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1、 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AC＝AB＋BD，求证：∠B＝2∠C 证明：在AC上截取AE＝AB，连结DE
∵ AD是∠BAC的角平分线 ∴ ∠BAD＝∠EAD
在△BAD与△EAD中，有： AB＝AE （已知）
∠BAD＝∠EAD （已证） AD＝AD （公共边）
∴ △BAD≌△EAD （SAS）
∴ ∠B＝∠AED （全等三角形对应角相等）
∵ ∠AED＝∠EDC＋∠C （三角形的外角等于不相邻的内角和） ∴ ∠B＝∠EDC＋∠C （等量代换） ∵ △BAD≌△EAD （已证）
∴ BD＝ED （全等三角形对应边相等） ∵ AC＝AB＋BD （已知） AB＝AE （已知） BD＝ED （已证） ∴ ED＝CE （等量代换） ∴ ∠C＝∠EDC （等边对等角） ∵ ∠B＝∠EDC＋∠C （已证） ∴ ∠B＝2∠C
2、 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB＞AC，试判断AB－AC与BD－CD
的大小并说明理由。
证明：在AB上截取AE＝AC，连结DE
∵ AD是∠CAB的角平分线 ∴ ∠CAD＝∠EAD
在△CAD与△EAD中，有： AC＝AE （已知）
∠CAD＝∠EAD （已证） AD＝AD （公共边）
∴ △CAD≌△EAD （SAS）
∴ CD＝ED （全等三角形对应边相等） ∵ AC＝AE （已知）
∴ AB－AC＝AB－AE＝BE （等量代换）
∵ BD－CD＝BD－DE＜BE （三角形两边之差少于第三边） ∴ BD－CD＝AB－AC
3、 如图，O为∠BAC内一点，且AB＝AC，OB＝OC，反向延长OB
交AC于D，反向延长OC交AB于E，求证：AD＝AE 证明方法一：连结BC
∵ AB＝AC，OB=OC
∴ ∠ABC＝∠ACB，∠OBC＝∠OCB （等边对等角） ∴ ∠ABC－∠OBC＝∠ACB－∠OBC
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∴ ∠ABD＝∠ACE
在△ABD与△ACE中，有：
∠ABD＝∠ACE （已证） AB＝AC （已知） ∠A＝∠A （公共角）
∴ △ABD≌△ACE （ASA）
∴ AD＝AE （全等三角形对应边相等）
证明方法二：连结AO
在△AOB与△AOC中，有： OB＝OC （已知） AB＝AC （已知） AO＝AO （公共边）
∴ △AOB≌△AOC （SSS）
∴ ∠ABD＝∠ACE （全等三角形对应角相等） 在△ABD与△ACE中，有：
∠ABD＝∠ACE （已证） AB＝AC （已知）
∠BAC＝∠CAB （公共角）
∴ △ABD≌△ACE （ASA）
∴ AD＝AE （全等三角形对应边相等）
4、 在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点。请判断中线AD的取值范围。 解：延长AD到E，使AD＝ED
在△ABD与△ECD中，有：
BD＝CD （D是BC的中点） ∠ADB＝∠EDC （对顶角相等） AD＝ED （已知）
∴ △ABD≌△ECD （SAS）
∴ CE＝AB＝6 （全等三角形对应边相等）
在△AEC中，
∵ AD＝ED
∴ AE＝2AD
∵ AC＋CE＞AE＞AC－AE ∴ 8＋6＞2AD＞8－6 ∴ 7＞AD＞1
5、 如图，△ABC中，AB＝2AC，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝BD，求证：CD⊥AD 证明：在AB上截取AE＝AC
∵ AB＝2AC，∵ AE＝AC ∴ E为AB的中点
即DE是等腰△ADB底边上的中线
∴ DE⊥AB （等腰三角形三线合一） ∴ ∠AED=90o
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在△AED与△ACD中，有： AE＝AC （已知）
∠EAD＝∠CAD （AD是∠BAC角平分线） AD＝AD （公共边）
∴ △AED≌△ACD （SAS）
∴ ∠AED＝∠ACD=90o （全等三角形对应边相等） 即 CD⊥AC
6、 如图，△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的角平分线，P是线段AD上任一点除A、
D外的任意一点。求证：AB－AC＞PB－PC 证明：在AB是截取AE＝AC
在△ACP与△AEP中，有： AC＝AE （已知）
∠EAP＝∠CAP （已知AD是∠BAC角平分线） AP＝AP （公共边）
∴ △ACP≌△AEP （SAS）
∴ PC＝PE （全等三角形对应边相等）
∵ BE＞PB－PE （三角形两边差小于第三边） ∴ BE＞PB－PC （等量代换） ∵ BE＝AB－AE
AC＝AE BE＞PB－PC ∴ AB－AC＞PB－PC
7、 如图，四边形ABCD中，AD＝CD，BC＞AB，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180o 证明：在BC是截取BE＝BA
在△ABD与△EBD中，有： AB＝BE （已知）
∠ABD＝∠EBD （已知BD平分∠ABC） BD＝BD （公共边）
∴ △ABD≌△EBD （SAS）
∴ AD＝ED，∠A＝∠BED （全等三角形对应边相等、对应角相等） ∵ AD＝CD （已知）
∴ ED＝CD （等量代换）
∴ ∠DEC＝∠C （等边对等角）
言之
∵ ∠BED＋∠DEC＝∠BEC＝180o（B、E、C三点共线） ∠C＝∠DEC （已证）
∠A＝∠BED （已证） ∴ ∠A＋∠C＝180o （等量代换）
