【解读中考】2016年中考数学复习专题14 二次函数的图象和性质

☞解读考点 知 识 点 1.二次函数的概念 二次函数概2.二次函数的图象 念、图象和性3.二次函数的性质 质 4.二次函数的解析式确定 名师点晴 会判断一个函数是否为二次函数． 知道二次函数的图象是一条抛物线． 会按在对称轴左右判断增减性． 能用待定系数法确定函数解析式． 二次函数 5.判别式、抛物线与x轴的交点、会用数形结合思想解决此类问题． 与二次方二次方程的根的情况三者之间的能根据图象信息，解决相应的问题． 程的关系 联系．

☞2年中考

【2015年题组】

2yx2x4的最大值为（ ） 1．（2015乐山）二次函数

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C．

考点：1．二次函数的最值；2．最值问题．

2yaxbxc(a0)的对称轴是直线2．（2015南宁）如图，已知经过原点的抛物线

x1，下列结论中：•

①ab0，‚②abc0，ƒ③当2x0时，y0． 正确的个数是（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D．

考点：1．二次函数图象与系数的关系；2．综合题．

2yaxbxc的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）3．（2015柳州）如图，二次函数

两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（ ）

A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4

【答案】B． 【解析】

试题分析：如图所示：当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：﹣2＜x＜4．故选B． 考点：抛物线与x轴的交点．

2yx4．（2015河池）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解

析式为（ ）

222y(x2)3y(x2)3y(x2)3 A． B． C．2y(x2)3 D．

【答案】B． 【解析】

2yx试题分析：∵将抛物线向上平移3个单位再向右平移2个单位，∴平移后的抛物线

的解析式为：y(x2)3．故选B． 考点：二次函数图象与几何变换．

25．（2015贵港）如图，已知二次函数

y12242xxy2x33的图象与正比例函数3的图象

交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若

0y1y2，则x的取值范围是（ ）

A．0＜x＜2 B．0＜x＜3 C．2＜x＜3 D．x＜0或x＞3 【答案】C．

考点：二次函数与不等式（组）．

2yxbx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的6．（2015苏州）若二次函数

直线，则关于x的方程xbx5的解为（ ）

A．x10，x24 B．x11，x25 C．x11，x25 D．x11，x25 【答案】D．

【解析】

2考点：抛物线与x轴的交点．

2yaxbxc的图象如图所示，记7．（2015乐山）已知二次函数

mabc2abc，

nabc2abc．则下列选项正确的是（ ）

A．mn B．mn C．mn D．m、n的大小关系不能确定

【答案】A．

【解析】

试题分析：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右边，∴b＞0，∵抛物线经过原点，∴c=0，∴a﹣b+c＜0；∵x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，∵c=0，∴a+b＞0；

x（1）当对称轴

b12a时，2ab0，

mabc2abc(ab)(2ab)ab2ab2ba===， nabc2abcab(2ab)ab2ab2ba== =，

∵a＜0，∴2ba2ba，∴m＜n．

x（2）当对称轴

b12a时，2ab0，

mabc2abc(ab)(2ab)3a==，

nabc2abcab(2ab)ab2ab2ba== =，

mn(3a)(2ba)2(ab)，

∵a+b＞0，∴﹣2（a+b）＜0，∴m＜n．

综上，可得m＜n． 故选A．

考点：1．二次函数图象与系数的关系；2．综合题；3．压轴题．

8．（2015雅安）在二次函数yx2x3中，当0x3时，y的最大值和最小值分别是（ ）

A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．0，0 【答案】A．

2考点：1．二次函数的最值；2．最值问题．

2yaxbxc（a0）的图象与x轴交于A，B两点，9．（2015孝感）如图，二次函数

b24ac04a与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：①abc＜0；②；③ac﹣b+1=0；

c④OA•OB=a．

其中正确结论的个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B． 【解析】

试题分析：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；

b24ac024a∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b4ac＞0，而a＜0，∴，所以②错误；

2yaxbxc得ac2bcc0，∵C（0，c），OA=OC，∴A（﹣c，0），把A（﹣c，0）代入

∴ac﹣b+1=0，所以③正确；

2xxyaxbxc（a0）的图象与x轴交于A，12设A（，0），B（，0），∵二次函数

cc2xxxxB两点，∴1和2是方程axbxc0（a0）的两根，∴12=a，∴OA•OB=a，

所以④正确．

故选B．

考点：1．二次函数图象与系数的关系；2．数形结合；3．综合题．

10．（2015南通）关于x的一元二次方程ax3x10的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是 ．

29a24【答案】．

考点：1．抛物线与x轴的交点；2．综合题；3．压轴题．

11．（2015宿迁）当xm或xn（mn）时，代数式x22x3的值相等，则xmn时，代数式x22x3的值为 ． 【答案】3． 【解析】

试题分析：设yx22x3，∵当xm或xn（mn）时，代数式x22x3的值

mn相等，∴

2221，∴m+n=2，∴当xmn时，即x=2时，x22x3=222233，故答案为：3．

考点：1．二次函数图象上点的坐标特征；2．条件求值；3．综合题．

12．（2015贺州）已知二次函数

yax2bxc的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0，1②a﹣b+c＜0，③2a=b，④4a+2b+c＞0，⑤若点（﹣2，y1）和（3，y2）在该图象上，

则

y1y2．其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）

．

【答案】②④．

考点：二次函数图象与系数的关系． 13．（2015雅安）为美化小区环境，决定对小区的一块空地实施绿化，现有一长为20m的栅栏，要围成一扇形绿化区域，则该扇形区域的面积的最大值为 ． 【答案】25m2． 【解析】

考点：1．扇形面积的计算；2．最值问题；3．二次函数的最值． 14．（2015来宾）在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，点M为BC边上一动点（点M与点B、C不重合），连接AM，过点M作MN⊥AM，垂足为M，MN交CD或CD的延长线于点N． （1）求证：△CMN∽△BAM；

（2）设BM=x，CN=y，求y关于x的函数解析式．当x取何值时，y有最大值，并求出y的最大值；

（3）当点M在BC上运动时，求使得下列两个条件都成立的b的取值范围：①点N始终在线段CD上，②点M在某一位置时，点N恰好与点D重合．

b21b2y(bxx)a【答案】（1）证明见试题解析；（2），当x=2时，y取最大值，为4a；（3）

b=2a．

【解析】 试题分析：（1）由矩形的性质可得∠B=∠C=90°，要证△CMN∽△BAM，只需证∠BAM=∠CMN即可；

（2）由△CMN∽△BAM即可得到y与x的函数解析式，然后只需运用配方法就可求出y的最大值；

（3）由点M在BC上运动（点M与点B、C不重合），可得0＜x＜b，要满足条件①，应保证当0＜x＜b时，y≤a恒成立，要满足条件②，需存在一个x，使得y=a，综合条件①和②，当0＜x＜b时y最大值应为a，然后结合（2）中的结论，就可解决问题． 试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∴∠BAM+∠AMB=90°．∵MN⊥AM，即∠AMN=90°，∴∠CMN+∠AMB=90°，∴∠BAM=∠CMN，∴△CMN∽△BAM；

CMCNbxyBABMax，（2）∵△CMN∽△BAM，∴．∵BM=x，CN=y，AB=a，BC=AD=b，∴

1b2b2b211b2y(bxx)(x)a24aa∴=．∵a＜0，∴当x=2时，y取最大值，最大值为4a；

考点：1．相似形综合题；2．二次函数的最值；3．矩形的性质；4．压轴题．

1yx2bxc215．（2015桂林）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点A（0，8）、B

（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点

B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O

时，点C、D停止运动．

（1）直接写出抛物线的解析式： ；

（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？

（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

1125yx23x8St25t22【答案】（1）；（2），当t=5时，S最大=2；（3）存3420041009）或P（8，0）或P（3，9）在，P（3，．

【解析】

试题分析：（1）将点A、B代入抛物线即可求出抛物线的解析式；

（2）根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，然后由点A（0，8）、B（8， 0），可得OA=8，OB=8，从而可得OD=8﹣t，然后令y=0，求出点E的坐标为（﹣2，0），进而可得OE=2，DE=2+8﹣t=10﹣t，然后利用三角形的面积公式即可求△CED的面积S与D点

1St25t2运动时间t的函数解析式为：，然后转化为顶点式即可求出最值为：S最大25=2；

25（3）由（2）知：当t=5时，S最大=2，进而可知：当t=5时，OC=5，OD=3，进而可得

CD=34，从而确定C，D的坐标，即可求出直线CD的解析式，然后过E点作EF∥CD，交抛物线与点P，然后求出直线EF的解析式，与抛物线联立方程组解得即可得到其中的一个点P的坐标，然后利用面积法求出点E到CD的距离，过点D作DN⊥CD，垂足为N，且使DN等于点E到CD的距离，然后求出N的坐标，再过点N作NH∥CD，与抛物线交与点P，然后求出直线NH的解析式，与抛物线联立方程组求解即可得到其中的另两个点P的坐标．

510yxb3设直线EF的解析式为：，将E（﹣2，0）代入得：b=3，∴直线EF的解5105101yxyxyx23x833，将33，与2析式为：联立成方程组得：

34510xyx333x234200y1x23x8y200y0，或9，∴P（3，9）2，解得：；

2534125过点E作EG⊥CD，垂足为G，∵当t=5时，S△ECD=2CD•EG=2，∴EG=34，2534过点D作DN⊥CD，垂足为N，且使DN=34，过点N作NM⊥x轴，垂足为M，如

图2，

DN2125EGEDDN，∴EG•DN=ED•DM，即：DM=ED=34，∴可得△EGD∽△DMN，∴DM227752277522OM=34，由勾股定理得：MN=DNDM=34，∴N（34，34），过点N作NH5227yxb3∥CD，与抛物线交与点P，如图2，设直线NH的解析式为：，将N（34，7540540540yxyx34）33，将33，，代入上式得：b=3，∴直线NH的解析式为：

4540xyx333x81212y100yx3x8yx3x89，2y0，2与联立成方程组得：，解得：或4100∴P（8，0）或P（3，9），

综上所述：当△CED的面积最大时，在抛物线上存在点P（点E除外），使△PCD的面积等

3420041009）或P（8，0）或P（3，9）于△CED的最大面积，点P的坐标为：P（3，．

考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．动点型；4．存在型；5．最值问题；6．分

类讨论；7．压轴题．

2yaxbx2与坐标轴交于A、B、C三点，其中B（4，16．（2015梧州）如图，抛物线

0）、C（﹣2，0），连接AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作DE⊥x轴，

垂足为E，交AB于点F． （1）求此抛物线的解析式；

（2）在DE上作点G，使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；

（3）过D点作直线DH∥AC交AB于H，当△DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M、N两点的横坐标．

112yx2x242【答案】（1）；（2）2或3；（3）M点的横坐标为223，N点的横

坐

标

为

8233．

考点：1．二次函数综合题；2．分类讨论；3．最值问题；4．压轴题．

2yx4x5的顶点为D，与x轴交于A、B17．（2015北海）如图1所示，已知抛物线

两点，与y轴交于C点，E为对称轴上的一点，连接CE，将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后，点C的对应点C′恰好落在y轴上． （1）直接写出D点和E点的坐标；

（2）点F为直线C′E与已知抛物线的一个交点，点H是抛物线上C与F之间的一个动点，若过点H作直线HG与y轴平行，且与直线C′E交于点G，设点H的横坐标为m（0＜m＜4），那么当m为何值时，

SΔHGF:SΔBGF=5：6？

2yx4x5向右平移1个单位后得到的，点T（5，y）在（3）图2所示的抛物线是由

抛物线上，点P是抛物线上O与T之间的任意一点，在线段OT上是否存在一点Q，使△PQT

是等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）D（2，9），E（2，3）；（2）3）或（2，2）．

m13535m22，2；（3）（1，1）或（3，

（2）如图1所示：

2yx4x5的y=0得：x24x50，解得：x11，x25，所以点令抛物线

A（﹣1，0），B（5，0）．设直线C′E的解析式是ykxb，将E（2，3），C′（0，1），代

入得

b12kb3，解得：

k1b1，

（3）由平移的规律可知：平移后抛物线的解析式为

y(x1)24(x1)5=x26x．将x=5代入yx26x得：y=5，∴点T的坐标

为（5，5）．设直线OT的解析式为ykx，将x=5，y=5代入得；k=1，∴直线OT的解析式为yx，

①如图2所示：当PT∥x轴时，△PTQ为等腰直角三角形，

2yx6x得：x26x50，解得：x11，x25．∴点P的坐将y=5代入抛物线

标为（1，5）．将x=1代入yx得：y=1，∴点Q的坐标为（1，1）； ②如图3所示：

考点：1．二次函数综合题；2．相似三角形的判定与性质；3．二次函数图象与几何变换；4．存在型；5．分类讨论；6．压轴题．

2yax18．（2015南宁）在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线（a0）上两个不同

的点，其中A在第二象限，B在第一象限，

（1）如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积．

（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，A．B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． （3）在（2）的条件下，若直线y2x2分别交直线AB，y轴于点P、C，直线AB交y轴于点D，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．

1214xx1；xx1为常数；

【答案】（1）yx，AB（2）AB（3）P（5，5）

2

考点：1．二次函数综合题；2．探究型；3．压轴题． 19．（2015崇左）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A、B两点．

（1）则点A、B、C的坐标分别是A（__，__），B（__，__），C（__，__）；

y（2）设经过A、B两点的抛物线解析式为

1(x5)2k4，它的顶点为F，求证：直线

FA与⊙M相切；

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形．如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）A（2，0），B（8，0），C（0，4）；（2）证明见试题解析；（3）P（5，4），或（5，71），或（5，455）．

（3）存在；点P坐标为（5，4），或（5，71），或（5，455）；理由如下：

考点：1．二次函数综合题；2．存在型；3．分类讨论；4．压轴题．

【2014年题组】

1.（2014年福建三明）已知二次函数y=﹣x2+2bx+c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）

A. b≥﹣1 B. b≤﹣1 C. b≥1 D. b≤1 【答案】D． 【解析】

试题分析：∵抛物线y=﹣x2+2bx+c的对称轴为直线x=

2bb21，且a＜0，∴当x＞b

时，y随x的增大而减小.∵当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴b≤1．故选D． 考点：二次函数的性质．

2. （2014年广东省）二次函数

yax2bxca0的大致图象如图所示，关于该二次

函数，下列说法错误的是（ ）

1A. 函数有最小值 B. 对称轴是直线x=2 1C. 当x<2,y随x的增大而减小 D. 当 1< x < 2时，y>0

【答案】D．

考点：二次函数的图象和性质.

3. （2014年广西贵港）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论： ①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2， 其中正确的结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B．

考点：1.二次函数图象与系数的关系；2.不等式的性质．

4. （2014年湖北鄂州）已知抛物线的顶点为y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），

yAyyC的

点A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）在该抛物线上，当y0≥0恒成立时，B最小值为（ ）

A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 【答案】D． 【解析】

b试题分析：由0＜2a＜b，得x0=2a＜﹣1，由题意，如答图，过点A作AA1⊥x轴于点

A1，则AA1=yA，OA1=1，连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=yB﹣yC，CD=1，过点A作AF∥BC，交抛物线于点E

考点：1．二次函数的性质；2．曲线上点的坐标与方程的关系；3．数形结合思想的应用． 5.（2014年山东济南）二次函数的图象如图，对称轴为x1．若关于x的一元二次方程

x2bxt0（t为实数），在1x4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）

A. t1 B. 1t3 C. 1t8 D. 3t8 【答案】C．

考点：二次函数的图象和性质．

6. （2014年贵州安顺）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3．与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：

1①2a﹣b=0；②a+b+c＞0；③c=﹣3a；④只有当a=2时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使

△ACB为等腰三角形的a值可以有四个． 其中正确的结论是 ．（只填序号）

【答案】③④． 【解析】

试题分析：①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，∴AB=4.

b∴对称轴x=2a=1，即2a+b=0．故①错误.

②根据图示知，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0．故②错误； ③∵A点坐标为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，而b=﹣2a， ∴a+2a+c=0，即c=﹣3a．故③正确.

13④当a=2，则b=﹣1，c=2，对称轴x=1与x轴的交点为E，如答图， 13yx2x22. ∴抛物线的解析式为

考点：1.抛物线与x轴的交点；2.二次函数图象与系数的关系；3.等腰三角形的判定；4.分类思想的应用．

7. （2014年贵州安顺）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3．与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：

1①2a﹣b=0；②a+b+c＞0；③c=﹣3a；④只有当a=2时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使

△ACB为等腰三角形的a值可以有四个．

其中正确的结论是 ．（只填序号）

【答案】③④．

当AC=BC时，在△AOC中，AC2=1+c2，在△BOC中BC2=c2+9， ∵AC=BC，∴1+c2=c2+9，此方程无解．

经解方程组可知只有两个a值满足条件．故⑤错误． 综上所述，正确的结论是③④．

考点：1.抛物线与x轴的交点；2.二次函数图象与系数的关系；3.等腰三角形的判定；4.分类思想的应用．

8. （2014年湖南株洲）如果函数

ya1x23xa5a1的图象经过平面直角坐标系的四

个象限，那么a的取值范围是 ． 【答案】a＜﹣5.

9. （2014年吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物

线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x=﹣2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为 （用含a的式子表示）．

【答案】a+4．

考点：二次函数的性质．.

10.（2014年福建厦门）如图，已知c＜0，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点（x2＞x1），与y轴交于点C． （1）若x2=1，BC=5，求函数y=x2+bx+c的最小值；

OA2OM（2）过点A作AP⊥BC，垂足为P（点P在线段BC上），AP交y轴于点M．若，

求抛物线y=x2+bx+c顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式，并直接写出自变量的取值

范围．

93【答案】（1）4；（2）n=﹣m2﹣4m﹣4（m＞4）．

【解析】

考点：1.二次函数综合题；2.勾股定理；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.二次函数的性质；5.由实际问题列函数关系式；6.相似三角形的判定和性质．

☞考点归纳

归纳 1：二次函数中各系数a、b、c的几何意义

基础知识归纳： a决定开口方向，a>0开口向上，a<0开口向下，ab乘积决定对称轴的位置（左同右异）， c决定与y轴的交点位置．

基本方法归纳：根据a、b、c的符号逐步分析判断．

注意问题归纳：当只有ac或者bc时，要考虑用对称轴方程这个式子去代换变形．

2yaxbxc的顶点为D1, 2，与x轴的一个交点A在点3, 0和【例1】抛物线

2, 0之间，其部分图象如图所示，则以下结论：①b24ac<0；②abc<0；

2③ca2；④方程axbxc20有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C．

故选C．

考点：二次函数图象与系数的关系． 归纳 2：二次函数图象与几何变换 基础知识归纳：二次函数的平移．

基本方法归纳：关键是熟练掌握二次函数平移主要考虑顶点的变化． 注意问题归纳：平移规律是“左加右减，上加下减．

2yaxbxc的图象如图，则下列叙述正确的是（ ） 【例2】已知二次函数

A． abc＜0 B．﹣3a+c＜0

C． b2﹣4ac≥0 D．将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为

yax2c

【答案】B．

考点：二次函数图象与几何变换． 归纳 3：二次函数图象性质的综合应用

基础知识归纳：用待定系数法确定二次函数解析式，二次函数的图象与其他函数图象交点，与三角形和四边形的综合，面积问题．

基本方法归纳：解这类问题的一般方法是数形结合．

注意问题归纳：数形结合思想，将线段长度，图形面积与点的坐标联系起来是关键，同时注意坐标与线段间的转化时符号的处理．

13yx22与直线y=x交于点A，点B在直线【例3】如图，在平面直角坐标系中，直线

13yx2yaxbxc过点A，O，B，顶点为点E． 22上，∠BOA=90°．抛物线

（1）求点A，B的坐标；

（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；

（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．

1111yx2x22，顶点E的坐标是（2，8）【答案】（1）A（3，3），B（﹣1，1）；（2）；

（3）OD与CF平行．

（3）OD与CF平行．理由如下：

11由（2）知，抛物线的对称轴是x=2．∵直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，∴C（2，111ykxbk02）．设直线BC的表达式为，把B（﹣1，1），C（2，2）代入，得：1kkb131112b2kbyx3．∴直线BC的解析式为2，解得，233．∵直线BC与抛物线

12114412xx2xyx322，33，交于点B、D，∴3解得，x1=3，x2=﹣1．．把x1=3代入242DN1tanDONON6，得y1=9，∴点D的坐标是（3，9）．如图，作DN⊥x轴于点N，则111113yx22，∵FE∥x轴，点E的坐标为（2，8），∴点F的纵坐标是8．把y=8代入

1313111315115448244288，得x=，∴点F的坐标是（，），∴EF=．∵CE=

tanCFECE1EF6∴．∴∠CFE=∠DON．又∵FE∥x轴，

∴∠CMN=∠CFE．∴∠CMN=∠DON．∴OD∥CF，即OD与CF平行．

考点：二次函数综合题． ☞1年模拟 1．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）已知函数y=-（x-m）（x-n）（其中m＜n）的图

mn

象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=x的图象可能是（ ）

【答案】C．

考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象；3．反比例函数的图象．

12．（2015届山东省聊城市中考模拟）若函数y=mx2+（m+2）x+2m+1的图象与x轴只有一

个交点，那么m的值为（ ）

A．0 B．0或2 C．2或-2 D．0，2或-2 【答案】D． 【解析】

试题分析：分为两种情况：

1（1）当函数是二次函数时，∵函数y=mx2+（m+2）x+2m+1的图象与x轴只有一个交点，1∴△=（m+2）2-4m（2m+1）=0且m≠0，解得：m=±2；

（2）当函数是一次函数时，m=0，此时函数解析式是y=2x+1，和x轴只有一个交点．故选D．

考点：1．抛物线与x轴的交点；2．分类讨论． 3．（2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a﹣b+c=0；④5a＜b．其中正确结论是（ ）

A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ 【答案】B．

考点：二次函数图象与系数的关系． 4．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-3，0），（x1，0），且2＜x1＜3，与y轴的负半轴交于点（0，-3）的上方．下列结论：①a＞b＞0；②6a+c＜0；③9a+c＞0；④3a＜b+1．其中正确结论的个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D．

考点：二次函数图象与系数的关系． 5．（2015届山东省日照市中考一模）如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：

①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（-1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（ ）

A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤ 【答案】C．

考点：1．二次函数图象与系数的关系；2．抛物线与x轴的交点． 6．（2015届山东省聊城市中考模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：

给出了结论：

（1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为-3；

1（2）当−2＜x＜2时，y＜0；

（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（ ）

A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B． 【解析】

试题分析：由表格数据可知，二次函数的对称轴为直线x=1，所以，当x=1时，二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为-4；故（1）小题错误；

1根据表格数据，当-1＜x＜3时，y＜0，所以，-2＜x＜2时，y＜0正确，故（2）小题正确；

二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，分别为（-1，0）（3，0），它们分别在y轴两侧，故（3）小题正确； 综上所述，结论正确的是（2）（3）共2个．故选B． 考点：1．二次函数的最值；2．抛物线与x轴的交点． 7．（2015届广东省深圳市龙华新区中考二模）如图，已知抛物线y=mx2-6mx+5m与x轴交

于A、B两点，以AB为直径的⊙P经过该抛物线的顶点C，直线l∥x轴，交该抛物线于M、N两点，交⊙P与E、F两点，若EF=2

，则MN的长为（ ）

A．26 B．42 C．5 D．6 【答案】A．

考点：二次函数综合题． 8．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）“一般的，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．--苏科版《数学》

1九年级（下册）P21”参考上述教材中的话，判断方程x2-2x=x-2实数根的情况是（ ）

A．有三个实数根 B．有两个实数根 C．有一个实数根 D．无实数根 【答案】C．

考点：抛物线与x轴的交点． 9．（2015届河北省中考模拟二）王芳将如图所示的三条水平直线m1，m2，m3的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线m4，m5，m6的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了抛物线y=ax2-6ax-3，则她所选择的x轴和y轴分别为（ ）

A．m1，m4 B．m2，m3 C．m3，m6 D．m4，m5 【答案】A．

考点：二次函数的图象．

10．（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）下表中所列x，y的数值是某二次函数y=ax2+bx+c图象上的点所对应的坐标，其中x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，根据表中所提供的信息，以下判断正确的是（ ）． x … x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 … y … 16 m 9 k 9 m 16 …

①a＞0；②9＜m＜16；③k≤9；④b2≤4a（c﹣k）． A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C． 【解析】

试题分析：∵x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，其对应的函数值是先减小后增加，∴抛物线开口向上，∴a＞0，①正确；∴k＜9＜m＜16，∴9＜m＜16，②正确；∴k＜9，③不正确；∵

4acb2k4a，a＞0，∴4ac﹣b2≥4ak，∴b2≤4a（c﹣k），④正确．综上可得，判断正确

的是：①②④．故选C．

考点：1．二次函数图象与系数的关系；2．二次函数的性质． 11．（2015届北京市平谷区中考二模）如图，这个二次函数图象的表达式可能是 ．（只写出一个）

【答案】答案不唯一，如y=x2﹣x． 【解析】

试题分析：根据二次函数图象与表达式的关系可直接写出，答案不唯一，只是由图像可知注意二次项系数a＞0，b≠0，c=0即可．

考点：1．二次函数图象与表达式；2．开放型． 12．（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为 ． 【答案】8．

考点：1．抛物线的性质；2．抛物线与x轴的交点． 13．（2015届广东省广州市中考模拟）如图，抛物线的顶点为P（-2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，-2），点A的对应点为A′，则

抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为 ．

【答案】12． 【解析】

试题分析：连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，由题意可得出：AP∥A′P′，AP=A′P′，∴四边形APP′A′是平行四边形，∵抛物线的顶点为P（-2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，-2），∴PO=2222，∠AOP=45°，又∵AD⊥OP，∴△ADO是等腰直角三角形，∴PP′=22242，∴

2223232，∴抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为：AD=DO=sin45°•OA=24232122．故答案为：12．

考点：二次函数图象与几何变换． 14．（2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模）（10分）如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

（1）求A、B、C的坐标；

（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线

AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；

（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=22DQ，求点F的坐标．

1【答案】（1）A（﹣3，0）；B（1，0）；C（0，3）；（2）2；（3）（﹣4，﹣5）或（1，0）．

考点：1．二次函数综合题；2．最值问题；3．动点型．

1yx2bxc415．（2015届北京市门头沟区中考二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线

经过点A（4，0）和B（0，2）．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）在（1）的条件下，如果该抛物线的顶点为C，点B关于抛物线对称轴对称的点为D，求直线CD的表达式；

（3）在（2）的条件下，记该抛物线在点A，B之间的部分（含点A，B）为图象G，如果图象G向上平移m（m＞0）个单位后与直线CD只有一个公共点，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．

1511yxyx2x24242；【答案】（1）；（2）（3）0.5＜m≤1.5．

【解析】

1yx2bxc4试题分析：（1）由抛物线经过点A（4，0）和B（0，2），用待定系数法

即

可

求

出

该

抛

物

线

考点：二次函数综合题． 16．（2015届北京市门头沟区中考二模）我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．

如下图，抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线，设F1的顶点为A，F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．

（1）如图1，如果抛物线y=x 2的过顶抛物线为y=ax2+bx，C（2，0），那么 ①a= ，b= ．

②如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）如图2，抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为F2，B（2，c－1）．求四边形ABCD的面积．

127yx2x333的过顶抛物线是F2，四边形ABCD的面积为23，请直（3）如果抛物线

接写出点B的坐标．

【答案】（1）①a=1，b=2；②D；（2）4；（3）（13，1），（13，1）．

考点：1．二次函数综合题；2．新定义． 17．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）已知点M，N的坐标分别为（0，1），

1（0，-1），点P是抛物线y=4x2上的一个动点．

（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的相切；

1（2）设直线PM与抛物线y=4x2的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM=∠

QNM．

【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析．

QMMPNH，所以因为PH，MN，QR都垂直于直线y=-1，所以，PH∥MN∥QR，于是RNQRPHRNHN，因此，Rt△PHN∽Rt△QRN．于是∠HNP=∠RNQ，从而∠PNM=∠QNM．

考点：1．二次函数综合题；2．动点型． 18．（2015届安徽省安庆市中考二模）如图所示，二次函数y=﹣2x2+4x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．

（1）求m的值及点B的坐标； （2）求△ABC的面积；

（3）该二次函数图象上有一点D（x，y），使S△ABD=S△ABC，请求出D点的坐标． 【答案】（1）m=6，点B的坐标为（﹣1，0）；（2）S△ABC=12；（3）D点坐标为（2，6）、（1+

7，﹣6）、（1﹣7，﹣6）．

考点：1．抛物线与x轴的交点；2．二次函数图象上点的坐标特征；3．分类讨论． 19．（2015届安徽省安庆市中考二模）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，AB=2，BC=CD=4，AC、BD交于点O，在线段BC上，动点M以每秒1个单位长度的速度从点C出发向点B做匀速运动，同时动点N从点B出发向点C做匀速运动，当点M、N其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分别过点M、N做BC的垂线，分别交AC、BD于点E、F，连接EF．若运动时间为x秒，在运动过程中四边形EMNF总为矩形（点M、N重合除外）．

（1）求点N的运动速度；

（2）当x为多少时，矩形EMNF为正方形？

（3）当x为多少时，矩形EMNF的面积S最大？并求出最大值．

161【答案】（1）点N的运动速度是每秒2个单位长度；（2）当x=2或x=5时，矩形EMNF44为正方形；（3）当x=3时，矩形EMNF的面积S最大，最大值是3．

考点：1．四边形综合题；2．分类讨论；3．最值问题；4．二次函数的最值；5．动点型；6．综合题．

120．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）如图，直线y=-2x+2与x轴交于点B，与y

轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（-1，0）．

（1）求B，C两点坐标；

（2）求该二次函数的关系式；

（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标；

（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明问题．

13【答案】（1）B（4，0），C（0，2）；（2）y=-2x2+2x+2；（3）a=2时，S四边形CDBF的13最大值为2；E（2，1）；（4）存在．

考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．最值问题；4．二次函数的最值．

1121．（2015届山东省日照市中考一模）如图，抛物线y=2x2+mx+n与直线y=-2x+3交于A，

B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．

（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：

（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． （2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒2个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？

15113141744【答案】（1）抛物线的解析式为y=2x2-2x+3．3；（2）（11，36）、（3，9）、（3，9）；

点E的坐标为（2，1）．

是矩形，从而有ND′=OC=3，ON=D′C=DC．然后求出点D的坐标，从而得到OD、ON、NE的值，即可得到点E的坐标．

1试题解析：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y=2x2+mx+n，得

5n3m219mxn0n3， 2，解得：15∴抛物线的解析式为y=2x2-2x+3．

1yx32x0x4y1x25x3y3y1，∴点B的坐标为（4，1）22联立，解得：或．

过点B作BH⊥x轴于H，如图1．

∵C（3，0），B（4，1），∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4-3=1，∴BH=CH=1． ∵∠BHC=90°，∴∠BCH=45°，BC=2．

BC21同理：∠ACO=45°，AC=32，∴∠ACB=180°-45°-45°=90°，∴tan∠BAC=AC323；

（Ⅱ）（1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似． 过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°．

设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x． ∵PQ⊥PA，∠ACB=90°，∴∠APQ=∠ACB=90°．

若点G在点A的下方，①如图2①，当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB．

PGBC1∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，∴△PGA∽△BCA，∴AGAC3，

∴AG=3PG=3x． 则P（x，3-3x）．

15把P（x，3-3x）代入y=2x2-2x+3，得 152x2-2x+3=3-3x，整理得：x2+x=0

解得：x1=0（舍去），x2=-1（舍去）．

②如图2②，当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．

111115同理可得：AG=3PG=3x，则P（x，3-3x），把P（x，3-3x）代入y=2x2-2x+3，得 151132x2-2x+3=3-3x，整理得：x2-3x=0

131314解得：x1=0（舍去），x2=3，∴P（3，9）；

若点G在点A的上方，①当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB，同理可得：点P的坐标为（11，36）．

②当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．

1744同理可得：点P的坐标为P（3，9）．

13141744综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（3，9）、（3，9）；

（2）过点E作EN⊥y轴于N，如图3．

2在Rt△ANE中，EN=AE•sin45°=2AE，即AE=2EN，∴点M在整个运动中所用的时

DEED12=DE+EN． 间为

作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，∴∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．

考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．存在型；4．最值问题；5．分类讨论；6．综合题．

722．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）如图，对称轴为直线x=−2的抛物线经过点A

（-6，0）和点B（0，4）．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）设点E（x，y）是抛物线上的一个动点，且位于第三象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求▱OEAF的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

①当▱OEAF的面积为24时，请判断▱OEAF是否为菱形？

②是否存在点E，使▱OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

2725725【答案】（1）y=3（x+2）2-6，顶点坐标为（-2，-6）；（2）（-3，-4）．

考点：1．二次函数综合题；2．存在型．