湖北科技学院大二理学专业微积分测试题及答案2

一、选择题

1.极限

=

(A)等于0； (B)不存在； (C)等于 ； (D)存在且不等于0或

（提示：令yk2x2）

2、设函数，则极限=

(A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2

（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）

3、设函数

，则f(x,y)

(A) 处处连续；

(B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续

（提示：①在x2y20，f(x,y)处处连续；②在x0,y0 ，令ykx，

limkx2xlimkxy00x2k2x2x01k20f(0,0) ，故在x2y20，函数亦连续。所以，

f(x,y)在整个定义域内处处连续。）

4、函数

在点

处具有偏导数是它在该点存在全微分的 (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件

5、设

，则= (A)

；

(B)

；

(C) ； (D)

1

6、设

，则

（A）； （B）； （C）； （D）

7、若zln(xy)，则xzxyzy （A）xy； （B）xy； （C）112； （D）2．

8、设zarctanxy，xuv，yuv，则zuzv

（A）uvvuuvvuu2v2； （B）u2v2； （C）u2v2； （D）u2v2．

9、若

，则

= (A)

；

(B)

； (C)

；

(D)

10、设，则

(A) 2 ； (B) 1+ln2 ； (C) 0 ； (D) 1 11、设函数

，则点

是函数

的

（A）极大值点但非最大值点； （B）极大值点且是最大值点； （C）极小值点但非最小值点； （D）极小值点且是最小值点。

12、设函数具有二阶连续偏导数，在

处，有

fx(P0)0,fy(P0)0,fxx(P0)fyy(P0)0,fxy(P0)fyx(P0)2，则

（A）点是函数的极大值点； （B）点

是函数的极小值点；（C）点

非函数的极值点； （D）条件不够，无法判定。

二、填空题

1、极限

=  。

2

2、极限= 。

3、函数4、函数

的定义域为  。（ 的定义域为  。

5、设函数，则=  。

6、设函数，则=  。

（

(xy)(xy)x2y2） f(xy,xy)(xy)(xy)2x，则

_________

7、设

8、函数由方程

2z 0 9、所确定，则、设x2，则= ___________ 。

9、函数的驻点是_________。

三、计算题

1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.

22(1) z1xy (2)zln(xy)

(3)z

1 (4)zln(xy1)

ln(xy)

2、求极限3、设函数

由方程

。

所确定，求。

3

4、设

，求。

四、应用题

。

1、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品甲与生产

y单位的产品乙的总费用是

4002x3y0.01(3x2xy3y2)元， 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？

五、证明题

(11)1、设zexy 求证x2zy2z2z

xy

zz1

xy3、设xx(y z) yy(x z) zz(x y)都是由方程F(x y z)0所确定的具有连续偏导数的函

xyz数 证明1 yzx2 设2sin(x2y3z )x2y3z 证明

4

答案

（ A ） （ B ） （ C ）答：

答：

答：

1、解：(1)要使函数

（ B ） （ C ）（ A ） （ A ） （ B ） （ A ） （ C ） （ C ） （ D ）

答：

，

答：

x2y2答：2x。答：3cos5答：答：（1，－1）

z1x2y222221xy0xy1. 有意义，必须有，即有

22D{(x,y)|xy1},图形为图3.1 故所求函数的定义域为

(2)要使函数zln(xy)有意义，必须有xy0.故所有函数的定义域为

D(x,y)|xy0z(3)要使函数

，图形为图3.2

1ln(xy)有意义，必须有ln(xy)0，即xy0且xy1.

故该函数的定义域为

D(x,y)|xy0，xy1，图形为图3.3

(4)要使函数zln(xy1)有意义，必须有xy10.故该函数的定义域为

D{(x,y)|xy1}，图形为图3.4

yyx+y=0O1xO1x

图3.1 图3.2

5

y1x+y=0O1xx+y=1-1y1y=1/xO-11x

图3.3

图3.4

2、解：

= -8

3、答：

4、解：斯

解：L(x,y)表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有

22L(x,y)(10x9y)[4002x3y0.01(3xxy3y)] 利润目标函数

8x6y0.01(3x2xy3y2)400,(x0,y0)，

80.01(6xy)0LxL60.01(x6y)0令y，解得唯一驻点（120，80）.

又因

0.060,BLxy0.01ALxx,CLyy0.06，得

ACB23.51030.

,80)320. 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲得极大值L(120与80单位产品乙时所得利润最大320元. 无1

6

z(1111证明： 因为xexy)1z()x2exy1 yy2 所以 x2zy2ze(1x1y)11() xyexy2z

2、证明：设F(x y z)2sin(x2y3z)x2y3z 则 Fx2cos(x2y3z)1

Fy 2cos(x2y3z)222Fx Fz2cos(x2y3z)(3)33Fx 

zFxFx1zFy2Fx2

xFz3Fx3 yFz3Fx3zzFxFz12于是

xyF1zFz33

3、解：因为

xFy yFzFyF zxxzFyxF

z所以 xyyzzx(FyF)(Fz)(Fx)1

xFyFz

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