专题61古典概型-备战2019年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展

专题61 古典概型

【热点聚焦与扩展】

纵观近几年的高考试题，概率是高考热点之一，以互斥事件、对立事件的概率为主．客观题与大题都有可能考查，在大题中更加注重实际背景，考查分析、推理能力.难度控制在中等以下．

本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.

1、基本事件：一次试验中可能出现的每一个不可再分的结果称为一个基本事件.例如：在扔骰子的试验中，向上的点数1点，2点，……，6点分别构成一个基本事件

2、基本事件空间：一次试验，将所有基本事件组成一个集合，称这个集合为该试验的基本事件空间，用表示. 3、基本事件特点：设一次试验中的基本事件为A1,A2,（1）基本事件两两互斥

（2）此项试验所产生的事件必由基本事件构成，例如在扔骰子的试验中，设Ai为“出现i点”，事件A为“点数大于3”，则事件AA4,An

A5A6

（3）所有基本事件的并事件为必然事件 由加法公式可得：PPA1A2AnPA1PA2PAn1

PAn

因为P1，所以PA1PA24、等可能事件：如果一项试验由n个基本事件组成，而且每个基本事件出现的可能性都是相等的，那么每一个基本事件互为等可能事件.

5、等可能事件的概率：如果一项试验由n个基本事件组成，且基本事件为等可能事件，则基本事件的概率为证明：设基本事件为A1,A2,1 n,An，可知PA1PA21 nPAn

PA1PA2PAn1 所以可得PAi6、古典概型的适用条件：

（1）试验的所有可能出现的基本事件只有有限多个 （2）每个基本事件出现的可能性相等

当满足这两个条件时，事件A发生的概率就可以用事件A所包含的基本事件个数nA占基本事件空间的总数

n的比例进行表示，即PA7、运用古典概型解题的步骤：

nAn ① 确定基本事件，一般要选择试验中不可再分的结果作为基本事件，一般来说，试验中的具体结果可作为基本事件，例如扔骰子，就以每个具体点数作为基本事件；在排队时就以每种排队情况作为基本事件等，以保证基本事件为等可能事件

② nA,n可通过计数原理（排列，组合）进行计算

③ 要保证A中所含的基本事件，均在之中，即A事件应在所包含的基本事件中选择符合条件的. 8. 古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.

(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.

(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法（理科）：适用于条件较多且元素数目较多的题目.

【经典例题】

例1.【2018年全国卷II文】 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A.

B.

C.

D.

【答案】D

则选中的2人都是女同学的概率为故选D.

点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分

，

别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.

例2.【2018年全国卷II理】我国数学家陈景润在哥德猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如的数，其和等于30的概率是 A.

B.

C.

D.

．在不超过30的素数中，随机选取两个不同

【答案】C

例3.【山东省2018年普通高校招生（春季）考试】某停车场只有并排的8个停车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同车位，则至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是（ ） A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】分析：先求三辆车皆不相邻的概率，再根据对立事件概率关系求结果.

详解：因为三辆车皆不相邻的情况有，所以三辆车皆不相邻的概率为因此至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是选C.

,

例4.【2018届华大新高4月检测】为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日:春节，元宵节，清明节，端午节，中秋节五个节日中随机选取3个节日来讲解其文化内涵，那么春节被选中的概率是( ) A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】C

【解析】分析：春节和端午节至少有一个被选中的对立事件是春节和端午节都没被选中，由此能求出春节和端午节至少有一个被选中的概率

C327详解：：春节和端午节至少有一个被选中的对立事件是春节和端午节都没被选中， p12.

C510故选D.

例5.【2018届福建省三明市5月检测】《中国诗词大会》节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为宗旨，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识竞赛．现组委会要从甲、乙等五位候选参赛者中随机选取2人进行比拼，记“甲被选上且乙不被选上”为事件，则事件的概率为( ) A.

B.

C.

D.

【答案】A

例6.【2018届百校联盟TOP20四月联考】已知数据1，2，3，4，数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B

【解析】分析：由题意首先求得实数x的值，然后列出所有可能的结果，从中挑选满足题意的结果结合古典概型计算公式即可求得最终结果.

详解：由数据1，2，3，4，x（0可得2+=x，所以x=，从这5个数中任取2个，结果有：

，

的平均数与中位数相等，从这5个

共10种，这2个数字之积大于5的结果有：

，共5种，

所以所求概率为本题选择B选项.

例7.【2018年江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________． 【答案】

.

例8.【2018届上海市徐汇区二模】将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是，记第二颗骰子出现的点数是，向量【答案】 【解析】由题意知，

，则

共有36种，由

. 为集合

的概率是__________．

中三个不同的数，通过如图所示算法框图，得

，即

，共有6

，向量

，则向量

的概率是_______.

种，根据古典概型的计算公式可得，所求概率为例9.【2018届陕西省宝鸡市检测三】已知给出的算法输出一个整数，则输出的数

【答案】

点睛：本题主要考查是学生对程序框图以及古典概型的概率的掌握程度.由算法可知输出的是

中最大的

一个，若输出的数为，则这三个数中必须要有，列举出从集合中任选三个不同的数的情况即可解决问题.属于基础题.

例10.【2018届上海市虹口区二模】从集合

随机取一个为，从集合

随机取一

个为，则方程表示双曲线的概率为 ___________．

【答案】 【解析】由题意，所以

， .

【精选精练】

1．【2018届四川省成都市高考模拟一】有4位游客来某地旅游，若每人只能从此处甲、乙、丙三个不同景录点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为( ） A. B. 【答案】D

C. D.

点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式． 2．【2018届湖北省5月冲刺】据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为 ：男、子、伯、候、公，共五级.现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分个（为正整数），若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B

【解析】分析：先根据等差数列列关于m以及首项的不定方程，根据正整数解确定m可能取法，最后根据古典概型概率公式求结果.

详解：设首项为，因为和为80，所以因为所以

因此“公”恰好分得30个橘子的概率是， 选B.

3．【2018届宁夏回族自治区银川一中考前训练】从3名男生和2名女生共5名同学中抽取2名同学，若抽到了1名女同学，则另1名女同学也被抽到的概率为 A.

B. C. D.

，

【答案】C

故答案为：C

点睛：（1）本题主要考查古典概型的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)注意本题不是条件概率，因为若抽到了1名女同学，并不代表现在已经抽到了1名女同学，是一种假设.

4．【2018届福建省百校临考冲刺】现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将这4个小球排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C

所以中间两个小球不都是红球的概率为所以答案选C

点睛：古典概率的计算，主要是列举出所有的可能，不要重复和漏项.注意正确理解题目中“不都是”否定形式表达的意义，利用对立事件的概率和为1，可以求出概率.

5．【2018届河北省衡水中学十六模】齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A

【解析】分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得最终结果. 详解：记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a,b,c， 齐王的上等马、中等马、下等马分别为A,B,C，由题意可知， 可能的比赛为：Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,共有9种， 其中田忌可以获胜的事件为：Ba，Ca,Cb，共有3种， 则田忌马获胜的概率为本题选择A选项.

6．【山东省青岛市2018年春季高考二模】从，，，，中任意取出两个不同的数，其和为的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A

【解析】分析:直接利用古典概型求解. 详解：因为5=1+4=2+3，

.

所以和为5的概率为故答案为：A

的五个形状、大

7．【2018届山东省济南二模】某商场举行有奖促销活动,抽奖规则如下:箱子中有编号为

小完全相同的小球,从中任取两球,若摸出的两球号码的乘积为奇数则中奖;否则不中奖则中奖的概率为（ ） A.

B. C.

D.

【答案】C

故答案为：C

8．【2018届湖南省湘潭市四模】食物相克是指事物之间存在着相互拮抗、制约的关系，若搭配不当，会引起中毒反应．已知蜂蜜与生葱相克，鲤鱼与南瓜相克，螃蟹与南瓜相克．现从蜂蜜、生葱、南瓜、鲤鱼、螃蟹五种食物中任意选取两种，则它们相克的概率为（ ）

A. B. C. 【答案】C

D.

【解析】分析：根据题意可知，基本事件总数n==10，它们相克的情况有3种，从而得到结果． 详解：已知蜂蜜与生葱相克，鲤鱼与南瓜相克，螃蟹与南瓜相克． 现从蜂蜜、生葱、南瓜、鲤鱼、螃蟹五种食物中任意选取两种， 基本事件总数n==10， ∴它们相克的概率为p=故选：C．

9．【2018届河南省郑州市第三次预测】我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（ ） A.

B.

C. D.

．

【答案】A

故选A．

10．【2018届江西省南昌市二模】在《周易》中，长横“ ”表示阳爻，两个短横“ ”表示阴爻，有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有

种组合方法，这便是《系辞传》所说：“太极生两仪，两仪生四象，四象

生八卦”，有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻三次有八种不同的情况，即为八卦，在一次卜卦中，恰好出现两个阳爻一个阴爻的概率是（ ） A. B. C. D.

【答案】C

【解析】试题分析：基本事件总数n=2=8，这六爻恰好有两个阳爻一个阴爻包含的基本事件m=3，由此能求出这六爻恰好有2个阳爻1个阴爻的概率． 详解：

在一次所谓“算卦”中得到六爻， 基本事件总数n=2=8，

这六爻恰好有2个阳爻1个阴爻包含的基本事件m=3， ∴这六爻恰好有2个阳爻1个阴爻的概率是p=故选：C．

11．【2018届福建省漳州市5月测试】漳州某公园举办水仙花展，有甲、乙、丙、丁4名志愿者，随机安排2人到A展区，另2人到B展区维持秩序，则甲、乙两人同时被安排到A展区的概率为 A.

B. C. D.

．

3

3

【答案】B

12．【2018届江西省上饶市第三模】从集合的概率为（ ）

A. B. C. D. 【答案】C

中随机选取一个数，则方程表示离心率为的椭圆

【解析】分析：分别求解椭圆的离心率，然后求解概率即可．

详解：：从集合{2，4，8}中随机选取一个数m，则m=2时：椭圆为：，离心率为：e===，

方程，表示圆；

m=8时，椭圆方程，离心率为：e===，

方程故选：C．

表示离心率为的椭圆的概率为：．