2006年高考数学试卷(全国Ⅰ.理)含详解

2006年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 注意事项：

1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：

如果时间A、B互斥，那么P(AB)P(A)P(B) 如果时间A、B相互，那么P(AB)P(A)P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次重复试验中恰好发生k次的概

kk率PnkCnP1Pnk

2球的表面积公式S4R，其中R表示球的半径 球的体积公式V43R，其中R表示球的半径 3一、选择题

⑴、设集合Mxx2x0，Nxx2，则 A．MN B．MNM C．MNM D．MNR

⑵、已知函数yex的图象与函数yfx的图象关于直线yx对称，则 A．f2xe2x(xR) B．f2xln2lnx(x0) C．f2x2ex(xR) D．f2xlnxln2(x0) ⑶、双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m

11A． B．4 C．4 D．

44⑷、如果复数(m2i)(1mi)是实数，则实数m

A．1 B．1 C．2 D．2 ⑸、函数fxtanx的单调增区间为

4A．k,k,kZ B．k,k1,kZ

2233C．k,k,kZ D．k,k4444,kZ ⑹、ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c2a，则cosB

A．

2213 B． C． D．

4344⑺、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的

表面积是

A．16 B．20 C．24 D．32

⑻、抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是 A．

478 B． C． D．3 355⑼、设平面向量a1、a2、a3的和a1a2a30。如果向量b1、b2、b3，满足bi2ai，且ai顺时针旋转30o后与bi同向，其中i1,2,3，则

A．b1b2b30 B．b1b2b30 C．b1b2b30 D．b1b2b30

⑽、设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，则

a11a12a13

A．120 B．105 C．90 D．75 ⑾、用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为

A．85cm2 B．610cm2 C．355cm2 D．20cm2 ⑿、设集合I1,2,3,4,5。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有

A．50种 B．49种 C．48种 D．47种

2006年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学 第Ⅱ卷

注意事项：

1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．第Ⅱ卷共2页，请用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。

3．本卷共10小题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。

⒀、已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于_______________。

⒁、设z2yx，式中变量x、y满足下列条件

2xy1 3x2y23 y1

则z的最大值为_____________。

⒂、安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________种。（用数字作答）

⒃、设函数fxcos3x0。若fxf/x是奇函数，则

__________。

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

⒄、（本小题满分12分）

ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA2cosBC取得最2

大值，并求出这个最大值。

⒅、（本小题满分12分）

A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲

21类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为。

32（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；

（Ⅱ）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望。

⒆、（本小题满分12分）

如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在l1上，C在l2上，AMMBMN。

（Ⅰ）证明AB⊥NB；

（Ⅱ）若ACB60O，求NB与平面ABC所成角的余弦值。

⒇、（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，有一个以

F10,3和F20,3为焦点、离心率为

32的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线

与x、y轴的交点分别为A、B，且向量OMOAOB。求：

（Ⅰ）点M的轨迹方程；

（Ⅱ）OM的最小值。

（21）、（本小题满分14分） 已知函数fx1xaxe。 1x（Ⅰ）设a0，讨论yfx的单调性；

（Ⅱ）若对任意x0,1恒有fx1，求a的取值范围。 （22）、（本小题满分12分） 设数列an的前n项的和

412 Snan2n1，n1,2,3,333（Ⅰ）求首项a1与通项an；

n2n3（Ⅱ）设Tn，n1,2,3,，证明：Ti

Sn2i1

一、选择题: 1.B 2.D 3.A 4.B 5.C 6.B 7.C 8.A 9.D 10.B 11.B 12.B ππ

二、填空题: 13. 14. 11 15. 2400 16.

36

一、选择题 题号 答案 1 B 2 D 3 A 24 B 5 C 6 B 7 C 8 A 9 D 10 B 11 B 12 B 1．解：Mxxx0={x|0∴ MNM，选B.

x1}，Nxx2={x|2x2}，

x2．解：函数ye的图象与函数yfx的图象关于直线yx对称，所以

f(x)是yex的反函数，即

f(x)=lnx，∴ f2xln2xlnxln2(x0)，选D.

2x22y21，3．双曲线mxy1的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为4∴ m=1，选A. 424．复数(mi)(1mi)=(m2－m)+(1+m3)i是实数，∴ 1+m3=0，m=－1，选B. 5．函数fxtanx4的单调增区间满足k2x4k2，

∴ 单调增区间为k3,k,kZ，选C. 446．ABC中，a、b、c成等比数列，且c2a，则b=2a，

a2c2b2a24a22a23cosB，选B. =22ac4a47．正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为26，∴ 球的半径为6，球的表面积是24，选C.

8．设抛物线yx上一点为(m，－m2)，该点到直线4x3y80的距离为

2|4m3m28|24，当m=时，取得最小值为，选A.

3359．向量a1、a2、a3的和a1a2a30。向量a1、a2、a3顺时针旋转30后与b1、b2、

b3同向，且bi2ai，∴ b1b2b30，选D.

10．an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，则a25，

a1a3(5d)(5d)16，∴ d=3，a12a210d35，a11a12a13105，

选B.

11．用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为610cm，选B.

12．若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C5=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C5=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C5=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C5=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C5=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个个元素，则选法种数有C5=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C5=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C5=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C5=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种

5454534322

数有C5=1种；总计有49种，选B.

解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，

从5个元素中选出2个元素，有C5=10种选法，小的给A集合，大的给B集合； 从5个元素中选出3个元素，有C5=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；

从5个元素中选出4个元素，有C5=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；

从5个元素中选出5个元素，有C5=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；

总计为10+20+15+4=49种方法。选B.

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。

ππ13. 14. 11 15. 2400 16.

36

y5234513．正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，底面边长为23，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=3, ∴ 二面角等于

C。 3BAOx2xy114．3x2y23，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别

y1是A(0，1)，B(7，1)，C(3，7)，在△ABC中满足z2yx的最大值是点C，代入得最大值等于11.

15．先安排甲、乙两人在后5天值班，有A5=20种排法，其余5人再进行排列，有A5=120种排法，所以共有20×120=2400种安排方法。 16．

25f'(x)3sin(3x)，

/则fxfx=cos(3x)3sin(3x)2sin(3x)，为奇

6

函数，∴ φ=

. 6三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 πB+CAB+CA

17.解: 由A+B+C=π, 得 = － , 所以有cos =sin .

22222B+CAAA

cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin2 + 2sin

2222A13

=－2(sin － )2+

222

πA1B+C3

当sin = , 即A= 时, cosA+2cos取得最大值为 22322

18.解: (1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只\" , i=0,1,2, Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只\" , i=0,1,2, 124224111依题意有: P(A1)=2×× = , P(A2)= × = . P(B0)= × = ,

339339224111

P(B1)=2× × = , 所求概率为: P=P(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2)

2221414144

= × + × + × = 4949299

4512545100(Ⅱ)ξ的可能值为0,1,2,3且ξ~B(3,) . P(ξ=0)=()3= , P(ξ=1)=C31××()2=

997299924345804

, P(ξ=2)=C32×()2× = , P(ξ=3)=( )3=

992439729ξ的分

44

数学期望: Eξ=3× = .

93

19.解法一: (Ⅰ)由已知l2⊥MN, l2⊥l1 , MN∩l1 =M, 可得l2⊥平面ABN.由已知MN⊥l1 ,

AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB. 又AN为AC在平面ABN内的射影.

ξ 0 P 1 2 3 布列为:

12510080 729243243729

∴AC⊥NB

（Ⅱ）∵Rt△CAN≌Rt△CNB, ∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC为正三角形.

∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC内

l1 的射影H是正三角形ABC的中心,连结BH,∠NBH为NB与平

A 面ABC所成的角.

3AB3HB6在Rt△NHB中,cos∠NBH= = = .

NB32

AB2解法二: 如图,建立空间直角坐标系M－xyz.令MN=1, 则有A(－1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),

(Ⅰ)∵MN是 l1、l2的公垂线, l1⊥l2, ∴l2⊥平面ABN. l2→→

平行于z轴. 故可设C(0,1,m).于是 AC=(1,1,m), NB=(1,→→

－1,0). ∴AC·NB=1+(－1)+0=0 ∴AC⊥NB.

l1 A M B x l2 z C H y N H M B

N l2 C

→→→→

(Ⅱ)∵AC =(1,1,m), BC=(－1,1,m), ∴|AC|=|BC|, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC为正三角形,AC=BC=AB=2. 在Rt△CNB中,NB=2, 可得NC=2,故C(0,1, 2). →

连结MC,作NH⊥MC于H,设H(0,λ, 2λ) (λ>0). ∴HN=(0,1－λ,－2λ), 1→→→

MC=(0,1, 2). HN·MC = 1－λ－2λ=0, ∴λ= ,

3

122212→→

∴H(0, , ), 可得HN=(0,, － ), 连结BH,则BH=(－1,, ), 33333322→→→→

∵HN·BH=0+ － =0, ∴HN⊥BH, 又MC∩BH=H,∴HN⊥平面ABC,

99→

∠NBH为NB与平面ABC所成的角.又BN=(－1,1,0), 4

→→

3BH·BN6

∴cos∠NBH= = =

23→→

|BH|·|BN|×2

3

a2－b2 =3yx

20.解: 椭圆方程可写为: 2 + 2 =1 式中a>b>0 , 且 3 得a2=4,b2=1,所以曲线3ab

a =2

2

2

y2

C的方程为: x+ =1 (x>0,y>0). y=21－x2 (04

2

2x

1－x2设P(x0,y0),因P在C上,有04x0 ,得切线AB的方程为: y0

y=－

4x014 (x－x0)+y0 . 设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得 x= , y= . y0x0y0

→→→

由OM=OA +OB得M的坐标为(x,y), 由x0,y0满足C的方程,得点M的轨迹方程为:

14

2 + 2 =1 (x>1,y>2) xy→

(Ⅱ)| OM|2= x2+y2, y2=

411－2x

=4+

4

, x－1

244→

∴| OM|2= x2－1+2+5≥4+5=9.且当x2－1=2 ,即x=3>1时,上式取等号.

x－1x－1→

故|OM|的最小值为3.

ax2+2－a－ax

21.解(Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得 f '(x)= e.

(1－x)22x2－2x

(ⅰ)当a=2时, f '(x)= , f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(－2 e(1－x)∞,1), (1,+∞).为增函数.

(ⅱ)当00, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)为增函数. a－2(ⅲ)当a>2时, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x1= －

a当x变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表: x (－∞, －＋ a－2) a(－a－2,a－ a－2) a(a－2,1) a＋ (1,+∞) a－2

, x2= a

a－2

. a

f '(x) f(x) ＋ ↗ a－2), (a↘ ↗ ↗ a－2,aa－2)为减函数. af(x)在(－∞, －a－2,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(－a(Ⅱ)(ⅰ)当0f(0)=1.

1

(ⅱ)当a>2时, 取x0= 2a－2

∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x0)1+x－

(ⅲ)当a≤0时, 对任意x∈(0,1),恒有 >1且eax≥1,得

1－xf(x)=

1+x－ax1+x

e≥ >1. 综上当且仅当a∈(－∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1. 1－x1－x

412412

22.解: (Ⅰ)由 Sn=an－×2n+1+, n=1,2,3，… , ① 得 a1=S1= a1－×4+ 所以a1=2.

333333412

再由①有 Sn－1=an－1－×2n+, n=2,3，4,…

333

41

将①和②相减得: an=Sn－Sn－1= (an－an－1)－×(2n+1－2n),n=2,3, …

33

整理得: an+2n=4(an－1+2n1),n=2,3, … , 因而数列{ an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数

－

列,即 : an+2n=4×4n1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n－2n, n=1,2,3, …,

－

4121

(Ⅱ)将an=4n－2n代入①得 Sn= ×(4n－2n)－×2n+1 + = ×(2n+1－1)(2n+1－2)

33332

= ×(2n+1－1)(2n－1)

3

2n32n311 Tn= = ×n+1 = ×(n － n+1) nSn2 (2－1)(2－1)22－12－1

所以,

i1n3

Ti= 2

(i1n113113 － i+1) = ×(1 － i+1) <

22－122－12－12－1

i