2021年重庆市中考数学试卷和答案(b卷)

2021年重庆市中考数学试卷（B卷）

一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑 1．（4分）3的相反数是（ ） A．3

B．

C．﹣3

D．﹣

2．（4分）不等式x＞5的解集在数轴上表示正确的是（ ） A．C．

B．D．

3．（4分）计算x4÷x结果正确的是（ ） A．x4

B．x3

C．x2

D．x

4．（4分）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD（0，1），D（0，3），则△OAB与△OCD的相似比是（ ）

A．2：1

B．1：2

C．3：1

D．1：3

5．（4分）如图，AB是⊙O的直径，AC，若∠A＝20°，则∠B的

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度数为（ ）

A．70°

B．90°

C．40°

D．60°

6．（4分）下列计算中，正确的是（ ） A．53

﹣2

＝21 D．

÷

＝3

B．2+

＝2

C．

×

＝

7．（4分）小明从家出发沿笔直的公路去图书馆，在图书馆阅读书报后按原路回到家．如图，反映了小明离家的距离y（单位：km）（单位：h）之间的对应关系．下列描述错误的是（ ）

A．小明家距图书馆3km

B．小明在图书馆阅读时间为2h

C．小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4h D．小明去图书馆的速度比回家时的速度快

8．（4分）如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，不能证明△ABC和△DCB全等的是（ ）

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A．∠ABC＝∠DCB

D．∠A＝∠D

B．AB＝DC C．AC＝DB

9．（4分）如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，点M，N分别在AB和CD边上，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为（ ）

A．60°

B．65°

C．75°

D．80°

10．（4分）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比），坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°（ ）

（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.；tan50°≈1.19）

A．69.2米

B．73.1米

C．80.0米

D．85.7米

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11．（4分）关于x的分式方程+1＝的解为正数有

解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ） A．﹣5

B．﹣4

C．﹣3

D．﹣2

12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，边BC交于点E，F，连接EF，△AEF的面积为1，则k的值为（ ）

A．

B．

C．2

D．3

二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上 13．（4分）计算：

﹣（π﹣1）0＝ ．

14．（4分）不透明袋子中装有黑球1个、白球2个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球，记下颜色 ． 15．（4分）方程2（x﹣3）＝6的解是 ．

16．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，分别以点A，B，C，D为圆心，，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面

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积为 ．（结果保留π）

17．（4分）如图，△ABC中，点D为边BC的中点，将△ADC沿直线AD翻折至△ABC所在平面内，得△ADC′，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若AE＝BE，则AD的长为 ．

18．（4分）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和） 元．

三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅

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助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 19．（10分）计算：

（1）a（2a+3b）+（a﹣b）2； （2）

÷（x+

）．

20．（10分）2021年是中国党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下： 抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）：

6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10．

七八年级教师竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数

8.5 a 8

8.5 9 b 55%

优秀率 45%

根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝ ，b＝ ；

（2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；

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（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．

21．（10分）如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）

22．（10分）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，请按要求完成下列各小题． x y

… …

﹣2 ﹣1 6

5

0 4

1 a

2 2

3 1

4 b

5 7

… …

（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值： m＝ ，a＝ ，b＝ ；

（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质： ； （3）已知函数y＝解集．

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的图象如图所示，结合你所画的函数图象的

23．（10分）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面）（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．

（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？ （2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变a%．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加

a%．求a的值．

24．（10分）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四

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位数m为“共生数”．例如：m＝3507（5+0），所以3507是“共生数”；m＝4135（1+3），所以4135不是“共生数”． （1）判断5313，37是否为“共生数”？并说明理由； （2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时（n）＝．求满足F（n）各数位上的数字之和是偶数的所有n．

25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式；

（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，PD，求△PAD面积的最大值．

（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射线AD平移4

个单位1，点E为点P的对应点，点F为y1的对称轴

上任意一点，在y1上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．

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四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.

26．（8分）在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点

（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG． ①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，求线段DG的长；

②如图2，点E不与点A，B重合，连接EH，求证：BE+BH＝

；

（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，且DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，连接FP，当NP+，直接写出△DPN的面积．

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答案与卡片

一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑 1．参：3的相反数是﹣3， 故选：C．

2．参：不等式x＞5的解集在数轴上表示为：5右边的部分，不包括6， 故选：A．

3．参：原式＝x4﹣1＝x2， 故选：B．

4．参：∵B（0，1），6）， ∴OB＝1，OD＝3，

∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD， ∴△OAB与△OCD的相似比是OB：OD＝2：3， 故选：D．

5．参：∵AB是⊙O的直径， ∴∠C＝90°， ∵∠A＝20°，

∴∠B＝90°﹣∠A＝70°， 故选：A．

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6．参：A．5B．8与C．D．

×÷

﹣2，此选项计算错误；

，不能合并； ＝＝

×

×＝

＝3

；

，此选项计算错误；

故选：C．

7．参：由图象知： A．小明家距图书馆3km；

B．小明在图书馆阅读时间为3﹣2＝2小时； C．小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4h；

D．因为小明去图书馆需要3小时，所以小明去图书馆的速度比回家时的速度快，符合题意． 故选：D．

8．参：在△ABC和△DCB中， ∵∠ACB＝∠DBC，BC＝BC，

A：当∠ABC＝∠DCB时，△ABC≌△DCB（ASA）， 故A能证明；

B：当AB＝DC时，不能证明两三角形全等， 故B不能证明；

C：当AC＝DB时，△ABC≌△DCB（SAS）， 故C能证明；

D：当∠A＝∠D时，△ABC≌△DCB（AAS）， 故D能证明；

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故选：B．

9．参：在Rt△PMN中，∠MPN＝90°， ∵O为MN的中点， ∴OP＝

，

∵∠PMN＝30°， ∴∠MPO＝30°， ∴∠DPM＝150°， 在四边形ADPM中，

∵∠A＝90°，∠ADB＝45°，

∴∠AMP＝360°﹣∠A﹣∠ADB﹣∠DPM ＝360°﹣90°﹣45°﹣150° ＝75°． 故选：C．

10．参：∵斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.8， ∴DE：CE＝5：12， ∵DE＝50， ∴CE＝120， ∵BC＝150，

∴BE＝150﹣120＝30， ∴AB＝tan50°×30+50 ≈85.7（米）． 故选：D．

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11．参：关于x的分式方程∵关于x的分式方程∴a+3＞0． ∴a＞﹣4． ∵关于x的分式方程∴

．

+1＝+1＝

+2＝，

．

，

∴a≠﹣3．

解关于y的一元一次不等式组

．

∵关于y的一元一次不等式组∴a﹣2＜0． ∴a＜3．

综上，﹣4＜a＜2且a≠﹣7． ∵a为整数，

∴a＝﹣3或﹣2或6或1．

∴满足条件的整数a的值之和是：﹣3﹣2+0+1＝﹣8． 故选：B．

12．参：设A（a，0）， ∵矩形ABCD， ∴D（a，），

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得：

有解，

∵矩形ABCD，E为AC的中点， 则E也为BD的中点， ∵点B在x轴上， ∴E的纵坐标为∴

，

，

∵E为AC的中点， ∴点C（3a，）， ∴点F（7a，

），

∵△AEF的面积为1，AE＝EC， ∴S△ACF＝4， ∴

解得：k＝3． 故选：D．

二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上 13．参：原式＝3﹣1＝5． 故答案为：2． 14．参：列表如下 黑 白

黑

（黑，黑） （黑，白）

白

（白，黑） （白，白）

白

（白，黑） （白，白）

，

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白 （黑，白） （白，白） （白，白）

由表可知，共有9种等可能结果，

所以前后两次摸出的球都是白球的概率为， 故答案为：．

15．参：方程两边同除以2得： x﹣3＝2．

移项，合并同类项得： x＝6．

故答案为：x＝6．

16．参：在菱形ABCD中，有：AC＝12． ∴

．

∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB＝360°． ∴四个扇形的面积，是一个以．

∴图中阴影部分的面积＝×12×16﹣π×57＝96﹣25π． 故答案为：96﹣25π． 17．参：由题意可得， △DCA≌△DC′A，OC＝OC′， ∴点O为CC′的中点， ∵点D为BC的中点， ∴OD是△BCC′的中位线， ∴OD＝BC′，

∴∠COD＝∠EC′B＝90°，

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∵AE＝BE，BC′＝6， ∴OD＝1，

在△EC′B和△EOA中，

，

∴△EC′B≌△EOA（AAS）， ∴BC′＝AO， ∴AO＝2，

∴AD＝AO+OD＝3+1＝3， 故答案为：2．

18．参：∵蓝牙耳机、多接口优盘，A盒中有2个蓝牙耳机，1个迷你音箱，8个多接口优盘； ∴B盒中蓝牙耳机、多接口优盘，

∵B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2， ∴B盒中有多接口优盘10×＝5（个）设蓝牙耳机、多接口优盘，b元， 由题知：

，

＝4（个），

∵①×5﹣②得：a+b＝45， ②×2﹣①×3得：b+c＝55，

∴C盒的成本为：a+8b+2c＝（a+b）+（2b+2c）＝45+55×2＝155（元），

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故答案为：155．

三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 19．参：（1）原式＝2a2+2ab+a2﹣2ab+b8 ＝3a2+ab+b7； （2）原式＝＝＝＝

．

֥

÷（

+

）

20．参：（1）∵七年级教师的竞赛成绩：6，7，3，8，8，7，8，8，2，8，8，6，9，9，5，10，10，10． ∴中位数a＝8．

根据扇形统计图可知D类是最多的，故b＝9． 故答案为：5；9．

（2）该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数估计为＝

＝102（人）．

（3）根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：45%．故八年级的教师学习党史的竞赛成绩谁更优异． 21．参：如图：

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猜想：DF＝3BF．

证明：∵四边形ABCD为平行四边形． ∴OA＝OC，OD＝OB． ∵AC＝2AB． ∴AO＝AB．

∵∠BAC的角平分线与BC交于点E． ∴BF＝FO． ∴DF＝6BF．

22．参：（1）当x＝0时，|6|+m＝7， 解得：m＝﹣2，

即函数解析式为：y＝x+|﹣2x+3|﹣2， 当x＝1时，a＝4+|﹣2+6|﹣7＝3， 当x＝4时，b＝5+|﹣2×4+7|﹣2＝4， 故答案为：﹣5，3，4；

（2）图象如右图，根据图象可知当x＝8时函数有最小值y＝1； （3）根据当y＝x+|﹣2x+6|﹣2的函数图象在函数y＝方时

成立，

的图象上

∴x＜0或x＞6．

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23．参：（1）设每份“堂食”小面的价格为x元，每份“生食”小面的价格为y元， 根据题意得：解得：

，

，

答：每份“堂食”小面的价格为6元，每份“生食”小面的价格为5元；

（2）由题意得：4500×7+2500（2+a%）×5（1﹣设a%＝m，则方程可化为：9×4+25（1+375m2﹣30m＝0， m（25m﹣5）＝0， 解得：m1＝7（舍），m2＝∴a＝2．

24．参：（1）∵5+3＝8×（3+1）， ∴5313是”共生数“，

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a%），

，

m）＝（6×7+25）（1+

，

∵2+7≠2×（7+4）， ∴37不是“共生数”；

（2）∵n是“共生数”，根据题意，

设n的千位上的数字为a，则十位上的数字为2a， 设n的百位上的数字为b， ∵个位和百位都是7﹣9的数字， ∴个位上的数字为9﹣b，且7﹣b＞b， ∴0≤b≤4

∴n＝1000a+100b+20a+2﹣b； ∴F（n）＝

由于n是“共生数”， ∴a+9﹣b＝2×（7a+b）， 即a+b＝3， 可能的情况有：

，

∴n的值为1227或2148或3069， 各位数和为偶数的有2148和3069， ∴n的值是2148或3069．

25．参：（1）将A（﹣1，0），6）代入y＝ax2+bx﹣4得

，

∴

，

＝340a+33b+2，

∴y＝x2﹣3x﹣4，

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（2）当x＝0时，y＝﹣4， ∴点C（6，﹣4），

∵点D与点C关于直线l对称， ∴D（3，﹣8）， ∵A（﹣1，0），

∴直线AD的函数关系式为：y＝﹣x﹣7， 设P（m，m2﹣3m﹣3）， 作PE∥y轴交直线AD于E， ∴E（m，﹣m﹣1），

∴PE＝﹣m﹣1﹣（m6﹣3m﹣4） ＝﹣m7+2m+3， ∴S△APD＝当m＝﹣

＝4（﹣m2+2m+8）＝﹣2m2+7m+6， ＝1时，S△APD最大为＝7，

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（3）∴直线AD与x轴正方向夹角为45°， ∴沿AD方向平移∵P（1，﹣6）， ∴E（3，﹣10），

抛物线y＝x2﹣3x﹣5平移后y1＝x2﹣11x+20， ∴抛物线y8的对称轴为：直线x＝当DE为平行四边形的边时：

若D平移到对称轴上F点，则G的横坐标为代入y3＝x2﹣11x+20得y＝﹣∴

，

，

，

，

，实际可看成向右平移5个单位，

若E平移到对称轴上F点，则G的横坐标为， 代入y1＝x2﹣11x+20得y＝∴

，

，

若DE为平行四边形的对角线时，

若E平移到对称轴上F点，则G平移到D点， ∴G的横坐标为，

代入y2＝x2﹣11x+20得y＝﹣， ∴

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∴G（

）或G（

），

四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.

26．参：（1）①过D作DH⊥GC于H，如图：

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∵线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，点E与点B重合，

∴BG＝BF，∠FBG＝60°， ∴△BGF是等边三角形，

∴∠BFG＝∠DFC＝60°，BF＝GF， ∵等边△ABC，AB＝6，

∴∠DCF＝180°﹣∠BDC﹣∠DFC＝30°，∠DBC＝，CD＝AB＝3，

∴∠BCG＝∠ACB﹣∠DCF＝30°， ∴∠BCG＝∠DBC， ∴BF＝CF， ∴GF＝CF， Rt△BDC中，CF＝∴GF＝2

，

，

＝

，

Rt△CDH中，DH＝CD•sin30°＝∴FH＝CF﹣CH＝∴GH＝GF+FH＝Rt△GHD中，DG＝

， ，

＝

；

②过E作EP⊥AB交BD于P，过H作MH⊥BC交BD于M，作BP中点N，如图：

第25页（共50页）

∵EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG， ∴△EGF是等边三角形，

∴∠EFG＝∠EGF＝∠GEF＝60°，∠EFH＝120°，∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°，

∴∠ABC+∠EFH＝180°， ∴B、E、F、H共圆， ∴∠FBH＝∠FEH，

而△ABC是等边三角形，BD⊥AC，

∴∠DBC＝∠ABD＝30°，即∠FBH＝30°， ∴∠FEH＝30°，

∴∠FHE＝180°﹣∠EFH﹣∠FEH＝30°， ∴EF＝HF＝GF①， ∵EP⊥AB，∠ABD＝30°， ∴∠EPB＝60°，∠EPF＝120°， ∴∠EPF+∠EGF＝180°， ∴E、P、F、G共圆，

第26页（共50页）

∴∠GPF＝∠GEF＝60°， ∵MH⊥BC，∠DBC＝30°， ∴∠BMH＝60°， ∴∠BMH＝∠GPF②， 而∠GFP＝∠HFM③，

由①②③得△GFP≌△HFM（AAS）， ∴PF＝FM，

∵EP⊥AB，BP中点N， ∴EP＝BP＝BN＝NP， ∴PF+NP＝FM+BN， ∴NF＝BM，

Rt△MHB中，MH＝， ∴NF＝MH，

∴NF+BN＝MH+EP，即BF＝MH+EP， Rt△BEP中，EP＝BE•tan30°＝， Rt△MHB中，MH＝BH•tan30°＝，

∴BF＝

BE+

， ∴BE+BH＝

BF；

（2）以M为顶点，MP为一边，ML交BD于G，设于K

第27页（共50页）

MP交BD

Rt△PMH中，HP＝，

∴NP+MP最小即是NP+HP最小、P、H共线， ∵将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，

∴F在射线QF上运动，则P在射线MP上运动，F为主动点，E为定点，则F， ∴∠BKM＝60°， ∵∠ABD＝30°， ∴∠BMK＝90°， ∵∠PML＝30°， ∴∠BML＝60°， ∴∠BML＝∠A， ∴ML∥AC，

∴∠HNA＝180°﹣∠PHM＝90°， 而BD⊥AC，

∴∠BDC＝∠HNA＝∠PHM＝90°， ∴四边形GHND是矩形，

第28页（共50页）

∴DN＝GH，

∵边△ABC中，AB＝6， ∴CD＝6， 又DN＝2NC， ∴DN＝GH＝2，

∵等边△ABC中，AB＝3，点M为BE中点， ∴BM＝，BD＝AB•sinA＝4×sin60°＝3Rt△BGM中，MG＝∴MH＝MG+GH＝

，

，

，BG＝BM•cos30°＝，GD＝BD﹣BG＝

，

，

Rt△MHP中，HP＝MH•tan30°＝∴PN＝HN﹣HP＝GD﹣HP＝∴S△DPN＝PN•DN＝

．

，

第29页（共50页）

考点卡片

1．相反数

（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． （2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．

（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．

（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号． 2．实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”

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1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．

2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．

3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 3．列代数式

（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．

（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入

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公式，这就要求正确进行代换．

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题

1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量． 2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．

3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．

4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式． 4．同底数幂的除法

同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数；

②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；

③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 5．单项式乘多项式

（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：

①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．

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6．完全平方公式

（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．

（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．

（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 7．因式分解的应用

1、利用因式分解解决求值问题． 2、利用因式分解解决证明问题． 3、利用因式分解简化计算问题．

【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用

1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．

2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． 8．分式的混合运算

（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算

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顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题

1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．

2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．

3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 9．零指数幂

零指数幂：a0＝1（a≠0）

由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0） 注意：00≠1．

10．二次根式的混合运算

（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：

①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．

②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次

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根式的和可以看作“多项式“．

（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．

（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 11．解一元一次方程

（1）解一元一次方程的一般步骤：

去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．

（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．

（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 12．二元一次方程组的应用

（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：

（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程

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组． （4）求解．

（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元．

当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 13．三元一次方程组的应用

在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础．

（2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 14．一元二次方程的应用

1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题：

（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形

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的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．

（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．

【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”

1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解．

5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 15．分式方程的解

求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．

注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．

16．在数轴上表示不等式的解集

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用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：

一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；

二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法

某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 17．解一元一次不等式

根据不等式的性质解一元一次不等式

基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．

以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．

注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 18．解一元一次不等式组

（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．

（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求

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出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．

方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．

解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

19．坐标与图形性质

1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．

2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 20．函数的图象 函数的图象定义

对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．

注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③

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判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 21．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义

在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．

在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 22．反比例函数图象上点的坐标特征

反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 23．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题

（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．

（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝中的交点个数可总结为：

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在同一直角坐标系

①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝直角坐标系中有2个交点；

②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝直角坐标系中有0个交点． 24．二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题

在同一

在同一

解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．

（3）二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．

25．全等三角形的判定

（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角

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形全等．

（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．

（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．

（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．

方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．

26．直角三角形斜边上的中线

（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）

（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 27．勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2

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＝c2．

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝c＝

．

，b＝

及

（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 28．平行四边形的性质

（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．

（2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等．

③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积：

①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 29．菱形的性质

（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． （2）菱形的性质

①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等；

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③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （3）菱形的面积计算

①利用平行四边形的面积公式．

②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） 30．矩形的性质

（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 31．正方形的性质

（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一

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组对角；

③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 32．圆周角定理

（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．

（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．

（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．

33．扇形面积的计算

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（1）圆面积公式：S＝πr2

（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．

（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝

πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）

（4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法．

（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．

34．作图—基本作图 基本作图有：

（1）作一条线段等于已知线段．

（2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线．

35．翻折变换（折叠问题）

1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．

2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

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3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．

首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 36．几何变换综合题 几何变换综合题． 37．位似变换

（1）位似图形的定义：

如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 38．解直角三角形的应用-坡度坡角问题

（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它

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是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．

（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．

（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．

应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 39．解直角三角形的应用-仰角俯角问题

（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．

（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 40．用样本估计总体

用样本估计总体是统计的基本思想． 1、用样本的频率分布估计总体分布：

从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．

2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位

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数、平均数、标准差与方差 ）．

一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 41．中位数 （1）中位数：

将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．

如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．

（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势． 42．众数

（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．

（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．

（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．

43．列表法与树状图法

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（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．

（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．

（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．

（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．

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