均值定理练习

第一部分 集合与逻辑---—--—均值定理

1．如果a＞0，则a

25≥ 。10 a2．如果x0,y0,xy3，则xy的最大值是 .

9 43．如果x0，则2x2

6的最小值是 。43 2x4．如果x>0，则y＝2－x－错误!的最大值为 。-6

解析 ∵x>0，∴y＝2－（x＋错误!)≤2－2错误!＝－6,当且仅当x＝4时成立． 答案 －6

5．已知0x

525,函数yx(52x)的最大值是 。 286．设0〈aA.错误! B．b C．2ab D．a＋b 1. 解析 a＋b>2ab,且 a＋b〉错误!＝错误!

∴b－（a＋b）＝b－b－a＝b(1－b）－a＝ab－a＝a(b－a） 0〈aa＋b 答案 B

7．下列各式中最小值是2的是

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

（ B ）．

（ D ）．

A。＋错误! B.错误! C．xxy1x－x D．2＋2 x解析 A中当x，y同号且非零时，最小值为2，x,y异号时，错误!＋错误!〈0,B中错误!＝错误!＋错误!，但错误!＝错误!无解，故取不到最小值2.C中当tan x<0时不成立．

答案 D

8.在下列各函数中,最小值等于2的函数是（ )

A．y＝x＋错误! B．y＝cosx＋错误!错误! C．y＝错误! ［答案］ D

［解析] x〈0时,y＝x＋错误!≤－2,故A错；∵0〈x〈错误!,∴0〈cosx〈1，∴y＝cosx＋错误!≥2中等号不成立，故B错;∵错误!≥错误!,∴y＝错误!＋错误!≥2中等号也取不到，故C错,∴选D。

D．y＝e＋错误!－2

x均值定理练习

若实数满足ab2，则3a3b的最小值是 。6

9。已知t>0，则函数y＝错误!的最小值为________． [答案] －2

[解析］ y＝错误!＝t＋错误!－4因为t〉0，y＝t＋错误!－4≥2错误!－4＝－2。 等号在t＝错误!，即t＝1时成立．

10.已知x>0,y〉0,lg2＋lg8＝lg2，则xy的最大值是________．

［答案］ 错误!

［解析］ ∵lg2＋lg8＝lg2，∴2·8＝2，即2

2

xyxyxyx＋3y＝2，∴x＋3y＝1,∴xy＝错误!x·(3y)≤错误!·错误!

＝错误!，等号在x＝3y，即x＝错误!，y＝错误!时成立．

11．已知a、b∈(0,＋∞）且a＋b＝1。那么下列不等式：

11

①ab≤；②ab＋≥错误!;③错误!＋错误!≤错误!；④错误!＋错误!≥2错误!.其中正确的序号是_________

4ab解析 1＝a＋b≥2ab；∴ab≤错误!，①对．

设ab＝t，则0y≥错误!＋错误!＝错误!，②对．

∵(错误!＋错误!)－（错误!）＝a＋b＋2错误!－2＝2错误!－1≤2·错误!－1＝0。 ∴错误!＋错误!≤错误!,③对．

∵a＋b＝1，∴错误!＋错误!＝(错误!＋错误!)(a＋b）＝1＋错误!＋错误!＋错误!≥错误!＋2错误!＝错误!＋错误!≠2错误!，

故④错． 答案 ①②③

已知x,yR，且x4y1，则xy的最大值为_____ 【答案】

2

2

1 1611x4y211x4y(),当且仅当x=4y=时取等号. 442162

【解析】 xy

12．已知正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为 .

解析 ab＝a＋b＋3≥2错误!＋3，即（错误!）－2错误!－3≥0， ∴(错误!＋1）（错误!－3)≥0，∵错误!＋1〉0，∴错误!≥3.即ab≥9. 答案 ［9,＋∞)

2

不等式--—-—基本不等式

均值定理练习

1．设a,bR,且ab3,则2a2b的最小值是 B

A．6 B．42 C．22 D．26 2．下列不等式中恒成立的是A

14x24A． 2 B．x2 C．2 D．23x2

xxx22x253．下列结论正确的是B

A．当x0且x1时，lgx

C．当x2时,xx22112 B．当x0时，x2 lgxx11的最小值为2 D．当0x2时,x无最大值 xx1a4．(xy)()9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为B

xyA．2 B．4 C．6 D．8

1a解析 不等式(xy)()9对任意正实数x，y恒成立,

xy则1ayax≥a2a1≥9，∴ a≥2或a≤－4（舍去)， xy所以正实数a的最小值为4,选B．

5．已知a0,b0，则A．2

B．22 112ab的最小值是C ab

C．4

D．5

解析 因为

1111112ab22ab2(ab)4当且仅当，且 ，即ab时，取“=”号。

abababab6．下列函数中最小值是4的是C

44 A．yx B．ysinx C．y21x21x D．yx2213,x0

xsinxx1117．设a0,b0.若3是3a与3b的等比中项，则的最小值为D

ab1 A． 8 B．4 C． D．1

48．若直线2axby20(a0,b0)过圆x2y22x4y10的圆心，则ab的最大值是A

A．

11 B． C．1 D．2 429．点(m,n)在直线xy1位于第一象限内的图象上运动，则log2mlog2n的最大值是____________. —2

均值定理练习

10．函数ylog3(x15)(x1)的最小值是_____________。 3 x1y211．已知x,y,zR，x2y3z0，则的最小值 .3

xz12．已知a0,b0，且ab1，则下列不等式①ab④

1117；②ab；③

4ab4ab2；

1122。其中正确的序号是________________。①②④③ a2b13．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅,每米

长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元。 （1）设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，求函数yf(x)的解析式； （2）为使仓库总面积S达到最大，正面铁栅长x应为多少米? ．解：（1）因铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则顶部面积为Sxy

依题设，40x245y20xy3200，则y故f(x)3204x(0x80)，

2x93204x(0x80)

2x9320x4x2（2)Sxy(0x80)

2x9令t2x9,则x1(t9),t9 2160(t9)(t9)21699178(t)17821699100 则Stt当且仅当t39，即x15时，等号成立

所以当铁栅的长是15米时，仓库总面积S达到最大，最大值是100m2 解法二：

依题设，40x245y20xy3200，Sxy由基本不等式得

3200240x90y20xy120xy20xy120S20S，

S6S1600,即(S10)(S6)0,故S10,从而S100

所以S的最大允许值是100平方米，

取得此最大值的条件是40x90y且xy100，求得x15，即铁栅的长是15米。

14．周长为12的矩形围成圆柱（无底），当圆柱的体积最大时,圆柱的底面周长与圆柱的高的比为多少？

解:设矩形长为x,宽为y，成圆柱的底面半径r，休积为V

则有xy6，x2r，rx，y6x 2均值定理练习

x212)yx(6x),其中0x6 241xx168则V(6x)()3

223x当且仅当6x,即x4时，等号成立.这时y2

2则Vr2y(2r:yx:y2:1,即圆柱的底面周长与圆柱的高的比为2:1