2019-2020学年甘肃省天水一中高三（上）第二次考试数
学试卷（文科）
题号 得分 一 二 三 总分 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
x+12
1. 已知集合A={x|x-2x-3＜0}，集合B={x|2＞1}，则CBA=（）
A. C.
B. D.
2. 下列说法错误的是（）
A. 命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0” B. “x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件 C. 若p∧q为假命题，则p、q均为假命题
D. 命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则非p：“∀x∈R，x2+x+1≥0”
3. 已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题：
①m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β②n∥m，n⊂α⇒m∥α ③α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n④m∥α，n⊂α⇒m∥n
其中正确命题的个数有（ ） A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 3个
4. 若cos（-α）=，则cos（+2α）的值为（）
A. B.
C.
，
D.
5. 已知等差数列的前n项为，且时的n为( ) A. 1 B. 6
，则使得取最小值
C. 7 D. 6或7
的
22
6. 若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x+y+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则
最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 8
7. 已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的
体积为
D. 9
A. B. C. D. 12
8. 函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（ ）
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A.
B.
C.
D.
9. x，y满足约束条件
a的值为（ ）
，若z=y-2ax取得最大值的最优解不唯一，则实数
A. 或-1
10. 已知函数f（x）=
B. 1或- C. 2或1
，g（x）=
D. 2或-1
sinx+cosx+4，若对任意t∈[-3，
3]，总存在s∈[0，]，使得f（t）+a≤g（s）（a＞0）成立，则实数a的取值范围为（（ ） A. （0，1]
B. （0，2] C. [1，2] D. [2，9]
11. 已知O是平面上一定点，A﹑B﹑C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ
（
+
）λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A. 外心
12. 定义R上的减函数
（ ）
A. 当且仅当B. 当且仅当
B. 内心
，其导函数
C. 重心
满足
D. 垂心
，则下列结论正确的是
，，
， ，
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
2
13. 若命题“p：∀x∈R，ax+2x+1＞0”是假命题，则实数a的取值范围是______． 14. 等差数列
，
的前n项和分别为，
，且
，则
______ ．
C. 对于D. 对于
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15. 已知,为单位向量且夹角为,设,,在方向上的投影为______ ．
16. 如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，
G，H分别为DE，AF的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成正四面体P-DEF，则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 等比数列
Ⅰ求数列Ⅱ设 18. 已知函数
求函数若把大值．
的单调区间； 向右平移个单位得到函数
，求
在区间
上的最小值和最
，
．
的各项均为正数，的通项公式；
，
，求数列
的前n项和．
，，
成等差数列，且满足
．
B，C的对边分别是a，b，c，sinA+sinB=2csinC．角A，已知（2a+b）（2b+a） 19. △ABC中，
（Ⅰ）求C的大小；
（Ⅱ）若，求△ABC周长的最大值．
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20. 在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，
SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求三棱锥B-CMN的体积．
21. 已知函数f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数，且f（x）+g（x）=log4
（4+1）．
（1）求f（x），g（x）的解析式； （2）若函数h（x）=f（x）-数a的取值范围．
在R上只有一个零点，求实
x
22 已知函数
．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）在定义域内恒有f（x）≤0，求实数a的取值范围．
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学试卷（文科）
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答案和解析
【答案】 1. A 2. C 8. B 9. B 13.
3. A
10. B 4. A 11. C 5. B 12. D
6. D
7. A
14. 15. 16.
17. 解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q＞0，
∵2a5，a4，4a6成等差数列， ∴2a4=2a5+4a6，
2
∴2a4=2a4（q+2q），
2
化为：2q+q-1=0，q＞0， 解得q=， 又满足∴
=4
， ，
化为：1=4a1q，解得a1=， ∴an=
*
（n∈N）；
（Ⅱ）bn===
-
，n∈N，
+
++
*
∴数列{bn}的前n项和Sn==1-*
，n∈N．
18. 解：（1）
=
=1+2
sinxcosx-2sin2x，
sin2x+cos2x=2sin（2x+），
令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z， 得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z， 可得函数
的单调增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z；
令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
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得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z， 可得函数
的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z；
（2）若把函数f（x）的图像向右平移个单位， 得到函数∵x∈[-，0]， ∴2x-∈[-，-]， ∴
故g（x）在区间
∈[-2，1]．
上的最小值为-2，最大值为1．
=
的图像，
19. 解：（Ⅰ）∵（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2csinC，
∴由正弦定理得
222
即a+b-c=-ab， ∴
由0＜C＜π， ∴
．
，∴
，
，
，
（Ⅱ）∵
∴a=2sinA，b=2sinB． 设周长为l， 则
===∵∴2当A
， ＜2sin（A+）+
，即
≤2+
，
,
.
时，取得最大值
∴△ABC周长的最大值为．
20. （1）证明：取AC中点D，连接SD，DB． 因为SA=SC，AB=BC，所以AC⊥SD且AC⊥BD， 因为SD∩BD=D，所以AC⊥平面SDB． 又SB⊂平面SDB，所以AC⊥SB；
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（2）解：因为AC⊥平面SDB，AC⊂平面ABC，所以平面SDB⊥平面ABC， 过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC，
因为平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，所以SD⊥平面ABC， 又因为NE⊥平面ABC，所以NE∥SD， 由于SN=NB，所以NE=SD= 所以S△CMB=CM•BM=
，
=.
…①，
，∴
．
…②
所以VB-CMN=VN-CMB=S△CMB•NE=
21. 解：（1）因为，
∴
由①②得，（2）由=得：
令t=2，则t＞0，即方程①当a=1时，
，满足条件；
x
．
，
…（*）只有一个大于0的根，
②当方程（*）有一正一负两根时，满足条件，则③当方程（*）有两个相等的且为正的实根时，
2
则△=8a+4（a-1）=0，∴
，∴a＞1，
，a=-1（舍）时，，
综上：
或a≥1．
22. 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
，
'
当a≤0时，f（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）上递减；
当a＞0时，令f（x）=0，得当f（x）＞0得，令f（x）＜0，得∴
在
''
'
（负根舍去）．
； ，
上递减；
上递增，在（
2
（2）当a=0时，f（x）=-x＜0，符合题意．
当a＞0时，∵a＞0，
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，
∴∴
， ，
∴0＜a≤2． 当a＜0时，且
与
在（0，+∞）上递减，
的图象在（0，+∞）上只有一个交点，
设此交点为（x0，y0），
则当x∈（0，x0）时，f（x）＞0， 故当a＜0时，不满足f（x）≤0． 综上，a的取值范围[0，2]. 【解析】
1. 【分析】
本题考查不等式求解及集合的补集，属于基础题.
根据集合A是二次不等式的解集，集合B是指数不等式的解集，因此可求出集合A，B，根据补集的求法求得CBA． 【解答】
2
解：因为A={x|x-2x-3＜0}={x|-1＜x＜3}， B={x|2x+1＞1}={x|x＞-1}， 则CBA=[3，+∞) , 故选A． 2. 【分析】
本题考查的知识点是四种命题，充要条件，复合命题，难度中档．
写出原命题的逆否命题，可判断A；根据充要条件的定义，可判断B；根据复合命题真假判断的真值表，可判断C；写出原命题的否定命题，可判断D． 【解答】
22
解：命题“若x-4x+3=0，则x=3”的逆否命题是“若x≠3，则x-4x+3≠0”，故A正确； “|x|＞0”⇔“x≠0”，则“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件，故B正确； 若p∧q为假命题，则p、q存在假命题，但不一定均为假命题，故C错误；
22
命题p：“∃x∈R，使得x+x+1＜0”，则非p：“∀x∈R，x+x+1≥0”，故D正确； 故选C．
3. 解：①由m⊂α，n⊂α，且m∩n=O，m∥β，n∥β⇒α∥β，故①不正确； ②n∥m，n⊂α，如果m⊂α则不可能有m∥α，可得②不正确； ③α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n或m，n异面，则③不正确； ④m∥α，n⊂α⇒m∥n或m，n异面，则④不正确． 综上可得，没有正确的命题． 故选：A．
由面面平行的判定定理，即可判断①的正误；运用线面平行的性质定理，即可判断②的正误；
由面面平行的定义和性质，即可判断③的正误；由线面的位置关系，及线面平行的性质即可判断④的正误．
本题考查空间线线、线面和面面的位置关系的判断，注意运用判定定理和性质定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题． 4. 【分析】
本题考查了二倍角余弦公式与诱导公式的应用问题，是基础题.
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利用二倍角公式求出cos（-2α）的值，再利用诱导公式求出cos（+2α）的值． 【解答】
解：∵cos（-α）=，
2
∴cos（-2α）=2cos（-α）-1
=2×=-，
-1
∴cos（+2α）=cos[π-（-2α）] =-cos（-2α） =．
故选A． 5. 【分析】
本题考查等差数列的前n项和，研究等差数列的前n项和的最小值，常用的方法是找出所有的负项，即可得到前n项和的最小值，属于基础题．
由题意，可根据a1+a5=-14，S9=-27，解出数列的公差，从而求得数列的通项公式，求出所有负数项的个数，即可得出Sn取最小值时，n所取的值． 【解答】
解：设等差数列{an}的公差是d， ∵a1+a5=-14，S9=-27，
∴2a1+4d=-14，即a1+2d=-7，① S9=
=9（a1+4d）=-27，即a1+4d=-3，②
联立①②得到：a1=-11，d=2． 故有an=a1+（n-1）d=2n-13． 令an≤0，可解得n≤，
由此知，数列的前6项为负项,第7项为正项， 故Sn取最小值时，n等于6． 故选B.
6. 【分析】
本题考查基本不等式，难点在于对“直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆心O（-1，2），”的理解与应用，难度适中.
【解答】
2222
解：由x+y+2x-4y+1=0得（x+1）+（y-2）=4， ∴该圆的圆心为O（-1，2），半径r=2，
22
又直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x+y+2x-4y+1=0截得的弦长为4， ∴直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆心O（-1，2）， ∴-2a-2b+2=0，即a+b=1， 又a＞0，b＞0，
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∴=（）•（a+b）=1+++4≥5+2=9（当且仅当a=，b=时取“=”）．
故选D.
7. 【分析】
本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原几何体，是中档题．
由三视图还原几何体，可知该几何体为组合体，左边部分是四分之一圆锥，右边部分为三棱锥，然后由锥体体积求解． 【解答】
解：由三视图还原几何体如图，
该几何体为组合体，左边部分是四分之一圆锥，右边部分为三棱锥， 则其体积V=
．
故选A． 8. 【分析】
本题考查函数的图象，考查对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于基础题.
代入特殊值，通过函数单调性逐一排除选项即可求解. 【解答】
fx）=解：当x＜0时，函数（递减，排除CD； 当x＞0时，函数f（x）=故可排除A，故只有B正确，
故选B．
，此时，f（1）=
=1，而选项A的最小值为2，
y=lnfx）=，由函数y=、（-x）递减知函数（
9. 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z=y-2ax得y=2ax+z，即直线的截距最
大，z也最大．
若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，
若a＞0，目标函数y=2ax+z的斜率k=2a＞0，要使z=y-2ax取得最大值的最优解不唯一，
则直线y=2ax+z与直线2x-y+2=0平行，此时2a=2，即a=1．
若a＜0，目标函数y=2ax+z的斜率k=2a＜0，要使z=y-2ax取得最大值的最优解不唯一，
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则直线y=2ax+z与直线x+y-2=0，平行，此时2a=-1，解得a=- 综上a=1或a=-，
故选：B
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=2ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论．
10. 解：对于函数f（x），当x≤0时，f（x）=x+3，由-3≤x≤0，可得f（t）∈[-4，3]，
22
当x＞0时，f（x）=-x+2x+3=-（x-1）+4，由0＜x≤3，可得f（x）∈[0，4]， ∴对任意t∈[-3，3]，f（t）∈[-4，4]，
对于函数g（x）=∵x∈[0，]，
sinx+cosx+4=2sin（x+）+4，
∴（x+）∈[，π]， ∴g（x）∈[4+
，6]，
，6]，
∴对于s∈[0，]，使得g（s）∈[4+
∵对任意t∈[-3，3]，总存在s∈[0，]，使得f（t）+a≤g（s）（a＞0）成立， ∴a+4≤6，
解得0＜a≤2， 故选：B．
分别求出f（x）在[-3，3]的值域，以及g（x）在[0，]的值域，对任意t∈[-3，3]，总存在s∈[0，]，使得f（t）+a≤g（s）（a＞0）成立，得到a的关系式，解出即可 本题考查分段函数的值域，函数的单调性及运用，同时考查任意的，总存在的类型的解法，注意转化为求函数的值域，以及™的包含关系，本题属于中档题．
11. 解：∵
∴=+λ
=（+）
设它们等于t，
而+=2 λ
（+）表示与共线的向量
而点D是BC的中点，所以即P的轨迹一定通过三角形的重心．故选C 将
=
提取出来，转化成λt（+），而λt（+）表示与共线的向
量，点D是BC的中点，故P的轨迹一定通过三角形的重心．
本题主要考查了空间向量的加减法，以及三角形的三心等知识，属于基础题．
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12. 【分析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性、不等式的性质与解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
f（x）是定义在R上的减函数，
，可得
＞0，因此函数y=（x-1）f
（x）在R上单调递增，对x分类讨论即可得出． 【解答】
解：∵f（x）是定义在R上的减函数，f′(x)＜0， ∴
，化为f(x)+x
＞
，
∴f（x）+f′(x)(x-1)＞0， ∴＞0，
∴函数y=(x-1)f(x)在R上单调递增， 而x=1时，y=0，则x＜1时，y＜0， 当x∈(1，+∞)时，x-1＞0，故f(x)＞0， 又f（x）是定义在R上的减函数， ∴x≤1时，f(x)＞0也成立， ∴f（x）＞0对任意x∈R成立． 故选D．
13. 【分析】
本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了二次函数的图象和性质，难度中档．
2
若命题“p：∀x∈R，ax+2x+1＞0”是假命题，则是真命题，根据a的取值分类讨论，进而得到实数a的取值范围． 【解答】
2
解：若命题“p：∀x∈R，ax+2x+1＞0”是假命题，
2
则∃x∈R，ax+2x+1≤0为真命题，
当a=0时，y=2x+1为一次函数，满足条件；
2
当a＜0时，y=ax+2x+1是图象开口朝下的二次函数，满足条件；
2
当a＞0时，y=ax+2x+1是图象开口朝上的二次函数， 则函数图象与x轴有交点，即=4-4a≥0， 解得0＜a≤1.
综上，实数a的取值范围是，
. 故答案为
14. 【分析】
本题主要考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题.
根据等差数列的前n项和公式进行转化即可． 【解答】
解：在等差数列中，
=
=
=
，
∵∴=
，
=.
故答案为.
15. 【分析】
本题考查单位向量及向量投影的定义.
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已知，且，根据数量积的定义可求出及的值，从而得出
在方向上投影的值． 【解答】 解：
=
=
=，且
；
∴在方向上的投影为：
=
故答案为．
．
16. 【分析】
本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧． 折成的四面体是正四面体，画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线角转化为一个三角形的内角来计算． 【解答】
解：如图，连接HE，取HE的中点K，连接GK，则GK∥DH，故∠PGK即为所求的异面直线角或者其补角．
设这个正四面体的棱长为2，在△PGK中，故
．
，，
即异面直线PG与DH所成的角的余弦值是． 故答案为：．
17. 本题考查了“裂项求和”方法、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查
了推理能力与计算能力，属于中档题．
（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q＞0，由2a5，a4，4a6成等差数列，可得2a4=2a5+4a6，
22
化为：2q+q-1=0，q＞0，解得q．又满足a4=4a3，化为：1=4a1q，解得a1，可得an； （Ⅱ）bn=
=
=
-，n∈N，利用“裂项求和”方法即可得
*
出．
18. 本题主要考查三角函数的化简及函数y=Asin（ωx+φ）的图象性质和最值，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．
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（1）利用二倍角公式和辅助角公式，化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调区间；
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，由x的范围求出
的范围，即可利用正弦函数的性质求出g(x)的范围．
19. 本题考查三角形周长的最大值的求法，考查余弦定理、正弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、方程与函数思想，是中档题．
222
（Ⅰ）由正弦定理得到a+b-c=-ab，由此利用余弦定理能求出
；
，由此能
（Ⅱ）由正弦定理求出a=2sinA，b=2sinB．由此求出周长l=求出△ABC周长的最大值．
20. 本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，解题的关键是掌握线面垂直的判定与
性质，属于中档题．
DB，（1）取AC 中点D，连接SD，证明AC⊥平面SDB，由线面垂直的性质可得AC⊥SB；
（2）由VB-CMN=VN-CMB，即可求得三棱锥B-CMN的体积．
21. 本题考查函数的零点的求法，分类讨论思想的应用，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．
（1）利用函数的奇偶性列出方程组求解即可得到函数的解析式．
（2）利用函数只有一个零点，通过换元法，对a讨论，结合二次函数的性质求解即可． 22. 本题主要考查导数的应用，函数的单调性以及函数的最值在问题中的应用，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于较难题．
（1）求出导函数通过a与0的大小比较，判断导函数的符号，然后求解单调性． （2）通过a与0的大小，分类讨论函数的最值，推出结果即可．
第14页，共14页
