吉林省吉林一中2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案

一、单项选择

1. ．已知A（1，0，2），B（1，3,1），点M在z轴上且到A、B两点的距离相等，则M点坐标为（ ） A．（3，0，0） 0，3）

2. 若m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）

A．若m，，则m B. 若//,m,n则m//n C．若，⊥，则 D．若m，m∥，则

3. 已知正三棱锥的底面边长为2，各侧面均为直角三角形，则它的外接球体积为（ ）

A．

B．（0，3，0）

C．（0，0，3）

D．（0，

432 B． 273C．3 2D．

4 34. 设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a,b,且”的平面,（ ）

A．不存在 B．有且只有一对 C．有且只有两对 D．有无数对 5. 已知函数f(x)sin(x)(0)，若f()f()且f(x)在区间(,)上有

36363 D．

最小值，无最大值，则的值为（ ） A．

2514 B． C． 33338 36. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A

．

m，n，m∥，n∥∥

B．∥，m，nm∥n

C．m⊥，m⊥nn∥ D．n∥m，n⊥m⊥ 7. 已知A(xA,yA)是单位圆(圆心在坐标原点O)上任意一点,将射线OA绕O点逆时针旋转30 到OB,交单位圆于点B(xB,yB),则xAyB的最大值为 （ ）

中华资源库 www.ziyuanku.com A．2 B．3 C．1 2D．

1 28. 若直线过点（1，1），（2，13），则此直线的倾斜角的大小为 A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

9. 设m、n是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：（ ） ① 若//,//, 则// ②若，m//，则m③ 若m,m//，则 ④若m//n,

n，则m//

其中真命题的序号是（ ）

A．①④ B． ②③ C．②④ D． ①③ 10. 过点A(4，1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是( )

A.x+y=5 B.x-y=5 C.x+y=5或x-4y=0 D.x-y=5或x+4y=0

二、填空题

11. 已知ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且3OA4OB5OC0,则 OCAB的值为

12. 设a、b、c是单位向量，且abc，则a与c的夹角为 。 13. 在平行四边形ABCD中,AC3BD,则DAB的最大值为_______．

14. 在平面直角坐标系xOy中,已知\\s\)OA=(3,-1),\\s\)OB=(0,2).若

\\s\)OC·\\s\)AB=0,\\s\)AC=λ\\s\)OB,

则实数λ的值为________.

15. 三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面

ABC内的射影为△ABC的中心O，则B1A与底面ABC所成角的

正弦值等于

16. 直线x-3y+2=0被圆x2y24截得的弦长为_________.

三、解答题

17. 下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的底面与侧面。

中华资源库 www.ziyuanku.com （1）请画出四棱锥S-ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；

(2）若SA面ABCD，E为AB中点，求证：面SEC面SCD (3）求点D到面SEC的距离。

18. 如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AA12,AB1,AD2,E为BC的中点 (1)求点A到面A1DE的距离;

(2)设A1DE的重心为G,问是否存在实数

,使 得AMAD,且MG平面A1ED同时成立？若存在,求出的值;若不存在,说明理由.

19. 如图，四边形ABCD中，ABAD,AD∥BC，AD =6，BC =4，AB =2，点E、F分别在

BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABCD平面EFDC，设AD中点为P．

( I )当E为BC中点时，求证：CP//平面ABEF

(Ⅱ)设BE=x，问当x为何值时，三棱锥A-CDF的体积有最大值？并求出这个最大值。 20. 过点5，4作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成三角形面积为５。 21. 如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，Q是棱PA上的动点．

（Ⅰ）若Q是PA的中点，求证：PC//平面

BDQ；

（Ⅱ）若PBPD，求证：BDCQ； （III）在（Ⅱ）的条件下，若

PAPC,PB3,ABC60，求四棱锥PABCD的体积．

22. 已知函数

PQfxAsinxA0,0,的

2点为0,1,它在y轴右侧的第一个最高点和低点的坐标分别为x0,2和x02,2.

A图象与y轴的交

D第一个最

BC第21题图

中华资源库 www.ziyuanku.com (I)求fx的解析式及x0的值;(II)若锐角满足cos，求f4的值.

13

参

一、单项选择

1. C 2. D 【解析】两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，所以A不正确；两个平面平行，两个平面内的直线不一定平行，所以B不正确；垂直于同一个平面的两个平面不一定垂直，也可能平行或相交，所以C不正确；根据面面垂直的判定定理知D正确. 3. C 4. D 【解析】：任意做过a的平面α ，可以作无数个．在b上任取一点M，过M作α的垂线，b与垂线确定的平面β垂直与α ．故选D． 5. C 6. D 7. C 8. C 9. D 10. C

【解析】 设过点A(4，1)的直线方程为y-1=k(x-4)(k≠0),令x=0,得y=1-4k;令y=0,

得x=4-.由已知得1-4k=4-,∴k=-1或k=,∴所求直线方程为x+y-5=0或x-4y=0。

二、填空题

11.【答案】112.【答案】600 13.【答案】 5 3

216.【答案】23 3 14.【答案】2 15.【答案】三、解答题 17.【答案】（1）存在一条侧棱垂直于底面（如图）即SA底面ABCD

∵SAAB,SAAD，且AB、AD是面ABCD内两条相交直线

SA底面ABCD

(2）分别取SC、SD的中点G、F，连GE、GF、FA，

则GF//EA,GF=EA,AF//EG，而由SA面ABCD得SACD， 又ADCD，CD面SAD，CDAF 又SA=AD,F是中点，AFSD

AF面SCD，即EG面SCD, 面SEC面SCD (3)作DHSC于H，∵面SEC面SCD,DH面SEC, DH之长即为点D到面SEC的距离，

中华资源库 www.ziyuanku.com 在RtSCD中，DHSDDCSC6a 32aa3a6a 3答：点D到面SEC的距离为18.【答案】 【解析】(1)

AE2DE2AD2AE2ED2AD2

AEDE,DEAA1AA1AEAAA1面A1AE AE面A1AE

,取A1E的中点H ,AHA1E

DE面A1AE ,A1AAE2AHDEA1EEDE A1E面

A1DE ED面A1DE ,AH面A1DE,AH为点A到面A1DE的距离,

AH=1,点A到面A1DE的距离为1, (2)

AH面A1ED,过点G作GM//AH交AD于M,

1AD, 3则MGA1ED,且AM故存在实数19.【答案】

1,使得AMAD,且MG平面A1ED同时成立. 3 中华资源库 www.ziyuanku.com

【解析】

20.【答案】解：设直线l的方程为y4kx5分别令y0，x0， 得l在x轴，y轴上的截距为：a5k4，b5k4，

k由条件（2）得ab105k45k410，

k得25k230k160无实数解；或25k250k160，解得k18，k22，

55故所求的直线方程为：8x5y200或2x5y100。 【解析】 21.【答案】（Ⅰ）证明连结AC，交BD于O．

因为底面ABCD为菱形， 所以O为AC的中点． 因为 Q是PA的中点，所以OQ//PC ，

因为OQ平面BDQ，PC平面BDQ，所以PC//平面

AOCPQDBDQ．

B（Ⅱ）证明：因为底面ABCD为菱形，

所以ACBD，O为BD的中点．因为PBPD，所以POBD ．

因为POBDO，所以 BD平面PAC．因为CQ平面PAC，所以 BDCQ．

中华资源库 www.ziyuanku.com （Ⅲ）因为PAPC，所以△PAC为等腰三角形 ．

因为O为AC的中点，所以POAC．由（Ⅱ）知POBD，且ACBDO， 所以PO平面ABCD，即PO为四棱锥PABCD的高．

因为四边形是边长为2的菱形，且ABC60，所以BO3PO6． 所以VPABCD【解析】 22.【答案】

123622 ． 3