处理平衡问题的几种方法

一、合成、分解法

利用力的合成与分解解决三力平衡的问题．具体求解时有两种思路：一是将某力沿另两个力的反方向进行分解，将三力转化为四力，构成两对平衡力；二是某二力进行合成，将三力转化为二力，构成一对平衡力．

[例1] 如图所示，石拱桥的正有一质量为m的对称楔形石块，侧面与竖直方向的夹角为α，重力加速度为g。若接触面间的摩擦力忽略不计，则石块侧面所受弹力的大小为( )

mg

A.2sin α 1

C.2mgtan α

mgB.2cos α 1

D.2mgcot α

[解析] 石块受力如图所示，由对称性可知两侧面所受弹力相等，设为FN，由三力平衡可知四边形OABC为菱形，故△ODC为直角三角形，且∠OCD为α，1mg则由mg＝FNsin α，可得FN＝，故A正确．

22sin α

[答案] A 二、图解法

在共点力的平衡中，有些题目中常有“缓慢”一词，则物体处于动态平衡状态．解决动态平衡类问题常用图解法，图解法就是在对物体进行受力分析(一般受三个力)的基础上，若满足有一个力大小、方向均不变，另有一个力方向不变时，可画出这三个力的封闭矢量三角形来分析力的变化情况的方法，图解法也常用于求极值问题．

[例2] 如图所示，一小球在斜面上处于静止状态，不考虑一切摩擦，如果把竖直挡板由竖直位置缓慢绕O点转至水平位置，则此过程中球对挡板的压力

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F1和球对斜面的压力F2的变化情况是( )

A．F1先增大后减小，F2一直减小 B．F1先减小后增大，F2一直减小 C．F1和F2都一直减小 D．F1和F2都一直增大

[解析] 小球受力如图甲所示，因挡板是缓慢转动，所以小球处于动态平衡状态，在转动过程中，此三力(重力、斜面支持力、挡板弹力)组成矢量三角形的变化情况如图乙所示(重力大小方向均不变，斜面对其支持力方向始终不变)，由图可知此过程中斜面对小球的支持力不断减小，挡板对小球弹力先减小后增大，再由牛顿第三定律知B对．

[答案] B 三、正交分解法

物体受到三个或三个以上力的作用时，常用正交分解法列平衡方程求解：Fx合＝0，Fy合＝0.为方便计算，建立坐标系时以使尽可能多的力落在坐标轴上为原则．

[例3] 如图所示，用与水平方向成θ角的推力F作用在物块上，随着θ逐渐减小直到水平的过程中，物块始终沿水平面做匀速直线运动．关于物块受到的外力，下列判断正确的是( )

A．推力F先增大后减小 B．推力F一直减小

C．物块受到的摩擦力先减小后增大

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D．物块受到的摩擦力一直不变

[解析] 对物体受力分析，建立如图所示的坐标系．由平衡条件得Fcos θ－Ff＝0

FN－(mg＋Fsin θ)＝0 又Ff＝μFN 联立可得F＝确．

[答案] B 四、三力汇交原理

物体受三个共面非平行外力作用而平衡时，这三个力必为共点力． [例4] 一根长2 m，重为G的不均匀直棒AB，用两根细绳水平悬挂在天花板上，当棒平衡时细绳与水平面的夹角如图所示，则关于直棒重心C的位置下列说法正确的是( )

μmg

，可见，当θ减小时，F一直减小，故选项B正

cos θ－μsin θ

A．距离B端0.5 m处 B．距离B端0.75 m处 3

C．距离B端2 m处 3

D．距离B端3 m处

[解析] 当一个物体受三个力作用而处于平衡状态，如果其中两个力的作用线相交于一点，则第三个力的作用线必通过前两个力作用线的相交点，把O1A和O2B延长相交于O点，则重心C一定在过O点的竖直线上，如图所示．由几11

何知识可知：BO＝2AB＝1 m，BC＝2BO＝0.5 m，故重心应在距B端0.5 m处．A

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项正确．

[答案] A

五、整体法和隔离法

选择研究对象是解决物理问题的首要环节．若一个系统中涉及两个或者两个以上物体的平衡问题，在选取研究对象时，要灵活运用整体法和隔离法．对于多物体问题，如果不求物体间的相互作用力，我们优先采用整体法，这样涉及的研究对象少，未知量少，方程少，求解简便；很多情况下，通常采用整体法和隔离法相结合的方法．

[例5] 如图所示，顶端装有定滑轮的斜面体放在粗糙水平面上，A、B两物体通过细绳相连，并处于静止状态(不计绳的质量和绳与滑轮间的摩擦)．现用水平向右的力F作用于物体B上，将物体B缓慢拉高一定的距离，此过程中斜面体与物体A仍然保持静止．在此过程中( )

A．水平力F一定变小

B．斜面体所受地面的支持力一定变大 C．物体A所受斜面体的摩擦力一定变大 D．地面对斜面体的摩擦力一定变大

[解析] 隔离物体B为研究对象，分析其受力情况如图所示．则有F＝mgtan mg

θ，FT＝cos θ，在物体B缓慢拉高的过程中，θ增大，则水平力F随之变大，对A、B两物体与斜面体这个整体而言，由于斜面体与物体A仍然保持静止，则地面对斜面体的摩擦力一定变大，但是因为整体竖直方向并没有其他力，故斜面体所受地面的支持力不变；在这个过程中尽管绳子张力变大，但是由于物体A所受斜面体的摩擦力开始并不知道其方向，故物体A所受斜面体的摩擦力的情况无法确定，所以答案为D.

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[答案] D

六、临界问题的常用处理方法——假设法 运用假设法解题的基本步骤是： (1)明确研究对象； (2)画受力图；

(3)假设可发生的临界现象；

(4)列出满足所发生的临界现象的平衡方程求解．

[例6] 倾角为θ＝37°的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G的物体A，物体A与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5.现给A施以一水平力F，如图所示．设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，如果物体A能在斜面上静止，水平推力F与G的比值可能是( )

A．3 C．1

[解析] 设物体刚好不下滑时F＝F1， 则F1cos θ＋μFN＝Gsin θ， FN＝F1sin θ＋Gcos θ.

－0.5×cos 37°0.22F1sin 37°得：G＝＝＝；

cos 37°＋0.5×sin 37°1.111设物体刚好不上滑时F＝F2，则： F2cos θ＝μFN＋Gsin θ， FN＝F2sin θ＋Gcos θ，

＋0.5×cos 37°1F2sin 37°

得：G＝＝＝2，

cos 37°－0.5×sin 37°0.52F

即11≤G≤2，故选B、C、D. [答案] BCD

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B．2 D．0.5

七、相似三角形法

物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，画出其中任意两个力的合力与第三个力等值反向的平行四边形中，可能有力三角形与题设图中的几何三角形相似，进而得到力三角形与几何三角形对应成比例，根据比值便可计算出未知力的大小与方向．

[例7] 如图所示，一个重为G的小球套在竖直放置的半径为R的光滑圆环上，一个劲度系数为k，自然长度为L(L＜2R)的轻质弹簧，一端与小球相连，另一端固定在大环的最高点，求小球处于静止状态时，弹簧与竖直方向的夹角φ.

[解析] 对小球B受力分析如图所示，由几何关系有△AOB∽△CDB，

RG则AB＝F 又F＝k(AB－L) 联立可得AB＝

kRL

kR－G

AB2ABkRLkL

在△AOB中，cos φ＝＝＝＝. R 2R2RkR－G2kR－G则φ＝arccos

kL

2kR－GkL

2kR－G

[答案] arccos

八、正弦定理法

三力平衡时，三力合力为零．三个力可构成一个封闭三角形，若由题设条件

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寻找到角度关系，则可由正弦定理列式求解．

[例8] 一盏电灯重力为G，悬于天花板上A点，在电线O处系一细线OB，使电线OA与竖直方向的夹角为β＝30°，如图所示．现保持β角不变，缓慢调整OB方向至OB线上拉力最小为止，此时OB与水平方向的夹角α等于多少？最小拉力是多少？

[解析] 对电灯受力分析如图所示．据三力平衡特点可知：OA、OB对O点的作用力FTA、FTB的合力FT与G等大反向，即FT＝G①

在△OFTBFT中，∠FTOFTB＝90°－α

又∠OFTFTB＝∠FTOA＝β，故∠OFTBFT＝180°－(90°－α)－β＝90°＋α－β FTB由正弦定理得sin β＝联立①②解得FTB＝

FT②

sin90°＋α－β

Gsin β

cos α－β

因β不变，故当α＝β＝30°时，FTB最小，且FTB＝Gsin β＝G/2. G[答案] 30° 2

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