数学课程标准与修订大纲知识点

一、数与式

1．数与式 （1）有理数

①理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小。负数..

②借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不包括字母）。倒数。

③理解乘方的意义,掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）。 ④理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。 ⑤能运用有理数的运算解决简单的问题。

⑥能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断。 （2）实数

①了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。

②了解开方与乘方互为方根逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根。

③了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应。 ④能用有理数估计一个无理数的大致范围。

⑤了解近似数与有效数字的概念；在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值。

⑥了解二次根式的概念及加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）。最简二次根式，同类二次根式，积与商的方根的运算性质，字母二次根式的讨论和运算。

（3）代数式

①在现实情景中进一步理解用字母表示数的意义。 ②能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示。 ③能理解一些简单代数式的实际背景或几何意义。

④会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算。

（4）整式与分式

①了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学计数法表示数（包括在计算器上表示）。 ②了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）。单项式，多项式，合并同类项，去括号与添括号。整式除法运算。

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③会推导乘法公式：（a＋b）（a－b）= a2－b2;（a＋b）2 = a2＋2ab＋b2,了解公式的几何背景，并能进行简单的计算。

④会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）分组分解法，进行因式分解（指数是正整数）。

⑤了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算。最简分式，分式的乘方。

2．方程与不等式 （1）方程与方程组

①能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 ②经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程。

③会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）。消元法，三元一次方程组，增根。

④理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。二次三项式的因式分解，二元二次方程组的解法，换元法，一元二次方程根的判别式、根与系数的关系。

⑤根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。 （2）不等式与不等式组

①能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。

②会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集。

③能够根据具体问题中的大小关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的实际问题。

3．函数

（1）探索具体问题中的数量关系和变化规律。 （2）函数

①通过简单的实例，了解常量、变量的意义。

②能结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能列出函数的实例。 ③能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。

④能确定简单的整式、分式、二次根式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求出函数值。

⑤能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系。 ⑥结合函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测。 （3）一次函数

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①结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数表达式。

②会画一次函数的图象，根据一次函数的图象和解析表达式y = kx＋b（k≠0）探索并理解其性质（k>0或k<0时，图象的变化情况）。

③理解正比例函数。

④能根据一次函数的图象求二元一次组的近似解。 ⑤能用一次函数解决实际问题。待定系数法。 （4）反比例函数

①结合具体情境体会反比例函数的意义，根据已知条件确定反比例函数表达式。

k②会画反比例函数的图象，根据图象和解析表达式 k0探索并理解其性质（k>0或yxk<0时，图象的变化）。

③能用反比例函数解决某些实际问题。 （5）二次函数

①通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式。并体会二次函数的意义。 ②会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质。

③会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并解决简单的实际问题。

④会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

二、空间与图形

在本学段中，学生将探索基本图形（直线形、圆）的基本性质及其相互关系，进一步丰富对空间图形的认识和感受，学习平移、旋转。对称的基本性质，欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用，学习运用坐标系确定物体位置的方法，发展空间观念。

推理与论证的学习从以下几个方面展开：在探索图形性质、与他人合作交流等活动过程中，发展合情推理，进一步学习有条理的思考与表达；在积累了一定的活动经验与图形性质的基础上，从几个基本的事实出发，证明一些有关三角形、四边形的基本性质，从而体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想。

在教学中，应注重所学内容与现实生活的联系，注重使学生经历观察、操作、推理、想像等探索过程；应注重对证明本身的理解，而不追求证明的数量和技巧。证明的要求控制在（标准）所规定的范围内。

具体目标 1．图形的认识 （1）点、线、面

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通过丰富的实例，进一步认识点、线、面（如交通图上用点表示城市，屏幕上的画面是由点组成的）。

（2）角

①通过丰富的实例，进一步认识角。

②会比较角的大小，能估计一个角的大小，会计算角度的和与差，识别度分、秒，会进行简单换算。

③了解角平分线及其性质[1]。 （3）相交线与平行线

①了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角的相等、对顶角相等。 ②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。

③知道过一点有且仅有一条直线垂直平已知直线。会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。

④了解线段垂直平分线及其性质[ 2 ]。

⑤知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质。

⑥知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线；

⑦体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。 （4）三角形

①了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线和高．了解三角形的稳定性。三角形两边之和大于第三边。

②探索并掌握三角形中位线的性质。梯形中位线的性质。 ③了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件。

④了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质[ 3 ]和一个三角形是等腰三角形的条件[ 4 ]；了解等边三角形的概念并探索其性质。

⑤了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质[ 5]和一个三角形是直角三角形的条件[ 6 ]。

⑥体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。

（5）四边形

①探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念。

②掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。

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③探索并掌握手行四边形的有关性质[ 7 ]和四边形是平行四边形的条件[ 8 ]。

④探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质[ 9]和四边形是矩形、菱形、正方形的条件[ 10 ]。 ⑤探索并了解等腰梯形的有关性质[ 11 ]和四边形是等腰梯形的条件[ 12 ]。直角梯形。 ⑥探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及物理意义（如一报均匀木棒、一块均匀的矩形木板的重心）。

⑦通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。

（6）圆

①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、弦心距、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系。垂径定理。两圆连心线的性质，两圆公切线。

②探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。圆周角定理。 ③了解三角形的内心和外心。

④了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线。相切在作图中的作用，弦切角定理，切线长定理，切割线定理，相交弦定理。

⑤会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积。正多边形的有关计算，等分圆周。 （7）尺规作图

①完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线。过一点作已知直线的垂线。

②利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知边底及边底上的高作等腰三角形。已知一条直角边及斜边作三角形。

③探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。作三角形的内切圆，作两条线段的比例中项。

④了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）。 （8）视图与投影

①会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图），会判断简单物体的三视图．能根据三视图描述基本几何体或实物原型。

②了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。

③了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系；通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）。

④观察与现实生活有关的图片（如照片、简单的模型图、平面图、地图等），了解并欣赏一些有趣的图形（如雪花曲线、莫比乌斯带）。

⑤通过背景丰富的实例，知道物体的阴影是怎样形成的，并能根据光线的方向辨认实物的阴影（如

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在阳光或灯火下，观察手的阴影或人的身影）。

⑥了解视点、视角及盲区的涵义，并能在简单的平面图和立体图中表示。 ⑦通过实例了解中心投影和平行投影。 2．图形与变换 （1）图形的轴对称

①通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质。

②能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴。

③探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相关性质。

④欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计。

（2）图形的平移

①通过具体实例认识平移，探索它的基本性质，理解对应点连线平行且相等的性质。 ②能按要求作出简单平面图形平移后的图形。

③利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用。 （3）图形的旋转

①通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。

②了解平行四边形、圆是中心对称图形。中心对称的概念和性质。 ③能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。 ④欣赏旋转在现实生活中的应用。

⑤探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）。 ⑥灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。 （4）图形的相似

①了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。合比的性质，等比的性质。

②通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。

③了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。 ④了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。

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⑤通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度）。

⑥通过实例认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA，cotA），知道30°，45°，60°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角。

⑦运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。 3．图形与坐标

（1）认识并能画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。

（2）能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。 （3）在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化。 （4）灵活运用不同的方式确定物体的位置。 4．图形与证明 （1）了解证明的含义 ①理解证明的必要性。

②通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件（题设）和结论。 ③结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。

④通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的。 ⑤通过实例，体会反证法的含义。

⑥掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据。 （2）掌握以下基本事实，作为证明的依据 ①一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。

②两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行。

③若两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别相等，则这两个三角形全等。 ④全等三角形的对应边、对应角分别相等。 （3）利用（2）中的基本事实证明下列命题（※）。

①平行线的性质定理（内错角相等、同旁内角互补）和判定定理 （内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行）。

②三角形的内角和定理及推论（三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角）。

③直角三角形全等的判定定理。

④角平分线性质定理及逆定理；三角形的三条角平分线交于一点（内心）。

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⑤垂直平分线性质定理及逆定理；三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）。 ⑥三角形中位线定理。

⑦等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理。 ⑧平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。

（4）通过对欧几里得《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值。 [1]角平分线上的点到角的两边距离相等，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 [2] 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

[3] 等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线三线合一。 [4] 有两个角相等的三角形是等腰三角形。

[5] 直角三角形的两锐角互余，斜边上的中线等于斜边一半。 [6] 有两个角互余的三角形是直角三角形。 [7] 平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。

[8] 一组对边平行且相等，或两组对边分别相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形。 [9] 矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分。 [10] 三个角是直角的四边形，或对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形，或对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

[11] 等腰梯形同一底上的两底角均相等，两条对角线相等。 [12] 同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形。

※ 练习和考试中与证明有关的题目难度，应与所列命题的论证难度相当。

三、统计与概率

在本学段中，学生将体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步学习描述数据的方法，进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率。

在教学中，应注重所学内容与日常生活、自然、社会和科学技术领域的联系，使学生体会统计与概率对制订决策的的重要作用；应注重使学生从事数据处理的全过程，根据统计结果作出合理的判断；应注重使学生在具体情境中体会概率的意义；应加强统计与概率之间的联系；应避免将这部分内容的学习变成数字运算的练习，对有关术语不要求进行严格表述。

具体目标

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1．统计

（1）从事收集、整理、描述和分析数据的活动，能用计算器处理较为复杂的统计数据。 （2）通过丰富的实例，感受抽样的必要性，能指出总体、个体、样本，体会不同的抽样可能得到不同的结果。

（3）会用扇形统计图表示数据。

（4）在具体情境中理解并会计算加权平均数；根据具体问题，能选择合适的统计量表示数据的集中程度。

（5）探索如何表示一组数据的离散程度，会计算极差和方差，并会用它们表示数据的离散程度。 （6）通过实例，理解频数、频率的概念，了解频数分布的意义和作用，会列频数分布表，画频数分布直方图和频数折线图，并能解决简单实际问题。

（7）通过实例，体会用样本估计总体的思想，能用样本的平均数、方差来估计总体的的平均数和方差。

（8）根据统计结果做出合理的判断和预测，提会统计对决策的作用，能比较清晰的表达自己的观点，并进行交流。

（9）能根据问题查找有关资料，获得数据信息；能对生活中的某些数据发表自己的看法。 （10）认识到统计在社会生活及科学领域中的应用，并能解决一些简单的实际问题。 2．概率

（1）在巨大情境中了解概率的意义,运用列举法(包括列表、画树状图)计算简单事件发生的概率。 （2）通过实践，获得事件发生的概率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值。 （3）通过实例，进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题。

初中数学知识要点归纳

请仔细理解并牢固掌握，可能会提高你10～20分的成绩。

一、 数与式

1、 科学计数法：N＝a10（1a10，n为整数） 例：3540000＝3.5410;-0.000128=-1.2810 2、 负指数幂：an64n1112112n 例：32;91 a93329213、 是无理数。例：(3.14)3.14 二、 方程与方程组：

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4、最简方程axb：

（1） 当a0时，有唯一解：xb a（2） 当a0,b0时，无解 （3） 当a0,b0时，有无数解。

例：当m2,n3，方程(m2)x3n有无数解。

5、解不等式要注意符号的变化：

例：

3x63x9（符号改变） （符号不变）

x2x326、一元二次方程：axbxc0

b24ac0（1）方程有两个实数根

a00（2）方程有两根同号

cx1•x20a

（3）方程有两根异号 0x1•x207、二次三项式的因式分解：

ax2bxca(xx1)(xx2)，其中x1,x2为方程ax2bxc0的根。

8、黄金分割：

若P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则AP51AB0.618AB， 2BP35APBPAB,且2ABAP51 210

9、换元法： （1） 倒数关系：

x2333x233x32，可设y例：，则原方程化为y

xy2xx3246 xyxy34a6b311,b 可设a，则原方程组化为 xyxy919ba11xyxy（2） 平方关系：

例：x21112y3y100 ，可设，则原方程化为：3(x)8yx2xxx2x2x52x2x6,可设y三、 函数

2x2x，则原方程化为：y25y60

10、点P(x,y)关于x轴的对称点是Px(x,y)，关于y轴的对称点是Py(x,y)；关于原点的对称点是PO(x,y)

11，两点A(x1,y1),B(x2,y2)距离：AB(x1x2)2(y1y2)2

在x轴上两点：ABx1x2 在y轴上两点：ABy1y2 12、一次函数ykxb(k0)，b叫截距，b可以为任何数。 例：y2(x1)5＝2x3的截距是3 13、二次函数：

（1） 一般式：

b24acb2yaxbxca(x)2a4a2对称轴是

b4acb2b（－,) x,顶点是2a4a2a

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（2） 顶点式：ya(xm)k的对称轴是xm,顶点是（－m,k)

（3） 交点式：ya(xx1)(xx2)，其中（x1,0），（x2,0）是抛物线与x轴的交点 四、 统计初步：

14、中位数：将一组数据按照从小到大依次排列，处在最中间的一个数据（或中间两个数据的平均数）

2___1222215、方差：S(x1x)(x2x)(xnx)

n16、频率＝

频数频数，总数＝，频数＝总数×频率 总数频率所有的频率之和等于1，即所有的小长方形的面积之和等于1。

五、 三角形四边形

17、三角形的四心： 名称 外心 作法 三边垂直平分线的交点 性质 到三角形的三个顶点距离相等 特殊情况 直角三角形中 Rc 2内心 三内角平分线的交点 到三角形三边距离相等 直角三角形中 rabc；21(abc)rSABC 2重心

三边中线的交点 12

与顶点的距离等于它 与对边中点距离的2倍 垂心 三边高或延长线交点 18、既是中心对称图形又是轴对称图形的是有：线段、矩形、菱形、正方形、圆

平行四边形只是中心对称图形，等腰梯形只是轴对称图形.

19、面积：S11 ah,S矩＝ab,S正＝a2,S平＝ah,S菱＝d1•d2(d是对角线）221nr22 S梯＝（ab)h,S圆＝r,S扇＝

2360六、 相似形

20、比例尺：例在1：60000的地图上，地图上5厘米的长度表示实际距离是：

5×60000＝300000厘米＝3千米

21、平行线分线段成比例：

上上上上下下＝，＝，＝ 下下全全全全22、相似三角形对应线段（周长）的比等于相似比。 相似三角形的面积比等于相似比的平方。

A K G B D K H F C AKGF例：AGF～ABC AHBC七、锐角比：

23、特殊角三角比：

锐角 E sin cos tg ctg 13

30° 1 22 23 23 23 31 3 45° 2 21 60° 1 23 3 3A h C B E O 24、坡比（度）: h itg1:m L八、圆 25、垂径定理：

L D 例：如图所示：一弓形弦长AB=16,半径为10，

求弓形的高。（注意有两解）

26、两圆外离dRr两圆有4条公切线

两圆内含0dRr两圆无公切线 两圆外切dRr两圆有3条公切线

两圆内切dRr两圆有1条公切线 两圆相交RrdRr两圆有2条公切线

27、正多边形的中心角＝

360 例：一个正多边形的中心角是15°，则这个多边形是（36015n＝24）边形。

28、两圆的外公切线长＝d(Rr) 两圆的内公切线长＝d(Rr)

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2222A C C B 29、切点三角形：ABC是直角三角形。 30、多边形的内角和＝(n2)180

正多边形的内角＝

(n2)180

n例：正15边形的内角＝（15－2）×180°15=156°

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