c是13的整数部分．求2abc2的平方根．

解析：3．

【分析】

根据算术平方根的定义得到3a+1=16，可解得a值，根据3＜13＜4，可得c=3，再根据立方根的定义可得4c2b133，可解得b，然后将a、b、c的值代入计算即可． 【详解】

解：根据题意可得：3a142， ∴a5，

3134，

c3，

∵4c2b133， ∴b8，

2abc2258323，

即2abc2的平方根为3． 【点睛】

本题考查了代数式的求值、算术平方根、立方根、无理数的估算，理解（算术）平方根的定义，立方根的定义，会利用完全平方数和算术平方根估算无理数的大小是解答的关键． 23．计算： （1）3232解析：（1）【分析】

（1）直接利用有理数混合运算法则计算得出答案；

（2）原式先计算乘方，再计算乘法运算，进而算加减运算即可求出值． 【详解】 （1）原式=6-3×

12921|12|12 2（）

3223；（2）-7+2． 2933=6-=； 222215×=-1+2-1-5=-7+2． 32（2）原式＝-1+2-1-【点睛】

本题主要考查了有理数和实数的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键． 24．若b2a2b10，求ab解析：1 【分析】

根据平方的非负性、开平方的非负性求出a、b的值，代入计算即可． 【详解】

解：∵b2a2b10， ∴b20，a2b10，

222020的值．

解得：b2，a3， ∴ab【点睛】

此题考查平方的非负性、开平方的非负性，有理数的混合运算，正确理解平方的非负性、开平方的非负性是解题的关键． 25．计算． （1）20203220201．

1131； 223（2）2388． 解析：（1）4；（2）6． 【分析】

（1）变减号为加号同时省略括号和加号，先两个分数相加，再和最后一个数相加； （2）先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减． 【详解】 （1）原式1113 2213 4；

（2）原式8288

82

6．

【点睛】

此题考查有理数混合运算，其关键是熟练掌握每种运算和按运算顺序运算，注意用运算律改变运算顺序以使运算简便． 26．对于有理数a，b，定义一种新运算“

”，规定ababab．

（1）计算23的值；

b；

（2）①当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简a②当a例说明．

bac时，是否一定有bc或者bc？若是，则说明理由；若不是，则举

解析：（1）6；（2）①2b；②不一定，理由见解析． 【分析】

☉32323，然后按有理数的运算法则计算即（1）根据新定义可得2可；

（2）①首先根据数轴可得ab0，ab0 ，然后根据新定义可得

a☉babab，去掉绝对值符号之后按整式加减运算法则化简即可；

②举反例：当a5，b4，c3时，a☉ba☉c成立； 【详解】

☉3232315156； （1）2（2）①从a ，b在数轴上的位置可得ab0，ab0 ，

abababababab2b；

②不一定有bc或者bc，举反例如下，

☉babab10，a☉cacac10， 当a5，b4，c3时，a此时a☉ba☉c成立，但bc且bc． 【点睛】

本题考查新定义运算，解答的关键是根据新定义，转化成有理数的运算，整式的运算． 27．初一年级某同学在学习完第二章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣．他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：ab2aab1．求23的值． 解析：1 【分析】

根据新运算的运算法则计算即可． 【详解】

解：2322231

4614611．

【点睛】

本题考查新定义下的有理数运算，通过阅读材料掌握新运算的运算法则是解题关键． 28．已知a是10的整数部分，b是10的小数部分，求代数式b10解析：3． 【分析】

根据321042可得3104，即可得到10的整数部分是3，小数部分是

a1的平方根．

103，即可求解．

【详解】

解：∵321042， ∴3104， ∴

10的整数部分是3，则a3，10的小数部分是103，则b103，

∴b10a1103103139，

2∴9的平方根为3． 【点睛】

本题考查实数的估算、实数的运算、平方根的定义，掌握实数估算的方法是解题的关键．