基本不等式
【2014年高考会这样考】
1．考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题．2．考查应用基本不等式解决实际问题．【复习指导】
1．突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练．2．训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养．
基础梳理
1．基本不等式：ab≤
a＋b2
(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；ba(2)＋≥2(a，b同号)；aba＋b(3)ab≤22(a，b∈R)；a2＋b2(4)≥2
a＋b22(a，b∈R)．
3．算术平均数与几何平均数
设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为
a＋b
，几何平均数为ab，基本不等式2
可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x＞0，y＞0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小)
p2(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定
4积最大)
一个技巧
运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2aba2＋b2a＋b逆用就是ab≤；≥ab(a，b＞0)逆用就是ab≤22要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．两个变形
a＋ba＋b(1)≥22≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)；222a＋b22(a，b＞0)等．还(2)2a2＋b2a＋b≥≥ab≥11(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号)．22＋ab这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．三个注意
(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．双基自测
11．(人教A版教材习题改编)函数y＝x＋(x＞0)的值域为(
xA．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．[2，＋∞)解析
1∵x＞0，∴y＝x＋≥2，
x
B．(0，＋∞)D．(2，＋∞)
)．
当且仅当x＝1时取等号．答案
C
a＋b1≤2；③x2＋2≥1，其中正确的个数是
x＋1ab(
A．0解析答案
B．1
C．2
D．3
112(x1)＝＋＋－1≥2－1＝1.
x2＋1x2＋1
)．
2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②
①②不正确，③正确，x2＋B
3．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为(A.12
B．1
C．2
D．4
)．
解析∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，
1∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤.2答案
A
1(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝(x－2C．3
D．41＋2≥2x－2
x－2×
1＋2＝4，x－2
)．
4．(2011·重庆)若函数f(x)＝x＋A．1＋2解析
B．1＋3当x＞2时，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋
当且仅当x－2＝即a＝3.答案
C
1(x＞2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，x－2
t2－4t＋1
5．已知t＞0，则函数y＝的最小值为________．
t解析答案
t2－4t＋11∵t＞0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝1时取等号．
tt－2
考向一利用基本不等式求最值
11【例1】►(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则＋的最小值为________；
xy(2)当x＞0时，则f(x)＝
2x的最大值为________．2x＋1
11[审题视点]第(1)问把＋中的“1”代换为“2x＋y”，展开后利用基本不等式；
xy第(2)问把函数式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式．解析
(1)∵x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，
112x＋y2x＋y∴＋＝＋xyxyy2x＝3＋＋≥3＋22.xyy2x当且仅当＝时，取等号．xy(2)∵x＞0，
22x2∴f(x)＝2＝1≤＝1，
x＋1x＋2
x1当且仅当x＝，即x＝1时取等号．
x答案
(1)3＋22(2)1
利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积
最大，积定和最小”．常用的方法为：拆、凑、代换、平方．【训练1】(1)已知x＞1，则f(x)＝x＋
1的最小值为________．x－1
2(2)已知0＜x＜，则y＝2x－5x2的最大值为________．
5
(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．解析
(1)∵x＞1，∴f(x)＝(x－1)＋
1＋1≥2＋1＝3当且仅当x＝2时取等号．x－1
1(2)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝·5x·(2－5x)，
52∵0＜x＜，∴5x＜2,2－5x＞0，
5
5x＋2－5x2∴5x(2－5x)≤＝1，21∴y≤，当且仅当5x＝2－5x，
511即x＝时，ymax＝.55
(3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，28∴＋＝1，yx
82＋8y2x∴x＋y＝(x＋y)xy＝10＋＋xy4yx＋＝10＋2xy≥10＋2×2×
4yx·＝18，xy
4yx当且仅当＝，即x＝2y时取等号，
xy又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6，∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18.答案
(1)3
(2)15(3)18
考向二利用基本不等式证明不等式
bccaab【例2】►已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c.
abc[审题视点]先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到．证明
∵a＞0，b＞0，c＞0，
bcca·＝2c；abbcab·＝2b；accaab·＝2a.bc
bcca∴＋≥2abbcab＋≥2accaab＋≥2bc
bccaab＋＋以上三式相加得：2abc≥2(a＋b＋c)，bccaab即＋＋≥a＋b＋c.abc
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思
路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．
【训练2】已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.111求证：＋＋≥9.
abc证明
∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c∴＋＋＝＋＋abcabcbcacab＝3＋＋＋＋＋＋aabbccbacacb＋＋＋＝3＋ab＋ac＋bc≥3＋2＋2＋2＝9，
1当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．3
考向三
利用基本不等式解决恒成立问题
x≤a恒成立，则a的取值范围是
x2＋3x＋1
【例3】►(2010·山东)若对任意x＞0，
________．[审题视点]先求只要解析
xx(x＞0)的最大值，要使得≤a(x＞0)恒成立，22x＋3x＋1x＋3x＋1
x(x＞0)的最大值小于等于a即可．
x2＋3x＋1
xx若对任意x＞0，2≤a恒成立，只需求得y＝2的最大值即x＋3x＋1x＋3x＋1
11＝15，当且仅当x＝1时x·x
1x可，因为x＞0，所以y＝2＝1≤x＋3x＋1x＋＋32
x1，＋∞取等号，所以a的取值范围是5答案
1，＋∞5当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时，可直接求出这个最
值(最值可能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解．
【训练3】(2011·宿州模拟)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．解析
由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥2
2xy，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，
得m－2≤8，m≤10，故m的最大值为10.答案
10
考向三利用基本不等式解实际问题
【例3】►某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的，房子侧面的长度x不得超过5m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？
[审题视点]用长度x表示出造价，利用基本不等式求最值即可．还应注意定义域0＜x≤5；函数取最小值时的x是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性．解
16x＋12由题意可得，造价y＝3(2x×150＋×400)＋5800＝900x＋5800(0＜
x
16x＋5800≥900×2
x≤5)，则y＝900x＋x×
16＋5800＝13000(元)，x
当且仅当x＝
16，即x＝4时取等号．x
故当侧面的长度为4米时，总造价最低．
解实际应用题要注意以下几点：
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
【训练3】(2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)＝
80.若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．n＋1
(1)求出f(n)的表达式；
(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？解
(1)第n次投入后，产量为(10＋n)万件，销售价格为100元，固定成本为
80n＋1
元，科技成本投入为100n万元．所以，年利润为f(n)＝(10＋n)(2)由(1)知f(n)＝(10＋n)＝1000－80n＋1＋100－100－80n＋1－100n(n∈N*)．
80n＋1－100n
9n＋1≤520(万元)．
当且仅当n＋1＝
9，n＋1
即n＝8时，利润最高，最高利润为520万元．
所以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．
阅卷报告8——忽视基本不等式成立的条件致误
【问题诊断】利用基本不等式求最值是高考的重点，其中使用的条件是“一正、二定、三相等”，在使用时一定要注意这个条件，而有的考生对基本不等式的使用条件理解不透彻，使用时出现多次使用不等式时等号成立的条件相矛盾.,【防范措施】尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等.
【示例】►已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求12a＋b的最小值．错因两次基本不等式成立的条件不一致．实录
∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，
a＋b∴ab≤22＝14.又1＋2≥2ab
2ab，而ab≤114，∴ab
≥4，∴1a＋2b≥28＝42，故12a＋b的最小值为42.正解
∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，
∴1a＋21b＝a＋2b(a＋b)＝1＋2＋b2aba＋b
≥3＋2a·2ab
＝3＋22.a＋b＝1，
当且仅当b＝2a，即a＝2－1，ab
b＝2－2时，
1a＋2b
的最小值为3＋22.【试一试】(2010·四川)设a＞b＞0，则a2＋11ab＋aa－b
的最小值是(A．1
B．2
C．3D．4
[尝试解答]a2＋11ab＋aa－b
＝a2－ab＋ab＋11ab＋aa－b
＝a(a－b)＋
1aa－b
＋ab＋
1ab)．
≥2
1aa－b·＋2
aa－b1ab·ab
＝2＋2＝4.当且仅当a(a－b)＝
11且ab＝，abaa－b
即a＝2b时，等号成立．答案
D
