数学・解题指南 巧用数量积的几何意题 湖北阳新县高级中学（４３５２００）刘斌 湖北师范学院数学系（４３５００２） 梅堂凡 平面向量在高考的考查中往往以运算功能出现，其 中数量积为重点的题型居多，若在计算过程中多多考虑 其数量积的几何意义，可达到意想不到的效果．同时培 养学生的转化思想和数形结合能力．这里以数量积的问 题为例，供同学们参考． 【例１１ （摘自江西金太阳 重组卷）如图１，在△ＡＢｃ中，ＡＢ ／ ｌ＼ 一６，ＡＣ：４，ＡＤ是ＢＣ边上的 Ｄ ｃ 高，Ａ石・Ａ 一４，则 Ｃ一 阐， ● 一解法一：常见思路——线性分解 分析：向量 解成 ＋ ， ・．． ． ： ．（ ＋ ）一 ＋ ． ＝＝＝ 一４，．．．ＡＤ＝２． 故 ｃ一詈． 勰法二：常见思路——数量积公式 分析： ． ＝＝＝Ｉ ｌ・｛ Ｉ・ｃｏｓ ＤＡｃ— ＡＤ・ＡＣ・ ＝ＡＤ２＝４．．・．ＡＤ＝２． 故 ｃ一等． 解法三：数量积的几何意义与数形结合思想 分析：ＡＤ为向量 上的投影， ・．．－Ａ５． 一ＡＤ２－－－４ ．ＡＤ＝２． 故 ｃ一詈． 【例２１ （２０１１年上海理科）如图２，在正三角形 ＡＢＣ中，Ｄ是ＢＣ上的点，ＡＢ＝３，ＢＤ＝１，则 ・ 一 解法一：常见思路——线性分解 ￣ｔｄｉ：：如例１的解法一，将向量 Ａ 分成 亩＋ ． ・．．蕊． 一 ．（蕊＋西）一 ＋ ．面：９—３×１×ｃｏｓ６Ｏ。一 曰Ｄ Ｃ 。一旦一 ２ ２。 图２ 解法二：常见思路——余弦定理与 数量积公式 分析：先求ＡＤ和ｃｏｓ ＢＡＤ，再用数量积公式． ＡＤ。＝＝：ＡＢ ＋ＢＤ 一２・ＡＢ・ＢＤ・ｃｏｓ ＡＢＤ＝￣ＡＤ 一 ． ４８ 中学教学参考２０１４年９月 总第２０６期 ｌ 又ｃ。ｓ ＢＡＤ一 ｃｏｓＺＢＡＤ＝ １４‘ ・． 一．． ｝ 【．！ 【．ｃｏ ｚ￣ＢＡＤ一百１５． 解法三：几何意义的运用 分析：向量 在向量 上的投影是ＡＢ线段离Ｂ 点较近的六分点上 ・ ・蕊一ＡＢ 一萼． 【例３１（２０１１年济宁嘉祥高三模 Ｄ 拟）如图３，ＢＣ是单位圆Ａ的一条直 径，Ｆ是线段ＡＢ上的点，且碲一 Ｂ Ｃ ２ ，若ＤＥ是圆Ａ中绕圆心Ａ运动 的一条直径，则商・蔬的值是 ． 解法一：常见思路——线性分解 图３ 分析：如例１的解法一，将向量商分成 ＋ ， 砌成赢＋ ・．．商．商一（ ＋ ）（ ＋ ）一 。＋ （ ＋ ）＋ ． 一～ ８． 解法二：常见思路——余弦定理与数量积公式 分析：如例２的解法二，不妨设ＤＦ上ＢＣ，求ＦＥ和 ｃｏｓ ＤＦＥ，再用数量积公式． ・．‘Ｄ —ＡＩ７一ＡＥ２—１一告一鲁 ＤＦ＝＝＝ ， ｃｏｓ 一一ｓ 一 一 ， ・． ｃｏｓ Ｆ雎一 一学． 又ｃｏｓ ＤＦＥ一 ｃｏｓ￣ＤＦＥ＝ 迮 ３’ ・．．商・蘸一｝商１．Ｉ诱１．ｃｏｓ／ＤＦＥ＝一 ． 解法三：数量积的几何意义 分析：不妨设ＤＦ＿ＬＢＣ，一ＦＤ是向量宠在商上的 投影． ・．．商・商一一ＦＤ２：一［１一（号）。］一一— ８． 通过上述例题的讲解，同学们应该能初步掌握数量 积的运算的几何意义． （责任编辑钟伟芳）
