FDTD方法在光子晶体光纤中的应用

　　光　学　仪　器OPTICALINSTRUMENTS

Vol.27,No.4

August,2005

文章编号:100525630(2005)0420022204

FDTD方法在光子晶体光纤中的应用

刘　珂,杨冬晓

(浙江大学信息与电子工程学系,浙江杭州310027)

Ξ

　　摘要:光子晶体光纤是近年来研究的热点,提出时域有限差分法在光子晶体光纤理论分析中应用的具体方法。通过实例计算,得到了光子晶体光纤的有效折射率等传播参量。

关键词:时域有限差分法;FDTD;光子晶体光纤

中图分类号:TN252　　　文献标识码:A

TheapplicationofFDTDmethodinphotoniccrystalfibers

LIUKe,YANGDong2xiao

(DepartmentofInformationScienceandElectronicEngineering,ZhejiangUniversity,Hangzhou310027,China)

　　Abstract:Inthepaper,amethodbasedonFDTDisappliedtocalulatethephotoniccrystalfiber,whichisrecentlythefocusofresearch.Byanexample,itisprovedthattheeffectiverefractiveindexof

.thephotoniccrystalfibercanbecalculatedandotherusefulparameterscanbecalculatedbythismeans

Keywords:time2domainfinite2differencemethod;FDTD;photoniccrystalfiber

1　引　言

从1992年RussellPSJ等人提出了光子晶体光纤(photoniccrystalfiber,简称PCF,又称为微结构光纤或多孔光纤)的概念起[1],到1996年第一根光子晶体光纤在英国南安普顿大学拉成制成功[2],光子晶体光纤逐渐受到了极大的关注,对于其特性和应用的研究逐渐成为热点[3]。光子晶体光纤的包层是由周期性排列的二维光子晶体组成,纤芯由周期性结构中的缺陷形成,对于SiO2制成的这种光纤,缺陷可以是由空气孔本身形成,也可以是由SiO2填补空气孔而形成。图1表示了这两种不同的光纤的基本结构。

(a)　　　　　　　　　　　　(b)

图1　光子晶体光纤的基本结构图

(a)光子带隙PCF;(b)全内反射PCF。

Ξ

收稿日期:2004211201

基金项目:国家自然科学基金资助项目(60477033)。

作者简介:刘　珂(19792),男,河南郑州人,硕士研究生,主要从事光纤光学、光纤传感方面的研究。

第4期刘　珂等:　FDTD方法在光子晶体光纤中的应用　·23·

对于第一种结构,光子晶体中的光子带隙(photoniccrystalgap,PCG)概念可以解释其导光原理,第

二种结构则可以使用等效折射率的方法用普通单模光纤(SMF)的导模原理来说明。这两种光纤分别被称作全内反射(totalinternalreflection)光纤和带隙波导(bandgapguidance)光纤。

目前对于光子晶体光纤的导模研究可以采用多种方法:有效折射率模型[4],全矢量方法[5],时域有限差分法[6],有限元法[7]等等。这其中,时域有限差分法(time2domainfinate2difference,FDTD)作为较为成熟的电磁领域的计算方法,随着计算机领域的飞速发展在一定程度上克服了其计算量偏大的弱点,而其简明直接易于编程的特点日益凸现,加上这种算法是直接基于Maxwell方程建立的,具有广泛的适用性,同时它还具有可以通过傅里叶变换,一次计算出包含很大频率范围的结果,因此应用范围越来越广。现探讨使用FDTD方法在光子晶体光纤分析中的应用。2　FDTD的基本原理和应用

1966年YeeKS创立了计算电磁场的时域有限差分法(FDTD)[8],在计算电磁场的各个领域得到了广泛应用。主要思想是把Maxwell方程在空间、时间上离散化,用差分方程代替一阶偏微分方程,求解差分方程组,从而得出各网格单元的场值:电场和磁场交叉放置,电场分量位于网格单元每条棱的中心,磁场分量位于网格单元每个面的中心,每个磁场(电场)分量都有4个电场(磁场)分量环绕,它既满足了分界面的连续性条件,又满足了法拉第和安培定律,FDTD空间网格单元上电场和磁场各分量的分布见图2。

图2　FDTD离散中的Yee元胞示意图

对于Maxwell方程为利用各向同性线性介质中的本构关系,同时考虑到光纤中的无源各向同性的线性区域,Maxwell旋度方程可以写成如下的形式:

5H1=-󰂈×E

5tΛ(r)5E1Ρ(r)=󰂈×H-E5tΕ(r)Ε(r)

(1)(2)

　　在直角坐标系中,假设光子晶体光纤中的导模在z方向为一常量Β,在计算区域中的所有场分量都可

以写作<(x,y,z)=<(x,y)ejΒz,其中<表示任意场分量,因此对z方向的偏导数可以用jΒ代替[7]。为了减少运算中的计算量,假设Hx、Hy、Ez的实部具有cos(Βz+<)的形式,相应的Ex、Ey、Hz具有sin(Βz+<)的形式,并只考虑计算中的实部,这样在直角坐标系中,根据Yee氏网格离散化的方法,上式中的关于x方向的表达式可以表示为

H

x

n+

i,j2

1=H

x

n-i,j2

1∃t-Λi,j

Ezn+i,j2

1-Ez

∃y

n+i,j2

1-ΒEyn+i,j2

1(3)

　·24·光　学　仪　器第27卷

由此,可以得到电场分量E的表达式

(4)

∃y

同理,可以得到y、z方向的电场和磁场分量的离散方程,这些即是计算光子晶体光纤的FDTD方法的基本计算公式。

Ex

n+1i,j

ΕΡi,j∃t󰃗2i,j-=ExΕ2i,j+Ρi,j∃t󰃗1n+i,j2

∃tH

+×Ε2i,j+Ρi,j∃t󰃗z

n+

i,j2

1-H

z

n+i,j2

1+ΒH

y

n+

i,j2

13　参量、边界及激励源的设定311　参量的选择

根据Courant稳定性条件,空间和时间离散间隔之间应当满足的关系为:

1∃t≤-2

c∃x+∃y-2+(2󰃗Β)-2

考虑到数值色散对空间离散间隔的要求

∃x,∃y≤(5)

Κ(6)

12

从这些条件可以发现,减小网格尺寸虽然可以减少数值色散,但是会引起计算存储量的增大,因此需要综合考虑,权衡处理。312　边界的设定

由于受到计算机容量的,故FDTD计算只能在有限区域进行,为了能模拟开域的电磁散射过程,在计算区域的截断边界必须给出吸收边界的条件。由于光子晶体光纤对光束良好的约束性,同时考虑到计算可以取相对较大的计算区域以减少误差,因此实际计算中采用相对简单的Mur二阶吸收边界条件。313　激励源的设定

为了在已知结构中激励出需要的模式,就要选FDTD方法中一个十分重要的问题就是激励源的选择。择合适的激励源。为了体现FDTD在时域中计算的优点,可以使用脉冲激励的方法,在时域用脉冲激励,

可以得到在一个频率段的全部频率响应。同时需要注意脉冲与所求解的场的波形保持最大近似性。考虑到光在波导中传输,电磁场的横向分量比较大,可使用Hz或Ez分量进行激励,在涉及的计算中,使用频段覆盖较为全面的窗函数,在Hz和Ez方向进行激励计算。4　计算实例

实际计算中按照Blazephotonics公司的无限单模光子晶体光纤(endlesslysinglemodePCF)建立计

　　图3　波长和有效折射率的关系　　　　　　图4　固定传播常数下光子晶体光纤频谱图　

算模型,该光纤的截面如图1(b)所示。其参数分别为:孔洞间距810Λm,孔洞直径和孔间距之比为0146,纤

第4期刘　珂等:　FDTD方法在光子晶体光纤中的应用　·25·

芯直径为1210Λm。计算中取物质的介电常数为2110。将整个计算区域划分为90,000(300×300)个网格,时间步长取40000步,每步长为∃t=019󰃗c

工作波长的关系:

Β(106)工作波长

(um)

421256

511802

611498

∃x-2+∃y-2+(2󰃗Β)-2经过计算可以得到如表1所示的Β和

表1　传播常数和工作波长的关系

71128

811117

9019

1001888

1101804

相应的工作波长Κ和有效折射率neff的关系如图3所示。

同时得到时域各种参量,通过把时频转换,发现在一个很宽的频带内支持单模传播,如图4,即可以证明了光子晶体光纤的无限单模特性。5　结　论

以上结合光子晶体光纤的性质,利用从Maxwell的方程出发的FDTD公式,将三维对象化为二维计算,可以获得光子晶体光纤波长与有效折射率的对应关系,并通过变换到频域可以得到与实际非常吻合的单模特性,证明这种方法的确为进一步分析光子晶体光纤的特性提供了一种有效而简洁的途径。6　参考文献

[1]　RussellPSJ,KnightJC,etal..Recentprogressinphotoniccrystalfiber[A].OpticalFiberCommunicationConference[C].

～100.Washington:OpticalSocietyofAmerica,2000.98

[2]　KnightJC,BirksTA,RusselPSJ,etal..All2silicasingle2modeopticalfiberwithphotoniccrystalcladding[J].OptLett,1996,21:

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[3]　PhilipR.Photoniccrystalfibers[J].Science,2003,299:358～362.

[4]　TanyaMM,RichardsonDJ,Broderick,NGR,etal..Holeyopticalfiber:anefficientmodalmodel[J].LightWaveTechnol,1999,

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[6]　QiuM.Analysisofguidedmodesinphotoniccrystalfibersusingthefinite2differencetime2domainmethod[J].MicrowOptTechn

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2002,14(11):1530～1532.

[8]　YeeKSNumericalsolutionofinitialboun2daryvalueproblemsinvolvingMaxwell’sequationinisotropicmedia[J].IEEETrans.

～307.AP,1966,14(3):302