第7讲 正弦定理和余弦定理
1．设△ABC的内角A，B，C所对的边别离为a，b，c，若2sin Acos B＝sin C，则△
ABC必然是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
2．(2021年山东)在△ABC中，角A，B，C的对边别离为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且知足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是( )
A．a＝2b B．b＝2a C．A＝2B D．B＝2A
π1
3．(2021年新课标Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sin A＝( )
4310
A. B. 1010
553
D.
10 10
3
C.
4．(2021年河南郑州模拟)已知a，b，c别离为△ABC三个内角A，B，C的对边，且 (b－c)(sin B＋sin C)＝(a－3c)sin A，则角B的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
5．(2021年新课标Ⅰ)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边别离为a，b，
c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( )
A．10 B．9 C．8 D．5
6．(2021年山东德州模拟)在△ABC中，AB＝( )
π
3，AC＝1，B＝，则△ABC的面积是
6
3333
A. B. C.或 D.或24242
3
3
3，BC＝3，其面积
7．(2021年湖北孝感一模)在锐角三角形ABC中，已知AB＝2
S△ABC＝3 2，则AC＝________.
2，角A的平分线AD＝
3，则AC8．(2021年重庆)在△ABC中，B＝120°，AB＝＝________.
39．(2021年北京)在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.
7(1)求sin C的值；
(2)若a＝7，求△ABC的面积．
10．(2021年新课标Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边别离为a，b，c，已知sin(A＋
C)＝8sin2
B2
.
(1)求cos B；
(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.
第7讲 正弦定理和余弦定理
1．B 解析：方式一，由已知，得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos
Asin B，即sin(A－B)＝0.因为－π＜A－B＜π，所以A＝B.
方式二，由正弦定理，得2acos B＝c，再由余弦定理，得2a·⇒a＝b.
2．A 解析：sin(A＋C)＋2sin Bcos C＝2sin Acos C＋cos Asin C，所以2sin Bcos C＝sin Acos C⇒2sin B＝sin A⇒2b＝a.故选A.
3．D 解析：设BC边上的高线为AD，则BC＝3AD，DC＝2AD.所以AC＝＝
5AD.由正弦定理知，＝，即sin Bsin Aa2＋c2－b2
2ac＝c⇒a2＝b2
AD2＋DC2
.故选D.
ACBC5AD22
＝
3ADsin A3
.解得sin A＝
1010
4．A 解析：由正弦定理＝＝及(b－c)·(sin B＋sin C)＝(a－
sin Asin Bsin C得(b－c)(b＋c)＝(a－
3c)a，即b2－c2＝a2－3
.∴B＝30°. 2
3ac.∴a2＋c2－b2＝
abc3c)sin A，
3ac.∵cos B＝
a2＋c2－b2
2ac5．D
，∴cos B＝
解析：23cos2A＋cos 2A＝25cos2A－1＝0，cos A＝
11
或cos A＝－(舍)，a255
＝b2＋c2－2bccos A,49＝b2＋36－12b×
1
，5b2－12b－65＝0，(5b＋13)(b－5)＝0，且5
b>0，所以b＝5.
6．C 解析：由正弦定理，得＝.解得sin C＝.由题意知C有两解．当Csin Csin B2＝时，A＝，此时S△ABC＝AB·AC·sinA＝；当C＝时，A＝，此时S△ABC＝
3222362π
π
1
3
2π
π
1
ABAC3
AB·AC·sinA＝34
.故选C.
63
11
7．3 解析：依题意有S△ABC＝AB×BC×sin B＝×2 22又角B为锐角，所以cos B＝
33
33
.所以AC＝
3×3sin B＝3 2，sin B＝.
AB2＋BC2－2AB×BC×cos B＝
12＋9－2×2 3×3×＝3.
8.6 解析：由正弦定理，得
＝，即＝.解得sin ∠sin ∠ADBsin Bsin ∠ADBsin 120°
ABAD23
2
ADB＝，∠ADB＝45°.从而∠BAD＝15°＝∠DAC.所以C＝180°－120°－30°＝30°，AC2＝2ABcos 30°＝
6.
3
9．解：(1)在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.
7sin C＝
csin A3 3a＝
14
.
3
(2)因为a＝7，c＝a＝3，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，
7即
72＝b2＋32－2×b×3×
1. 2
解得b＝8或b＝－5(舍)．
13
所以S△ABC＝bcsin A＝×8×3×＝6
22210．解：(1)由
1
3.
A＋C＝π－B，sin(A＋C)＝sin B＝8sin2
B2
＝4(1－cos B)，
两边平方，整理得17cos2B－32cos B＋15＝0. 15
解得cos B＝1(舍)或cos B＝.
17
158
(2)由cos B＝，得sin B＝.
17171417
故S△ABC＝acsin B＝ac＝2.∴ac＝.
2172由余弦定理，得
b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)＝36－2×
172
15
×1＋＝4. 17
所以b＝2.
