第７卷第１期 铁道科学与工程学报 Ｖｏ１．７ ＮＯ．１ ２０１０年２月 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＲＡＩＬＷＡＹ ＳＣＩＥＮＣＥ ＡＮＤ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ Ｆｅｂ．２０１０ 基于Ｍａｔｌａｂ的连续梁桥动力响应分析 李长松 ，黄方林 （１．中铁五局机械化工程有限责任公司，湖南衡阳４２１００２； ２．中南大学土木建筑学院，湖南长沙４１００７５） 摘要：利用插值振型函数法来获得多跨连续梁的振型函数。建立连续梁桥振动方程，利用有限元分析软件Ａｎｓｙｓ对连续 梁进行模态分析并将连续梁成千上万个自由度的有限元模型重构成数个自由度的动力学模型，且保持二者前几阶振型一 致。基于Ｍａｔｌａｂ数学分析软件模拟连续梁振型函数，利用ＯＤＥ系列函数的二次开发函数来求解连续梁桥振动方程。计算 表明本文方法可行、有效，具有较高的精度。 关键词：Ｍａｔｌａｂ；连续梁；插值振型函数；模态分析 中图分类号：Ｕ４４８．２１ ５ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７２—７０２９（２０１０）０１—００１６—０５ Ｄｙｎａｍｉｃ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｂｅａｍ ｂｒｉｄｇｅ ｂａｓｅｄ ｏｆｆ ＭＡＴＬＡＢ ＬＩ Ｃｈａｎｇ．ｓｏｎｇ。，ＨＵＡＮＧ Ｆａｎｇ—ｌｉｎ （１．Ｍｅｃｈａｎｉｚａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｌｉｍｉｔｅｄ Ｃｏｍｐａｎｙ ｏｆ Ｃｈｉｎａ Ｒａｉｌｗａｙ ５ｔｈ Ｂｕｒｅａｕ Ｇｒｏｕｐ，Ｈｅｎｇｙａｎｇ ４２１００２，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｃｉｖｉｌ ａｎｄ Ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｃｅｎｔｒａｌ Ｓｏｕｔｈ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ ４１００７５，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｏｒ ａ ｍｕｈｉ—ｓｐａｎ ｂｅａｍ．ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｍｏｄｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｂｙ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｆｕｎｃ— ｔｉｏｎ ｗａｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｔｈｅ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｂｅａｍ ｓｙｓｔｅｍ ｗｅｒｅ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅ－ ｍｅｎｔ ｓｏｆｔｗａｒｅ Ａｎｓｙｓ，ｔｈｅ ｍｏｄａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｂｅａｍ ｗａｓ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ａ ｌａｒｇｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｆｒｅｅｄｏｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｂｅａｍ ｗｅｒｅ ｇｒｅａｔｌｙ ｒｅｄｕｃｅｄ ａｎｄ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｗｉｔｈ ｓｅｖｅｒａｌ ｆｒｅｅｄｏｍｓ， ａｎｄ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｆｅｗ ｍｏｄｅｓ ａｒｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ．Ｔｈｅ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｍｏｄｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｂｅａｍ ｗｅｒｅ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ｂｙ Ｕ． ｓｉｎｇ Ｍａｔｌａｂ ｐｌａｔｆｏｒｍ．Ｔｈｅ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｂｅａｍ ｓｙｓｔｅｍ ｗｅｒｅ ｓｏｌｖｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ—ｄｅｖｅｌ— ｏｐｅｄ ＯＤＥ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｓ ｆｅａｓｉｂｌｅ ａｎｄ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ， ａｎｄ ｈａｓ ｈｉｇｈｅｒ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｍａｔｌａｂ；ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｂｅａｍ；ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｎｇ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｍｏｄｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｍｏｄｅ ａｎａｌｙｓｉｓ 桥梁在移动荷载作用下的动力响应及机理研 确定。多跨连续梁的振型函数还没有统一的解析 究一直是结构动力学的前沿课题。在过去的１００ 表达，不同的研究从不同的假设出发确定桥梁的振 多年里，国内外学者对桥梁在移动荷载作用下的车 型函数，从而实现问题的求解 』。本文将连续梁 桥振动问题进行了大量的研究，移动力作用下的桥 桥简化为二维的平面梁单元模型，建立结构有限元 梁振动问题有了比较成熟的结果…。近年来，随 模型，并利用有限元分析软件Ａｎｓｙｓ对连续梁进行 着越来越多的高速铁路的修建，列车与桥梁的动力 模态分析；然后，用插值振型函数法对Ａｎｓｙｓ系统 相互作用问题日益受到重视。高速列车以不同运 模态分析结果进行三次样条插值得到连续梁桥的 行速度通过简支梁桥和连续梁桥的振动问题已得 前ｎ阶模态。这些模态不仅满足梁两端的零挠度 到广泛关注 ｊ。连续梁在移动荷载作用下车桥 边界条件，而且满足梁中间支撑点处的零挠度条 振动分析中的主要问题之一在于桥梁振型函数的 件，能真实反映连续梁的各阶振型，并在此基础上 收稿日期：２００９～０６—０２ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（５０６７５２３０） 作者简介：李长松（１９７７一），男，湖南泪罗人，工程师，从事桥梁施工研究及管理工作 第１期 李长松，等：基于Ｍａｔｌａｂ的连续梁桥动力响应分析 １７ 对移动荷载作用下桥梁的振动响应进行求解，给出 了等截面连续梁在不同速度移动荷载作用下的数 数，为 的厂义坐标。这样，梁的振动速度和曲翠口Ｊ 以表达为： 值结果。 １ 理论分析 １．１振动方程 由拉格朗日方程推导出连续梁振动平衡方程， 利用有限元分析软件Ａｎｓｙｓ的模态分析功能对连 续梁进行模态分析，获得桥梁系统的各阶振型离 散数值结果，然后用Ｍａｔｌａｂ数学分析软件模拟连 续梁振型函数。 如图１所示，受到Ⅳ个移动荷载作用的连续线 弹性欧拉一贝努利梁，中间有（Ｑ—１）个支撑点。荷 载｛Ｐ ，ｓ＝１，２，…，Ⅳ｝作为一个整体，以一个已知 的速度 （ｔ）沿梁的轴线方向从左往右运动。荷载 的位置用｛ ．（ｔ），ｓ＝１，２，…，／ｖ｝来表示。Ｙ（ ，ｔ） 为桥梁的挠度， 为桥梁的动能， 为桥梁的弯曲 势能， 为外力所作的功，忽略阻尼。 图１ 多个移动荷载作用下的连续梁 Ｆｉｇ．１ Ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｂｅａｍ ｕｎｄｅｒ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｍｏｖｉｎｇ ｌｏａｄｓ ＝ ㈤【 ㈩ １Ｌ ＝ （２） 。＝∑Ｐ，ｙ［ｘ （￡），ｆ］［“（ｆ— ）一ｕ（ｔ一 ２）］ （３） 其中：ｐ为梁的材料密度；Ｅ为梁的材料的杨氏模 量； （ ）为梁的横截面面积；，（ ）为梁横截面的惯 性矩；７－ 为荷载Ｐ 进入梁的时间；丁 为荷载Ｐ 离开 梁的时间。Ｉｔ（ｔ）是单位阶跃函数，它的定义如下： ，＝ ㈩ 根据分离变量法，梁的挠度ｙ（ｘ，ｔ）可以表示 为如下形式： ｙ（ｘ，￡）：∑ｑｉＸ （５） 式中：置（ｉ＝１，２，…，ｎ）为满足边界条件的假设模 态。而ｑ （ｉ＝１，２，…，ｎ）为仅与时间ｔ有关的函 Ｏｔ ： … （６）、 ｉ＝ １：∑ｎ ９ 置 （７） Ｏｘ 将式（６）和（７）代入式（１）～（３），可以得到： 寺 Ｊ。 （ ）ｑｉＸｉｑｊＸｊ （８） 寺 ￣ｆｌＥＩ（ ）ｑ 置 驰（９） ＝∑∑Ｐ ｑ Ｘ Ｉｘ （￡）］［“（￡一 丁 ）一ｕ（ｔ一７． ）］ （１０） 梁的拉格朗日函数为Ｚ＝一Ｖ一一Ｕ，欧拉一拉格朗日 方程式为： ｄ（ｏＬ３一（ ）＝ ＯＷ ＝ｌ畹，，２，…，州１） 将式（８）～（１０）代入式（１１），可以得到： ｎ ｎ Ｎ ∑ｍ ＋∑ ＝２∑ＰｓＸ ［Ｘ＇ｐｓ（￡）］ ［ｕ（ｔ一丁 ）一 （ｔ一丁 ）］ｉ＝１，２，…，ｎ （１２） 式中：ｍ ｆ＝ｆＪ ０ ｐＡ（ ） ｄｘ，为总体质量矩阵第ｉ行 Ｌ ．． ．． 第 列元素；Ｊｊ｝ ＝ｆ ０ Ｅ，（ ）Ｘ ｆｄｘ，为总体刚度矩 阵第ｉ行第 列元素。 一旦确定了连续梁的振型函数Ｘ （ ），就可以 通过高斯积分法得出总体质量矩阵和总体刚度矩 阵，然后由式（１２）得出广义坐标，从而得到全梁的 挠度Ｙ（ ，ｔ）。 ‘ １．２ 振型函数 结构模态分析是用分析或试验的方法求结构 的动力特性，它包括结构的固有频率、模态振型、模 态阻尼比及其他模态参数（包括模态刚度、模态质 量等）。在工程实际中复杂结构众多，要得到比较 理想的结构分析结果，其力学模型的自由度可达几 万、几十万个，这时，必须应用计算机，借助于数值 方法来求解。 利用Ａｎｓｙｓ＿６ 的模态分析功能，对连续梁进行 模态分析，可获得桥梁系统的各阶振型。由这种模 态分析所得的数据是系统离散后各节点处的，而不 是以函数形式来表示的，故还不能直接应用于求 解总体质量矩阵和总体刚度矩阵。为此，需根据数 值计算方法，通过对已有的离散数据插值，求得相 应的插值函数。 １８ 铁道科学与工程学报 ２０１０年２月 但由总体刚度矩阵的各元素ｋ 可知，从已有 离散数据不单要求出桥梁的振型函数，同时还要 求得振型函数的二阶导数，这样对振型函数的光滑 性要求就比较高。 在离散数据基础上补插连续函数，使得这条连 续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函 数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点 处的取值状况，估算出函数在其他点处近似值。插 值的方法很多，例如拉格朗日插值、埃尔米特插值、 三次样条插值等 ≈Ｊ。 拉格朗日插值是一种普遍的应用比较插值方 法，它要求在插值节点上，插值函数和原函数的值 相等。 与拉格朗日插值相比，Ｈｅｒｍｉｔｅ插值是一种更 为高级的插值方式，它不仅要求在插值节点上，插 值函数和原函数相等，而且要求在节点上的导数也 相等。 由于使用高阶多项式的插值往往会产生病态 的结果，因此，有必要找出消除这种病态的方法。目 前有很多种方法，在这些方法中，三次样条插值是 最常用的一种。在三次样条中，要寻找三次多项式， 以逼近每对数据点间的曲线，故通过限定每个三次 多项式的一阶和二阶导数，使其在断点处相等，就 可以确定所有内部三次多项式。 Ｍａｔｌａｂ是功能较强的工程数学工具软件，其 中的样条工具箱提供了大量有关样条函数的操作 函数。例如：ｅｓａｐｉ插值生成三次样条函数；ｃｓａｐｅ生 成给定约束条件下的三次样条函数；ｃｓａｐｓ平滑生 成三次样条函数；ｃｓｃｖｎ生成一条内插参数的三次 样条曲线等。所以，可以利用Ｍａｔｌａｂ来生成三次样 条函数。 ２ 算例分析 本文采用文献［９］中的计算模型。如图２所示三 跨连续梁，为等截面、质量均匀分布的Ｅｕｌｅｒ— Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁，密度为Ｐ＝２．４×１０ ｋｒｄｍ ，弹性模量 为Ｅ＝３．０×１０ ＭＰａ，截面高为１．３ ｍ，宽为０．５ ｍ， 移动荷载Ｐ＝１００ ｋＮ以恒定速度 通过桥梁，模型 为三跨连续梁桥，不能直接由理论得出其振型函数， 利用有限元分析软件Ａｎｓｙｓ求解出其各阶振型。 求前十几阶模态，子空间迭代法和Ｌａｎｃｚｏｓ法 所得到的特征向量精度都符合要求¨ ，故在Ａｎｓｙｓ 中选择其中之一的子空问迭代法。使用子空间迭代 方法进行特征值分析时，当求得的相对频率ｌ（ ．＋ 一 ） ＋ ｌ不满足收敛要求时，迭代将终止。如果 经过最大迭代次数的计算后，相对频率仍不满足收 敛要求时，不再计算另外的频率。用先前求得的自 振频率进行后面的分析。 由Ａｎｓｙｓ进行模态分析得出振型数据是离散 的，不能直接应用于方程求二阶导数，故还需要借 助于Ｍａｔｌａｂ，根据数值计算方法，对离散数据进行 插值，求得相应的插值函数。 Ｐ ｌ８ ｝ ２４ ｌ ｌ８ 图２ 移动荷栽作用下的三跨连续梁（１８ ｍ＋２４ ｍ＋１８ Ｉｎ） Ｆｉｇ．２ Ｔｈｒｅｅ ｓｐａｎ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｂｅａｍ ｕｎｄｅｒ ｍｏｖｉｎｇ ｌｏａｄ（１８ ｍ＋２４ ｍ ４－１８ ｍ） 函数ｃｓａｐｅ（）的功能是构造各种边界条件下 的三次插值样条函数，它的格式是ＰＰ＝ｃｓａｐｅ（ ， Ｙ，ｃｏｎｄｓ）。（ ，Ｙ）是插值点的序列，ＰＰ为指定 ｃｏｎｄｓ条件下以（ ，Ｙ）为插值点所返回的ＰＰ形式 的三次样条函数。ｃｏｎｄｓ是字符串类型，为边界条 件，其第一个字符与字符串“ｃｏｍｐｌｅｔｅ或ｃｌａｍｐｅｄ， ｎｏｔ—ａ—ｋｎｏｔ，ｐｅｒｉｏｄｉｃ，ｓｅｃｏｎｄ和ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ”相对 应。Ｃ表示给定端点的斜率，ｎ表示两个端点存在三 阶连续导数，Ｐ表示给定周期特性， 表示给定端点 的二阶导数为零，Ｓ表示给定端点的二阶导数， Ｖａｌｃｏｎｄｓ指的是端点边界条件的参数值。 函数ｆｎｄｅｒ（）的功能是对样条函数进行微分， 它的格式是ｆｐｒｉｍｅ＝ｆｎｄｅｒ（．厂，ｄｏｒｄｅｒ）。函数返回 样条函数厂的第ｄｏｒｄｅｒ阶微分，当ｄｏｒｄｅｒ为负数时， 函数返回以ｄｏｒｄｅｒ的绝对值为阶次的样条函数厂的 不定积分。 综合Ｍｉｄａｓ模态分析功能和Ｍａｔｌａｂ数据处理 能力，就可以实现连续梁系统振型函数以及其二阶 导数函数的确定。 为了使得插值所得的振型函数能满足中间支 撑约束点的边界条件，建立模型时在该处布置节 点。将计算结果导入Ｍａｔｌａｂ中，并做三次插值样条 函数的求解，确定系统的运动方程以及进行求解。 应用插值振型法可求得插值振型函数曲线及其二 阶导数曲线如图３所示，其中桥梁的第一阶振型 是正对称的，第二阶振型为反对称的，根据振型 函数的特点知，该数据结果比较理想。 第１期 李长松，等：基于Ｍａｔｌａｂ的连续梁桥动力响应分析 １９ ８０ ４０ 第一阶０ －４０ 第二阶一蓁一６０ ＿ ＿＿＿＿ ｛ （ａ）第一阶；（ｂ）第二阶 图３ 连续梁前二阶振型曲线及其二阶导数曲线 Ｆｉｇ．３ Ｆｉｒｓｔ ｔｗｏ ｏｒｄｅｒ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｃｕｒｖｅｓ ｏｆ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｂｅａｍ ａｎｄ ｓｅｃｏｎｄ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｃｕｒｖｅｓ 荷载移动速度ｖ＝－４０ ｋｍ／ｈ 荷载移动速度一６０ ｋｍ／ｈ 暑 ｝ ０ １０ ２０ ３０ ４０ ５０ ６０ 茼＿载作用化置／ｍｍ 茼戟作用位 ／ｍｍ 荷载移动速度一８０ ｋｍ／ｈ 倚载移动速度 －－ｌ２０ ｋｍ／ｈ 衙载作用位置／ｍｍ 图４ 连续梁在移动荷载作用下跨中挠度的动态响应 Ｆｉｇ．４ Ｄｙｎａｍｉｃ ｒｅｓｐｏｎｓｅｓ ｏｆ ｍｉｄ—ｓｐａｎ ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｂｅａｍ ｕｎｄｅｒ ｍｏｖｉｎｇ ｌｏａｄ 图４给出了应用插值振型函数法求解连续梁 根据对不同速度移动荷载情况的比较分析可 在移动荷载不同速度作用下跨中挠度的动态响应。 知，最大位移动态响应位于桥梁中跨跨中位置。最 文献［９］中采用威尔逊一０直接积分法求解，本文 大位移动态响应发生在移动荷载通过桥梁跨中位 采用基于Ｍａｔｌａｂ语言的二次开发函数来求解。具 置前后。随着移动荷载速度的提高，动态响应的波 体对比结果如表１所示，可以看出：计算结果非常 动情况有所减缓，但波动幅值随速度的增大而增 接近，表明本文所得计算结果可行、有效，具有较好 大。这些总体规律与移动荷载作用下简支梁动态 的精度。 响应的基本规律一致。 表１ 本文所得挠度与文献中挠度对比 图５所示为不同荷载移动速度下梁跨中最大 Ｔａｂｌｅ １ Ｒｅｓｕｌｔ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｓ ｂｙ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ａｎｄ Ｒｅｆ．［９］ 位移曲线，速度从０ ｋｍ／ｈ开始递增到３５０ ｋｍ／ｈ。 由图５可以看出：中跨中最大挠度并不是简单地随 荷载移动速度的增加而增加，而是以振幅和周期都 逐渐增大的半正弦波形式增大；当车辆以某些特定 速度过桥时，桥梁跨中挠度相对较小，对桥梁的冲 ２０ 铁道科学与工程学报 ２０１０年２月 击作用较小。但在某些速度下（如表２所示），桥 梁跨中挠度达到极大值，车辆对桥梁的冲击作用较 大，应该对这些点进行监控。 星 鲁 世 留 岳 图５ 不同荷载移动速度下梁跨中最大挠度 Ｆｉｇ．５ Ｍｉｄ—ｓｐａｎ ｍａｘｉｍａｌ ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｂｅａｍ ｕｎｄｅｒ ｄｉｆｅｒｅｎｔ ｓｐｅｅｄｓ ｏｆ ｍｏｖｉｎｇ ｌｏａｄ 表２产生位移共振时车速与连续梁桥中跨中挠度 Ｔａｂｌｅ ２ Ｖｅｈｉｃｌｅ ｓｐｅｅｄ ｏｆ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ａｎｄ ｍｉｄ— ｓｐａｎ ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｍｉｄｓｐａｎ 速度／ 连续粱桥中 速度／ 连续梁桥中 （ｋｍ・ｈ ） 跨中挠度／ｍｍ （ｋｍ・ｈ ） 跨中挠度／ｍｍ ７ｌ １Ｏ．６ １２３ ｌ１．３ ８５ １０．７ １５８ ｌ１．６ ９４ ｌ０．９ ２３２ １２．８ ３结论 将连续梁桥简化为二维的平面梁单元模型，建 立其振动方程。利用有限元分析软件Ａｎｓｙｓ对连 续梁进行模态分析并将连续梁成千上万个自由度 的有限元模型重构成数个自由度的动力学模型，进 行模态分析，用Ｍａｔｌａｂ数学分析软件模拟连续梁 振型函数，结合基于ＯＤＥ系列函数的二次开发函 数来求解连续梁桥振动方程。通过对结果的分析， 得到了多跨连续梁在移动荷载作用下动力响应的 一些规律。且该方法可以应用于其他复杂结构巨 多自由度有限元模型的降阶，为求解大型复杂结构 动力响应提供一个简单有效的方法。同时，建立的 有效、低阶的动力学模型也为结构振动控制、损伤 识别、动力修改等研究提供了条件。 参考文献： ［１］Ｐｅｓｔｅｒｅｖ Ａ Ｖ，Ｂｅｒｇｍａｎ Ｌ Ａ．Ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｏｆ ａ ｎｏｎｃｏｎｓｅｒｖａ— ｔｉｖｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｓｙｓｔｅｍ ｔｏ ａ ｍｏｖｉｎｇ ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｅｄ ｌｏａｄ ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，１９９８，６５：４３６— ４４４． ［２］曾庆元，向俊，娄平．车桥及车轨时变系统横向振 动计算中的根本问题与列车脱轨能量随机分析理论 ［Ｊ］．中国铁道科学，２００２，２３（１）：１—１０． ＺＥＮＧ Ｑｉｎｇ—ｙｕａｎ，ＸＩＡＮＧ Ｊｕｎ，ＬＯＵ Ｐｉｎｇ．Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｒａｉｎ— ｂｒｉｄｇｅ ａｎｄ ｔｒａｉｎ——ｔｒａｃｋ ｔｉｍｅ—－ｖａｒｙｉｎｇ ｓｙｓｔｅｍ ａｎｄ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｅｎｅｒｇｙ ｒａｎｄｏｍ ｎａａｌｙｓｉｓ ｆｏｒ ｔｒａｉｎ ｄｅｒａｉｌｍｅｎｔ［Ｊ］．Ｃｈｉｎａ Ｒａｉｌｗａｙ Ｓｃｉｅｎｃｅ，２００２，２３（１）：１—１０． ［３］郭向荣，曾庆元．高速铁路多ｎ形预应力混凝土梁桥 动力特性及列车走行性分析［Ｊ］．铁道学报，２０００，２２ （１）：７２—７８． ＧＵＯ Ｘｉａｎｇ—ｒｎａｇ，ＺＥＮＧ Ｑｉｎｇ－ｙｕａｎ．Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｄｙｎａｍｉｃ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ＆ｔｒａｉｎ ｒｕｎｎｉｎｇ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｏｆ ｍｕｌｔｉ １７ ｔｙｐｅ ｐｒｅｓｔｒｅｓｓｅｄ ｃｏｎｃｒｅｔｅ ｂｒｉｄｇｅ ｆｏｒ ｈｉｇｈ ｓｐｅｅｄ ｒａｉｌｗａｙ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｔｈｅ Ｃｈｉｎａ Ｒａｉｌｗａｙ Ｓｏｃｉｅｔｙ，２０００，２２（１）：７２ —７８． ［４］曾庆元，向俊，娄平，等．列车脱轨的力学机理与 防止脱轨理论［Ｊ］．铁道科学与工程学报，２００４，ｌ （１）：２０—３１． ＺＥＮＧ Ｑｉｎｇ—ｙｕａｎ，ＸＩＡＮＧ Ｊｕｎ，ＬＯＵ Ｐｉｎｇ，ｅｔ ａ１．Ｍｅｅｈａｎ— ｉｃａｌ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ｏｆ ｄｅｒａｉｌｍｅｎｔ ａｎｄ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｄｅｒａｉｌｍｅｎｔ ｐｒｅｖｅｎｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｒａｉｌｗａｙ Ｓｃｉｅｎｃｅ ｎａｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒ－ ｉｎｇ，２００４，１（１）：２０—３１． ［５］Ｃｈａｔｔｅｒｊｅｅ Ｐ Ｋ，Ｄａｔｔａ Ｔ Ｋ，Ｓｕｒａｎａ Ｃ Ｓ．Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｎ－ ｔｉｎｕｏｕｓ ｂｒｉｄｇｅｓ ｕｎｄｅｒ ｍｏｖｉｎｇ ｖｅｈｉｃｌｅｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｕｎｄ＆Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，１９９４，１６９（５）：６１９—６３２． ［６］叶先磊，史亚杰．ＡＮＳＹＳ工程分析软件应用实例 ［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２００３：７６—８９． ＹＥ Ｘｉａｎ—ｌｅｉ，ＳＨＩ Ｙａ－ｊｉｅ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ｅｎｇｉ－ ｎｅｅｒｉｎｇ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｎ ａｎｓｙｓ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｔｓｉｎｇｈｕａ Ｕｎｉｖｅｒ－ ｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ．２００３：７６—８９． ［７］陈璞，孙树立，囊明武．有限元分析快速解法［Ｊ］． 力学学报，２００２，３４（２）：２１６—２４２． ＣＨＥＮ Ｐｕ，ＳＵＮ Ｓｈｕ－ｌｉ，ＹＵＡＮ Ｍｉｎｇ—ＷＵ．Ｆａｓｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ａｌ— ｇｏｒｉｔｈｍ ｉｎ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，２００２，３４（２）：２１６ —２４２． ［８］孙祥，徐流美，吴清．Ｍａｔｌａｂ７．０基础教程［Ｍ］．北 京：清华大学出版社，２００５：３６１—３７３． ＳＵＮ Ｘｉａｎｇ，ＸＵ Ｌｉｕ—ｍｅｉ，ｗｕ Ｑｉｎｇ．Ｂａｓｉｃ ＣＯＵｒＳｅ ｏｎ Ｍａｔｌａｂ７．０［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｔｓｉｎｇｈｕａ ＵｎｉｖｅＳｒｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ， ２００５：３６１—３７３． ［９］Ｏｌｓｓｏｎ Ｍ．Ｏｎ ｔｈｅ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎａｌ ｍｏｖｉｎｇ ｌｏａｄ ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＳｏｕｎｄ＆Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，１９９１，１４５（２）：２９９—３０７． ［１Ｏ］宫玉才，周洪伟，陈璞，等．快速子空间迭代法、迭代 Ｒｉｔｚ向量法与迭代Ｌａｎｃｚｏｓ法的比较［Ｊ］．振动工程学 报，２００５，１８（２）：２２７—２３２． ＧＯＮＧ Ｙｕ・ｃａｉ，ＺＨＯＵ Ｈａｎｇ—ｗｅｉ，ＣＨＥＮ Ｐｕ，ｅｔ ａ１． Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｓｕｂｓｐａｃｅ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ，ｉｔｅｒａｔｉｖｅ Ｒｉｔｚ ｖｅｃｔｏｒ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ Ｌａｎｃｚｏｓ ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｖｉ． ｂｒａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００５，１８（２）：２２７—２３２．
