吉林省吉林市普通中学2020届高三第二次调研测试(1月) 数学(理)试题及答案

吉林市普通中学2019—2020学年度高中毕业班第二次调研测试 理科数学 本试卷共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟。 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。 3．请按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。 一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一个是符合题目要求。 1. 集合P{xN|2x12}的子集的个数是 A. 2 B. 3 C.

4 D. 8 2. 已知i为虚数单位，复数z满足z(1i)i，则复数z在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是 A. 数据中可能有异常值 B. 这组数据是近似对称的 C. 数据中可能有极端大的值 4.

“cos2D. 数据中众数可能和中位数相同 1”是“k,kZ”的 23 B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 A. 充分不必要条件 C. 充要条件 5. 对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据 ：(0.675,0.9), (1.102,0.010),(2.9,1.024),(9.101,2.978),下列函数模型中拟合较好的是 高三理科数学 第1页 共4页

A.

y3x B.

y3x C.

y(x1)2 D. ylog3x x16. 已知实数x,y满足线性约束条件xy0，则z2xy的最小值为 xy20 A. 5 2 2 B. 1 2C. 5 D. 1 7. 已知圆xy6x70与抛物线y2px(p0)的准线相切，则p的值为 A. 1 B.

2 C.

1 2 D. 4 D1A1B1GHDFCBC18. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F,G,H分别为 所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面ACD1平行的是 E A. 直线EF C. 直线EH B. 直线GH D. 直线A1B A9. 我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积 术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂 乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实质是根据三角形的三 2221cab22边长a,b,c求三角形面积S，即S[ac()2]. 若ABC的面积 42S11,a3,b2，则c等于 2 B. 9 C.

A. 5 5或3 D. 5或9 x2y210. 已知双曲线C:221(a0,b0)的焦距为2c. 点A为双曲线C的右顶点， ab 若点A到双曲线C的渐近线的距离为A.

1c，则双曲线C的离心率是 2C.

2 B.

3 122

D. 3 11. 已知aln,blog52,ceA. abc C. bac ，则 B. acb D. cab 高三理科数学 第2页 共4页

12. 如图，在ABC中，点M,N分别为CA,CB的中点，若AB 5,CB1，且满足 CMGNB223AGMBCACB，则AGAAC等于 A. 2 C.

B. D.

5 8 3 A2 3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在答题卡中相应位置。 13. 在空间直角坐标系Oxyz中，A(2,0,0),B(0,3,0),C(0,0,5),D(2,3,5)，则四面 体ABCD的外接球的体积为__________.

14. 直线mxny20(m0,n0)过圆C:xy2x2y10的圆心，则 2224的最小值是__________. mn115. 若函数f(x)sin(2x)在区间[0,]上恰有4个不同的零点，则正数的取 62 值范围是__________.

16. 关于函数f(x)ln(2x)ln(4x)有下列四个命题： ①函数yf(x)在(2,4)上是增函数； ②函数yf(x)的图象关于(1,0)中心对称； ③不存在斜率小于

2且与数yf(x)的图象相切的直线； 3④函数yf(x)的导函数yf(x)不存在极小值. 其中正确的命题有__________. （写出所有正确命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （10分）已知数列{an}是公比为正数的等比数列，其前n项和为Sn，满足a12， 且a2,2S2,a3成等差数列. （1）求{an}的通项公式； 高三理科数学 第3页 共4页

（2）若数列{bn}满足bnlog2an，求b1b2b3b4b5b6b99b100的 CB22222222值.

18. （12分）如图，三棱柱ABCABC的侧棱AA垂直于底面ABC， 且ACB90,BAC30,BC1,AA（1）证明：ABAM； （2）求二面角AMBA的余弦值.

19. （12分）已知ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c， A6,M是棱CC的中点. AMCBA 2,且满足bcsin2A20cos(BC)0.

（1）求ABC的面积S； （2）若a24S,求

cb

的最大值. bc

20. （12分）为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域. 现随机抽取了某阅读区500本图书的分类归还情况，数据统计如下（单位：本）.

文学类图书 科普类图书 其他图书 文学类专栏 100 30 20

科普类专栏 40 200 10

其他类专栏 10 30 60

（1）根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率p1； （2）根据统计数据估计图书分类错误的概率p2； （3）假设文学类图书在“文学类专栏”、“科普类专栏”、“其他类专栏”的数目分别为a,b,c，其中a0,ab100,c50，当a,b,c的方差s2最大时，求a,b的值，并求出此时方差s2的值.

21. （12分）设函数f(x)lnxa(x1).

（1）若函数yf(x)在(1,)是单调递减的函数，求实数a的取值范围； （2）若nm0，证明：2lnn2nlnm. m22. （12分）已知A(2,0),B(2,0)，动点P满足直线PA与直线PB的斜率之积为设点P的轨迹为曲线C.

3，4（1）求曲线C的方程； （2）若过点F(1,0)的直线l与曲线C交于M,N两点，过点F且与直线l垂直的直线与x4相交于点T，求

|TF|的最小值及此时直线l的方程.

|MN|高三理科数学 第4页 共4页

吉林市普通中学2019—2020学年度高中毕业班第二次调研测试 理科数学参与评分标准 一、选择题

1

D

二、填空题 13. 36p; 三、解答题 17. 解：

2 B

3 B

4 B

5 D

6 B

7 B

8 C

9 C

10 A

11 B

12 D

14.

3+22;

15. [,2);

3

4

16. ①②③

（1）!{an}是等比数列，且a2,2S2,a3成等差数列

\\4S2=a2+a3，即 4(a1+a1q)=a1q+a1q2

\\4+4q=q+q2，解得：q=-1或q=4…………………………………………………………………………2分 !q>0，\\q=4 !a1=2

\\an=2×4n-1=22n-1(nÎN*)……………………………………………………………………………………………5分 （2）!bn=log2an=2n-1…………………………………………………………………………………………………………7分

18.

（1）证明：!AA'^平面ABC \\四边形ACC'A'是矩形

\\12-32+52-72+!+1972-1992

=(1-3)(1+3)+(5-7)(5+7)+!+(197-199)(197+199)……………………………………………8分 =(-2)(1+3+5+7+!+199) 1+199=-2××1002=-20000………………………………………………………………………………………………………………………………10分

!M为CC'中点，且AA'=CC'=6 6 2 !BC=1,ÐBAC=30°,ÐACB=90°

C'MA'C' \\=\\AC=A'C'=3，

A'C'AA' !ÐMC'A'=ÐC'A'A， \\△MC'A'与△C'A'A相似 \\ÐC'A'M=ÐA'AC'，\\ÐA'AC'+ÐAA'M=90° \\A'M^AC'…………………………………………………………………………………………………………2分 !ÐACB=90°， \\BC^平面ACC'A'， \\B'C'^平面ACC'A'，

!A'MÌ平面ACC'A',\\B'C'^A'M…………………………………………………………4分

\\A'M^平面AB'C'， \\A'M^AB'……………………………………………………………6分 （2）解：如图，分别以CA,CB,CC'为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则

\\C'M=

A'(3,0,6),M(0,0,6),B'(0,1,6),A(3,0,0) 2理科数学参 第1页 共3页

!!!!\"\"6!!!!6!!!\"6\\MA'=(3,0,),MB'=(0,1,),MA=(3,0,-)…………………………………8分

22!\"!!!!\"!\"2!!!!\"!!\"设平面MA'B'的法向量为n1=(x1,y1,z1)，则MA¢×n1=0,MB¢×n2=0

!\"26解得：n1=(-,-,1)

22!!\"26同理，平面MAB'的法向量n2=(-,,-1)……………………………………………………10分 22设二面角A'-MB'-A的大小为q，则

13!\"!!\"|--1|!\"!!\"n1×n2222\"=cosq=|cos|=|!\"!!=

3|n1|×|n2|1313++1×++122222即二面角A'-MB'-A的余弦值为.………………………………………………………………………12分

319. 解：

（1）在△ABC中，A+B+C=p，\\B+C=p-A

!bcsin2A+20cos(B+C)=0

\\2bcsinA×cosA-20cosA=0……………………………………………………………………………3分

!A¹

21\\S=bcsinA=5…………………………………………………………………………………………………6分

2p，

\\cosA¹0

（2）!a2=4S \\b2+c2-2bccosA=2bcsinA

20. 解：

（1）由题意可知，文学类图书共有100+40+10=150本，其中正确分类的有100本

所以文学类图书分类正确的概率p1=\\b2+c2=2bcsinA+2bccosA……………………………………………………………………………8分 cbb2+c2p\\+==2sinA+2cosA=22sin(A+) bcbc4pcb\\当A=时，+取最大值22.……………………………………………………………………12分

4bc1002=………………………………………………………3分 1503（2）图书分类错误的共有30+20+40+10+10+30=140本，因为图书共有500本，

30+20+40+10+10+307所以图书分类错误的概率p2==…………………………6分

500251（3）a,b,c的平均数x=(a+b+c)=50…………………………………………………………………………………8分

311 所以方差s2=[(a-50)2+(b-50)2+(50-50)2]=[a2+b2+5000-100(a+b)]

33111 =(a2+b2-5000)=[a2+(100-a)2-5000]=[2a2-200a+5000]…………10分

3335000 .…………………………………………12分 !a>0,b³0,\\当a=100,b=0时，s2取最大值

321. 解：

理科数学参 第2页 共3页 （1）因为y=f(x)在(1,+¥)上单调递减，

1a2在(1,+¥)上恒成立……………………………………………………3分 -£0,即a³x2xx22因为y=在(1,+¥)上是单调递减的，所以Î(0,2)，所以a³2……………………………6分

xxn（2）因为n>m>0，所以>1

m由（1）知，当a=2时，y=f(x)在(1,+¥)上单调递减

n所以f()mnn即ln-2(-1)<0

mmn所以2+lnn<2+lnm.……………………………………………………………………………………………………12分

m所以f'(x)=22. 解：

（1）设P(x,y)，则kPA×kPB=-，即

34yy3×=-

x-(-2)x-24x2y2 整理得+=1(x¹±2)……………………………………………………………………………………………………4分

43（2）设l:x=my+1，将其与曲线C的方程联立，得3(my+1)2+4y2=12 即(3m2+4)y2+6my-9=0

6m9 设M(x1,y2),N(x2,y2)，则y1+y2=- ,yy=-12223m+43m+4-6m2-9m2+12 ……………………………………………………6分 |MN|=1+m(2)-42=1223m+43m+43m+4 将直线FT:y=-m(x-1)与x=4联立，得T(4,-3m)

\\|TF|=9+9m2=31+m2 |TF|13m2+411\\==(3m2+1+)………………………………………………………………8分

22|MN|4m+14m+1设t=m2+1，显然t³1

|TF|11构造f(t)==(3t+)(t³1)|

|MN|4t11f'(t)=(3-2)>0在tÎ[1,+¥)上恒成立

4t所以y=f(t)在[1,+¥)上单调递增

|FT|11所以=(3t+)³1， 当且仅当t=1，即m=0时取“=”…………………………………10分

|MN|4t|TF|即的最小值为1，此时直线l:x=1.………………………………………………………………………12分 |MN|

1（注：1. 如果按函数y=x+的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以

x根据步骤相应给分.）

理科数学参 第3页 共3页