数列的通项公式的求法(理)(教师版)

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教 师: 阶 段: 教学课题: 教学目标: 郭鹏 (高) 二 学生: 基础（√） 提高（） 强化（ ） 1． 会根据数列前n项写出一个通项公式 上课时间 2012年 月 日 课时计划 共 次课 第 次课 数列的通项公式的求法 2．了解递推公式的意义，会根据递推公式写出数列的前几项 重点：通项公式和前n项和公式及运用 教学重难点： 难点：对公式理解和掌握对性质的运用，求通项的方法的运用，以及思想方法的运用，是本章的难点. 教 学 过 程 ※课前热身 1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式为 ( C ) A．ann2(n1) B．ann21 C．ann(n1)n(n1) D．an 222.在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55，中，x的值为（ Ｄ ） A．10 B．11 C．12 D．13 3．数列an的通项公式为 an3n228n,则数列各项中最小项是( B ) A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 4．已知数列an是递增数列，其通项公式为ann2n,则实数的取值范围是(3,) 5．数列an的前n项和Snn24n1,，则an22n5n1 n2※典例精析 题型一： 由数列前几项求数列的通项公式（本题型主要考查学生的观察能力，找出数列中的项与其序号之间的对应关系） 【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式 （1）1，3，5，7， ； （2）2，5，10，17，； （3）246810，，，，，； 315356399115132961，，，，，，； 2481632（4）7，77，777，7777，； （5）（6）0，1，0，1，； （7）1，3，3，5，5，7，7，9，9…； （8）1，2，2，4，3，8，4，16，5，. 点拨：求数列的通项公式实际上是寻找数列的第n项与序号n之间的联系纽带.联想与转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法，观察归纳是由特殊到一般的有效手段，本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项. All Rights Reserved Guo Peng 1 / 18

1对1个性化辅导 题型二： 利用递推关系求数列的通项 （Ⅰ）形如“an1anfn”的递推公式 解法：把原递推公式转化为an1anf(n)，利用累加法(逐差相加法)求解. 即由递推关系可得： a2a1f1；a3a2f2；；anan1fn1. 将上述各式等号两边分别相加得: ana1f1f2fn1. 【例2】根据下列各个数列an的首项和递推关系，求其通项公式 （1）a1 解析：（1）因为an1an1,2an1an114n21 4n21111所以a2a1() 213111a3a2() 235111a4a3() 257„，„， ，所以，an1an14n21111() 22n12n1anan1111() 22n32n111(1) 22n1以上(n1)个式相加得 ： ana1即：an114n3 4n24n2【变式2】在数列an中，a12，an1anln11 ，则an（ ） n A. 2ln B. 2n1lnn C. 2nlnn D. 1nlnn All Rights Reserved Guo Peng 2 / 18

1对1个性化辅导 【变式3】（2010 课标全国）设数列an满足a12，an1an322n1. （1）求数列an的通项公式；（2）令bnnan，求数列bn的前n项和Sn. 【变式4】已知数列an满足a111，an1an2，求an. 2nn 【变式5】已知数列an中，a12,an1an2n,nN，求an.  【变式6】: 已知数列{an}中a11，且a2ka2k11,a2k1a2k3k,其中k=1,2,3,……. （I）求a3、a5；（II）求an 的通项公式. k All Rights Reserved Guo Peng 3 / 18

1对1个性化辅导 （Ⅱ）形如“an1anfn”的递推公式 解法：把原递推公式转化为an1f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解. an即由递推公式可得： a2a1f1；a3a2f2；；anan1fn1. 以上各式等号两边分别相乘得: ana1f1f2f3fn1. 【例3】已知数列an满足a1 2nan，求an. ，an13n1【变式1】： 已知a13，an1 3n1an (n1)，求an. 3n2【变式2】已知数列an，满足a11，ana12a23a3(n1)an1n2，则an的通项n11 an___n2 【变式3】：a11, All Rights Reserved Guo Peng 4 / 18

an0,(n1)an1nananan10. 22 1对1个性化辅导 （Ⅲ）（待定系数法）形如“an1panq”的递推公式，可以采用构造法、换元法求得通项公式. 即由已知的递推公式得：an1tp(ant)，其中tq.再利用换元法转化为等比数列求解. 1p【例4】已知数列an中，a11，an12an1(n2),求an. 解法一： an12an1，  an112an1 设bnan1，则数列bn是公比为2的等比数列，因此，bnb1qn1.  an1a11qn12n  an2n1 解法二： an12an1nN  an22an11 相减，得，an2an12an1an. 即：an1an是以a2a12为首项，以2为公比的等比数列，于是，an1an2n. 把an12an1代入上式，得：an2n1nN 解法三： an12an1nN  an2an11 2an122an22 22an223an322  2n2a22n1a12n2 将上列各式相加，得：an2n1a112222n22n1 解法四：由an12an1 ， an2an1122an21122an221222an312123an32221 2n1a12n22n322212n12n22221112n122n1 All Rights Reserved Guo Peng 5 / 18

1对1个性化辅导 【变式1】（2010 上海）已知数列an的前n项和为Sn，且Snn5an85，nN （1）证明：求数列an的通项公式；（2）求数列Sn的通项公式.请指出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理由. 【变式2】（2012广东中山二模）已知数列an的前n项和为Sn，满足Sn2n2an. （1）证明：数列an2是等比数列，并求数列an的通项公式； bn3（2）若数列bn满足bnlog2an2，设Tn是数列的前n项和.求证：Tn. 2an2 All Rights Reserved Guo Peng 6 / 18

1对1个性化辅导 （IV）an1panqn（其中p，q均为常数，(pq(p1)(q1)0)）. （或an1panrqn,其中p，q, r均为常数）. 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn1，得：anp1），得：再待定系数法解决. bbn1nnqqq511,an1an()n1，求an. 632an1pan1引入辅助数列bn（其qn1qqnq中bn【例5】:已知数列an中，a1 【变式1】:已知数列an满足a11,an3n2an1n2求an． 【变式3】:（2009 全国）在数列an中，a11，an111n1. ann2n（1）设bn an，求数列bn的通项公式；（2）求数列an的前n项和Sn. n All Rights Reserved Guo Peng 7 / 18

1对1个性化辅导 （V）形如“an1f(n)an” g(n)anh(n)解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为an1panq. 【例6】已知数列an满足：an an1,a11，求数列an的通项公式. 3an11【变式1】（2011 广东）设b0，数列an满足a1b，annban1n2 an12n2bn1（1）求数列an的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，ann11. 2 【变式2】若数列的递推公式为a13, All Rights Reserved Guo Peng 8 / 18

112(n)，则求这个数列的通项公式。 an1an 1对1个性化辅导 【变式3】已知数列{an}满足a11,n2时，an1an2an1an，求通项公式。 【变式4】已知数列an 满足：an an1,a11，求数列an的通项公式. 3an11 【变式5】若数列an中，a11 ，an12an,nN，求通项an． an2 All Rights Reserved Guo Peng 9 / 18

1对1个性化辅导 r（VI）an1pan(p0,an0) 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为an1panq，再利用待定系数法求解. 【例7】:已知数列｛an｝中，a11,an1 12an(a0)，求数列an的通项公式. a【变式1】:（2005，江西,理,21）已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a01,an1（1）证明anan12,nN;（2）求数列{an}的通项公式an. 1an(4an),nN. 2【变式2】:（2006,山东,理,22）已知a12，点an,an1在函数fxx2x的图象上，其中n =1，2，3，„ 2（1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列； （2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项； 记bn=112，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1 anan23Tn1 All Rights Reserved Guo Peng 10 / 18

1对1个性化辅导 题型三 递推公式为Sn 与an 的关系式(或Snf(an)) 解法：这种类型一般利用anS1(n1)与anSnSn1f(an)f(an1)消去Sn (n2)或与SnSn1(n2)Snf(SnSn1)(n2)消去an进行求解. 【例2】 已知数列an的前n项和Sn，分别求其通项公式. （1）Sn3n2 （2）Sn1(an2)28(an0) 解析：（1）当n1时，a1S13121； 当n2时，anSnSn1(3n2)(3n12)23n1 又a11不适合上式，故an（2）当n1时,a1S11n123(n1) (n2)1(a12)2,解得a12； 81122当n2时，anSnSn1(an2)(an12) 88所以， (an2)2(an12)20 所以， (anan1)(anan14)0 又an0，所以，anan14，可知an为等差数列，公差为4 所以，ana1(n1)d2(n1)44n2 a12也适合上式，故 an4n2 点拨：已知 an的前n项和Sn求an时应注意以下三点： （1）应重视分类讨论思想的应用，分n1和n2两种情况讨论；特别注意anSnSn1中需n2. （2）由SnSn1an推得an，当n1时，若a1也适合“an”式，则统一“合写”. （3）由SnSn1an推得an，当n1时，若a1不适合“an”式，则数列的通项公式应分段表示（“分写”）. 即：an All Rights Reserved Guo Peng 11 / 18

n1S1 . SSn2n1n 1对1个性化辅导 【变式1】（2011 江西）已知数列an的前n项和为Sn满足：SnSmSnm，且a11，那么a10 （ ） A. 1 B. 9 C. 10 D. 55 【变式2】：（2010广东湛江一模）已知数列an的前n项和为Sn，且a11，an12Sn. （1）求a2，a3，a4的值；（2）求数列an的通项公式an. 【变式3】已知数列an的首项a1 【变式4】已知数列an的前n项和Sn满足log21Snn1，求数列an的通项公式. 【变式5】已知数列an前n项和Sn4an12，前n项和Snnann1.求数列an的通项公式. 212n2. （1）求an1与an的关系；（2）求通项公式an. （2）应用类型4（an1panqn（其中p，q均为常数，(pq(p1)(q1)0)））的方法，上式两边同乘以2n1得：2n1an12nan2. 1na1.于是数列2an是以2为首项，2为公差的等差数列，所以1122n2nan22(n1)2nann1 2由a1S14a1 All Rights Reserved Guo Peng 12 / 18

1对1个性化辅导 其他类型的数列通项求法 （1）递推公式为an2pan1qan（其中p，q均为常数）. 解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为an2san1t(an1san)，其中s，t满足stp stq解法二(特征根法)：对于由递推公式an2pan1qan，a1,a2给出的数列an，方程x2pxq0，叫做数列an的特征方程. n1n1若x1,x2是特征方程的两个根，当x1x2时，数列an的通项为anAx1，其中A，B由Bx2n1，得到关于A、B的方程组）； a1,a2决定（即把a1,a2,x1,x2和n1,2，代入anAx1n1Bx2n1当x1x2时，数列an的通项为an(ABn)x1，其中A，B由a1,a2决定（即把a1,a2,x1,x2n1和n1,2，代入an(ABn)x1，得到关于A、B的方程组）。 解法一（待定系数——迭加法）: 【例1】:数列an：3an25an12an0(n0,nN)， a1a,a2b，求数列an的通项公式。 【例2】:已知数列an中，a11,a22,an2 【例3】已知数列an中，a11,a22,an2 【例4】已知数列an中，Sn是其前n项和，并且Sn14an2(n1,2,),a11， （1）设数列bnan12an(n1,2,)，求证：数列bn是等比数列； （2）设数列cn21an1an，求an。 3321an1an，求an 33an,(n1,2,)，求证：数列cn是等差数列； n2（3）求数列an的通项公式及前n项和. All Rights Reserved Guo Peng 13 / 18

1对1个性化辅导 （2）an1pananbp1,0且a0 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an1x(n1)yp(anxny)，与已知递推式比较，解出x,y,从而转化为anxny是公比为p的等比数列. 【例1】设数列an：a14,an3an12n1,(n2)，求an. 【例2】（2006，山东,文,22）已知数列｛an｝中，a11、点（n、2an1an）在直线yx上，其中n=1,2,3„ 2(Ⅰ)令bnan1an3,求证数列 bn是等比数列； (Ⅱ)求数列an的通项； (Ⅲ)设Sn、Tn分别为数列an使得数列bn的前n项和,是否存在实数，、在试求出 不存在,则说明理由. SnTn为等差数列？若存n All Rights Reserved Guo Peng 14 / 18

1对1个性化辅导 （3）形如“an1panq” ranhpanq（其中p、q、r、h均为ranh解法：如果数列{an}满足下列条件：已知a1的值且对于nN，都有an1常数，且phqr,r0,a1hpxq），那么，可作特征方程x,当特征方程有且仅有一根x0时,则rrxh1anx1是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则xx是等比数列. 12anx0anx2【例1】已知数列{an}满足性质：对于nN,an1 【例2】已知数列{an}满足：对于nN,都有an1an4,且a13,求{an}的通项公式. 2an313an25. an3（1）若a15,求an;（2）若a13,求an;（3）若a16,求an;（4）当a1取哪些值时，无穷数列{an}不存在？ 【例3】（2005，重庆,文,22）数列{an}满足a11且8an1an16an12an50(n1).记bn11an2(n1). （Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn. All Rights Reserved Guo Peng 15 / 18

1对1个性化辅导 （4）形如“an1anpnq或an1anpqn” 解法：这种类型一般可转化为a2n1与a2n是等差或等比数列求解。 【例1】（I）在数列{an}中，a11,an16nan，求an （II）在数列{an}中，a11,anan13n，求an 题型四： 双数列型 解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解. 【例1】已知数列an中，a11；数列bn中，b10.当n2时，an求an,bn. 11(2an1bn1),bn(an12bn1)，33题型五： 周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期 【例1】若数列an满足an112a,(0a)n6n2，若a1，则a20的值为___________。 72a1,(1a1)nn2 【例2】（2005，湖南,文，5）已知数列{an}满足a10,an1an33an1(nN*)，则a20= （ ） A．0 B．3 C．3 D．3 2 All Rights Reserved Guo Peng 16 / 18

1对1个性化辅导 1. 根据下面数列an的首项和递推关系，探求其通项公式. （1）a11，an2an11 n2 （2）a11，anan13n1 n2 （3）a11，an 2. 已知数列an的前n项和Snn2n. （1） 求数列an的通项公式； n1an1 n2 n课后 （2） 令bn2n，证明：数列bn为等比数列； （3） 求数列nbn的前n项和Tn. 作业 3. (2005,江西,文,22）已知数列an的前n项和Sn满足SnSn2通项公式. 132n1n3 且，求数列an的4. （2006. 福建.理22.本小题满分14分）已知数列an满足a11,an12an1(nN*). （I）求数列an的通项公式； （II）若数列{bn}滿足4b114b214bn1(an1)bn(nN*),证明：数列{bn}是等差数列； （Ⅲ）证明： 5. （2009 全国 ）在数列an中，a11，an11（1）设bn an1a1a2n...n(nN*). 23a2a3an121n1. ann2nan，求数列bn的通项公式；（2）求数列bn的前n项和Sn. n All Rights Reserved Guo Peng 17 / 18

1对1个性化辅导 6. （2006，全国I,理22）设数列an的前n项的和Sn412an2n1，n1,2,3, 333n2n3（Ⅰ）求首项a1与通项an；（Ⅱ）设Tn，n1,2,3,，证明：Ti 2Sni17. （2006，江西,理,22）1. 已知数列an满足：a1（1）求数列an的通项公式； 33nan1n2,nN, ，且an22an1n1（2）证明：对于一切正整数n ，不等式a1a2a3an2n!. 8. 已知数列an满足a11,a23,an23an12an(nN*). （I）证明：数列an1an是等比数列；（II）求数列an的通项公式； （III）若数列bn满足4b114b21...4bn1(an1)bn(nN*),证明bn是等差数列 1. 给出数列的前几项求通项时，常用特征分析法与化归法，所求通项不唯一 教学反思 家长建议

2. 由Sn求an时，要分n=1和n2两种情况 3. 数列是一种特殊函数，因此通过研究数列的函数性质（单调性）来解决数列中的“最大项”与“和最小”等问题十分有效。 4. 给出Sn与an的递推关系，要求an，常用思路是：一是利用SnSn1an （n2）转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an. 家长签名： All Rights Reserved Guo Peng 18 / 18