高一数学必修一必修二综合测试卷(有答案)

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 下列说法正确的是（ ）

A. 经过三点确定一个平面 B. 经过一条直线和一个点确定一个平面 C. 四边形确定一个平面 D. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

x2. 下列哪个函数的定义域与函数fx15的值域相同（ ）

A. yx2x

B. ylnx2x

C. y1

x

D. yx1x

3. 已知集合Ax|log1，Bx|2x1x2，则AB（ ）

2A. 1,22

B. 12, C. 0, D. 0,2

4. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则其母线与底面半径之比为（ ） A. 1

B.

2

C.

3 D. 2

5. 已知函数fxx2xa在区间0,1上有零点，则实数a的取值范围是（ ） A. ,14

B. ,14 C. 2,0 D. 2,0

6. 函数fxax1a0,a1的图象恒过点A，则下列函数中图象不经过点A的是（ ）

A. y1x B. yx2

C. y2x1

D. ylog22x

7. 正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，

BC的中点，则异面直线EF与CD所成的角为（ ） A.

6 B.

4 C. 3 D. 2 8. 已知函数ylog21xax3a在2,上为减函数，则实数a的取值范围是（ ）

2A. a4 B. a4 C. a4或a4 D. 4a4

9. 某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点P与点Q在正视图与侧视图上的对应点分别为A，B，则在该几何体表面上，从点P到点Q的路径中，最短路径的长度为（ ） A.

5 B.

6 C. 22 D.

10 10. 已知函数fxlnx1，gxx22x3，用minm,n表示m，n中最小值，设

hxminfx,gx，则函数hx的零点个数为（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

11. 已知gx为偶函数，hx为奇函数，且满足gxhx2x.若存在x1,1，使得不等式mgxhx0有解，则实数m的最大值为（ ）

A.

351

B. 35 C. 1 D. -1 12. 无论x，y，z同为三条不同的直线还是同为三个不同的平面，给出下列说法：

①若x//y，x//z，则y//z；②若xy，xz，则yz；

③若xy，y//z，则xz；④若x与y无公共点，y与z无公共点，则x与z无公共点； ⑤若x，y，z两两相交，则交点可以有一个，三个或无数个.其中说法正确的序号为（ ） A. ①③

B. ①③⑤

C. ①③④⑤

D. ①④⑤

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 设函数fxexaexaR，若fx为奇函数，则a______.

14. 一个正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，体积为

423，则它的侧面积为______. 15. 已知函数fx为定义在2a,3上的偶函数，在0,3上单调递减，并且

fm2a5fm22m2，则m的取值范围是______.

16. 正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小

值为______.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和

AA1的中点.求证：CE，D1F，DA交于一点.

18. 已知函数fxxax2bx1是定义域为R的奇函数. （1）求实数a和b的值，判断并证明函数fx在1,上的单调性；

（2）已知k0，且不等式ft22t3fk10对任意的tR恒成立，求实数k的取值

范围.

19. 食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a（单位：万元）满足P8042a，Q14a120.设甲大棚的投入为x（单位：

万元），每年两个大棚的总收益为fx（单位：万元）. （1）求f50的值；

（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益fx最大？

20. 已知幂函数fxx3ppN*的图象关于y轴对称，且在0,上为增函数. pp（1）求不等式x1232x2的解集；

（2）设gxlogafxaxa0,a1，是否存在实数a，使gx在区间2,3上的最大值为2，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由.

xx21. 已知函数fx4m1319.

（1）当m2时，求函数fx在,0上的值域；

（2）若对任意x0,，总有fx6成立，求实数m的取值范围.

22. 在菱形ABCD中，AB2且ABC60，点M，N分别是棱CD，AD的中点，将四边形ANMC沿着AC转动，使得EF与MN重合，形成如图所示多面体，分别取BF，DE的中点P，

Q.

（1）求证：PQ//平面ABCD；

（2）若平面AFEC平面ABCD，求多面体ABCDFE的体积.

参

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1-5：DBCDC

6-10：ABDCC

11-12：AB

1.【解析】A选项考查公理2，即三点必须不在同一条直线上，才能确定一个平面；B选项如果点在直线上，则该直线和这个点不能确定一个平面；C选项中的四边形有可能是空间四边形，故选D.

x2.【解析】函数fx15的值域为0,，函数yx2x的定义域为R，

函数ylnx2x的定义域为0,；函数yx1x的定义域为,00,，

函数y1

x

的定义域为,00,，故选B.

3.【解析】由Ax|log1x1x|0x2，Bx|2x212x|x2，则

AB0,，故选C.

4.【解析】由已知可得2rl，所以l2r，故

lr2.故选D. 5.【解析】函数fxx2xa的图象的对称轴为x12，故函数在区间0,1上单调递增，再

根据函数fx在0,1上有零点，可得f0a0f12a0，解2a0，故选C.

6.【解析】函数fxyax1a0,a1的图象恒过点A，

即x10，可得x1，那么y1.∴恒过点A1,1.把x1，y1带入各选项，只有A没有经过A点.故选A. 7.【解析】略

8.【解析】gxx2ax3a，则gxx2ax3a0在2,恒成立，且

gxx2ax3a在2,上为增函数，所以

a22且g24a0，所以4a4.故选D.

9.【解析】由题，几何体如图所示

（1）前面和右面组成一面此时PQ222222.

（2）前面和上面在一个平面此时PQ321210，2210，故选C. 10.【解析】作出函数fx和gx的图象如图，两个图象的下面部分图象，由

gxx22x30，得x1，或x3，由fxlnx10，得xe或x1e，∵

ge0，∴当x0时，函数hx的零点个数为3个，故选C.

.【解析】由gxhx2x，及gx为偶函数，hx为奇函数，得gx2x2x112，

2x2x2.由mgxhx0得m2x2x2x2x4xhx14x11224x1，∵y14x1为增函数，∴1234x1，故选A. max512.【解析】由平行于同一直线的两直线平行，平行于同一平面的两平面平行，可得①正确；由垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面；垂直于同一平面的两平面相交或平行，可得②错误；由垂直于两平行直线中的一条，也垂直于另一条；垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个，可得③正确；若一条直线与另两条直线无公共点，可得另两条直线可以相交；若一个平面与另两个平面无公共点，可得另两个平面无公共点；可得④错误.若三条直线两两相交，则交点可以有一个或三个，

若三个平面两两相交，则交点有无数个.故选B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

∵正四面体ABCD的棱长为4，∴正方体的棱长为22， 可得外接球半径R满足2R322113. -1 14. 43 15. 12m 16. 4

213.【解析】若函数fxexaex为奇函数，则fxfx，即exaexexaex，2，解得R6.

E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积达最小

值，此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为rR222，得到

即a1exex0对任意的x恒成立，则a10，得a1. 14.【解析】设正四棱锥的侧棱长与底面边长相等为2a，则

SABCD4a2，hPB2BO24a22a22a，

则V1342a3432，则a1，则 S1BCPF侧422a4a2a243a2243.

15.【解析】由题设可得2a30，即a5，故fm21fm22m2可化

fm21fm22m2，又1m213，1m22m23，故

m21m22m2m112，且m12.故应填答案12m2.

16.【解析】将四面体ABCD放置于正方体中，如图所示

可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，

截面圆的面积最小值为Sr24.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.【解析】

证明：如图所示，连接CD1、EF、A1B，因为E、F分别是AB和AA1的中点， 所以EF//A1B且EF12A//CD11B.即：EF1，且EF2CD1， 所以四边形CD1FE是梯形，

所以CE与D1F必相交，设交点为P，

则PCE，且PD1F，又CE平面ABCD， 且D1F平面A1ADD1，所以P平面ABCD，

且P平面A1ADD1， 又平面ABCD平面A1ADD1AD，所以PAD，

所以CE、D1F、DA三线交于一点.

18.【解析】

（1）因为fxfx，所以xaxax2bx1x2bx1， ∴ab0，fxxx21， 任取x1,x21,，且x1x2，

fxfxx1x2xx1x1x2112x222x22， 11x2111x21∵x222x10，x1x210，x11x210，

∴fx在1,单调递减.

（2）ft22t3fk1，ft22t3f1k， ∵t22t32，1k1，∴t22t31k， 即kt121， ∵tR，∴k1,0. 19.【解析】

（1）由题可知：甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元， 所以f5080425014150120277.5. （2）依题意得x20200x2020x180.

故fx14x42x25020x180. 令tx25,65，

则fx12124t42t2504t82282，

当t82，即x128时，fxmax282，

所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大， 且最大收益为282万元. 20.【解析】

（1）由已知得3p0且pN*，所以p1或p2， 当p2时，fxx3p为奇函数，不合题意， 当p1时，fxx2.

pp11所以不等式x1232x2变为x1232x2， 则0x132x，解得1x23. pp所以不等式x1232x2的解集为1,23.

（2）gxlog2axax，令hxx2ax，由hx0得x,0a,，因为gx在2,3上有定义，所以0a2且a1， 所以hxx2ax在2,3上为增函数，

当1a2时，gxmaxg3loga93a2， 即a23a90，∴a3352，又1a2， ∴a3352. 当0a1时，gxmaxg2loga42a2，

即a22a40，∴a15，此时解不成立.

综上：a3352. 21.【解析】

x（1）当m2时，设t13，∵x,0，∴t1,，

∴ygtt22t4t123，对称轴t1，图像开口向上，

∴gt在t1,为增函数， ∴gt3，∴fx的值域为3,.

∴多面体ABCDFE可以分解为四棱锥BACEF和四棱锥DACEF， 菱形ABCD中，AB2且ABC60知：AC2，BD23，EFxxAC1， 211设梯形EFAC的面积为SEFAC1BD33， EFAC（2）由题意知，fx6在0,上恒成立，即m329，

∴m23x13x在x0,恒成立，则只需当x0,时，

m23x13x，

min设t3x，ht2t1t，由x0,得t1，设1t1t2，则

htt1t211ht2t1t22t0，

1t2所以ht在1,上递增，

ht在1,上的最小值为h11，

所以实数m的取值范围为,1. 22.【解析】

（1）取BE中点R，连接PR，QR，BD，由P，Q分别是BF，DE的中点， ∴PR//EF，QR//BD，

又∵EF//AC，∴PR//平面ABCD，QR//平面ABCD，又∵PRQRR，

∴平面PQR//平面ABCD，又∵PQ平面PQR， ∴PQ//平面ABCD.

（2）连接AC，设AC，BD交于点O， ∴BDAC，又∵平面AFEC平面ABCD， 平面AFEC平面ABCDAC，

∴BD平面AFEC.

2V13ABCDFE3SEFACBD2.

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