一元二次不等式及其解法精品教案

 3.2一元二次不等式及其解法 邵武一中 黄婉芬 教学目标 （1）正确理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，从而掌握图象法解一元二次不等式，并能解决一些有关不等式的简单问题。 （2）通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想，从特殊到一般的思维方式。培养学生观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力。 教学重点：一元二次不等式解法。 教学难点：“三个二次”的关系。数形结合，分类转化等数学思想的理解和运用。 教学过程 一、 复习引入 一元一次不等式：只含有一个未知数,并且未知数最高次数为1的不等式. 由学生给出一元二次不等式定义：只含有一个未知数,并且未知数最高次数为2的不等式. 点出课题：一元二次不等式及其解法. 回顾一元一次不等式的解法 代数法：用不等式的基本性质求出解集 图像法：利用一次函数y=3x-15的图像求解 图像在x轴上方，表示3x-15>0 图像在x轴下方，表示3x-15<0 问题1：类比一元一次不等式的解法，能否也用图像法数形结合解一元二次不等式？ 二、 探究新知 （1） 特殊的一元二次不等式 2xx60画出 2yxx6的图像 分析图像：当x2或x3时，y0即x2x60当x2或x3时，图像在x轴上方，此时y0即x2x60.当2x3时，图像在x轴下方，此时y0即x2x60x2x60解集x|x2或x3xx60解集x|2x32 我们知道一元二次方程的根就是其相应二次函数的零点，即二次函数图像与x轴交点的横坐标，利用二次函数图像可以求出一元二次不等式的解集，即图像在x轴上方或下方时，x的取值范围。 问题2：上述方法可以推广到一般的一元二次不等式吗？ 学生自主完成书本77页表格。 一元二次不等式的一般形式为ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0,其中a≠0,我们这里只研究a>0的情况，若a<0时，只需在不等式的两边同乘以-1，把二次项系数变为正便可。由于判别式分三种情况，则二次函数图像与x轴交点情况也分三种。 a0 0 0 0 二次函数 yax2bxc的图象 一元二次方程 ax2bxc0的根 有两实根 有两相等 的实根 x1x2 {x|xx1,或xx2} {x|x1xx2} bxx1x2 2a{x|xb }2a无实根 一元二次不等式 ax2bxc0的解集 R 不等式 axbxc0的解集 2Φ Φ 结论：通过一元二次方程及二次函数图像数形结合解一元二次不等式。 三、例题讲解 例1.解下列一元二次不等式： (1)x22x30 (2)2x2x3 解：（1）=80 方程x22x3无实根 而二次函数yx22x3的图像为 原不等式的解集为 （2）原不等式可化为2x2x303250方程2x2x30两根为或1 2而二次函数y2x2x3的图像为原不等式的解集为x|x1或x例题小结 解一元二次不等式的步骤： 1.化一般式：将不等式化成一般形式（等式右边为0且a0）； 2计算判别式的值； 3.求根：若判别式的值为正或零，则求出相应方程的两根； 4.画出相应二次函数的简图，通过图像写解集，注意结果要写成集合或者区间的形式. 练习巩固 求下列不等式的解集 (1)xx2 32(2)x22x1解：（）原不等式化为1x2x010,方程x2x0的根为0和1由二次函数yx2x的图像得原不等式的解集为x|0x1.(2)原不等式化为x2x20-40,方程x22x20无实根由二次函数yx22x2的图像得原不等式的解集为R.例2.不等式ax2bx20的解集是x|x1或x2,求a,b的值2 分析：1和2为方程ax2bx20的两根且a0.b12=-aa1 解：法一：由题意得b1122aab20a1 法二：由题意得4a2b20b1小结：一元二次不等式解集的两个端点就是一元二次方程的根. 变式：已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为（1,2） 试求关于x的不等式cxbxa0的解集.解：由题意得1,2为方程ax2bxc0的两根且a0b12=b3aacx2bxa0即2ax23axa0c2a12caa0不等式两边同时除以a得2x23x+101=1>0由二次函数y=2x23x+1图像得cx2bxa0解集为x|x12例3.解关于x的不等式x2ax2a20aR. 解：a28a20原不等式化为x2axa0对应的方程x2ax2a20的根为x12a,x2a2 1当a0时，原不等式化为x20,无解2当a0时，x1x2,不等式的解集为x|ax2a3当a0时，x1x2,不等式的解集为x|2axa综上所述当a0时，原不等式解集为当a0时，原不等式的解集为x|ax2a当a0时，原不等式的解集为x|2axa 四、课堂小结 本节课学习了求解一元二次不等式，以及三个二次的联系，由此可以解决简单的有关不等式问题. 五、课后作业 课本80页习题3.2 A组第1、2、3、4题 练习册55页题型一、二，56页随堂巩固