互相关函数与自相关函数-考研信号与系统

Hey小伙伴们，又到了一年一度的考研复习季！今天，我们来深度剖析信号与系统中的一个重要概念——互相关函数与自相关函数。这两个函数不仅在考试中频繁出现，也是理解信号与系统的基础之一。快来一起get这些干货吧！🌟

🔍 一、基础概念篇

1. 什么是自相关函数？
自相关函数（Autocorrelation Function）描述的是信号与其自身在不同时间点的相似度。简单来说，就是信号x(t)在t时刻和t+τ时刻的乘积的平均值，用R_xx(τ)表示。自相关函数的一个重要性质是它是偶函数，即R_xx(τ) = R_xx(-τ)。

公式：
[ R_{xx}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t+\tau) , dt ]
（对于离散信号，则是求和形式）

2. 什么是互相关函数？
互相关函数（Cross-correlation Function）则用于描述两个不同信号x(t)和y(t)在不同时间点的相似度。它是信号x(t)在t时刻与信号y(t)在t+τ时刻的乘积的平均值，用R_xy(τ)表示。

公式：
[ R_{xy}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)y(t+\tau) , dt ]
（对于离散信号，则是求和形式）

📚 二、重要性质篇

1. 自相关函数的性质

• 偶函数：R_xx(τ) = R_xx(-τ)
• 最大值：当τ=0时，R_xx(0)达到最大值，等于信号的能量
• 周期性：如果信号x(t)是周期性的，那么R_xx(τ)也是同频率的周期函数

2. 互相关函数的性质

• 非对称性：互相关函数通常不是偶函数
• 物理意义：反映两个信号在不同时间延迟下的相似度，常用于信号检测、定位等领域

📝 三、考研真题解析

例题：已知信号x(n)和y(n)，求它们的互相关函数R_xy(m)。

对于离散信号，互相关函数的计算公式为： 

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