高数应用题及答案

2010.12 1.（17页例5）

圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为

，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？

解：如图所示，圆柱体高h与底半径r满足 h2r2L2 圆柱体的体积公式为

Vrh 将rLh代入得

V(L2h2)h 求导得

V(2h2(L2h2))(L23h2) 令V0得h最大.

2.17页例6

求曲线yx上的点，使其到点A3,0的距离最短．

22L r h2223663L，并由此解出rL.即当底半径rL，高hL时，圆柱体的体积3333解：曲线yx上的点，到点A3,0的距离公式为

2设所求的点Px,y,PAd, 则y2x,(x0)d＝x3y02x5222x26x9xx25x92x5x95得x

25易知，x是函数d的极小值点，也是最小值点.2510此时， y2,y,22510510所求的点为P,或P,.2222510510,或P,即曲线y2x上的点P到点A3,0的距离最短。 2222

令d0,

3.17页例7

欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底边的边长为x，高为h，用材料为y，由已知xh108,h2108 2xyx24xhx24x令y2x且y21084322 x2xx4320，解得x6是唯一驻点， x20，

x62432x3说明x6是函数的极小值点，所以当x6，h

4.35页第一题 求曲线

上的点，使其到点

1083时用料最省。 36的距离最短．

3.解： 设所求的点Px,y,PAd, 则y22x,(x0)d＝x2y02x22x2x4222x24x42xx22x4x1x2x42令d得x10,

易知，x1是函数d的极小值点，也是最小值点.此时， y2212,y2,所求的点为P1,2或P1,2.即曲线y22x上的点P1,2或P1,2到点A2,0的距离最短



5.35页第2题

某厂要生产一种体积为V的无盖圆形铁桶，问怎样才能使用料最省？

解：设容器的底半径为r，高为h，则其表面积为

Sπr22πrhπr2S2πr由S0，得唯一驻点r3器的底半径与高均为32V r2V 2rVVV，由实际问题可知，当r3时可使用料最省，此时h3，即当容2π2ππV时，用料最省． π6.35页第3题

欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？

解：设长方体的底边长为x米，高为h米，用材料为y. 则

由已知x2h62.5得hyx24xhx2250 ，x得x3125，x5

x 62.5 2xh 令y2x2500x2易知，x5是函数S的极小值点，也是最小值点.

62.52.5 2.5答：当该长方体的底边长为5米，高为2.5米时用料最省。

此时有，h

7.形考作业册13页第5题

一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？

解：设圆柱体半径为R，高为h，表面积为s，则 V2V2h,S2Rh2R2R2 2RR令S4R2V02R得R3VVV33当R0,时，S0,当R,时，S0 222RV是函数S的极小值点，也是最小值点.2

4V此时h=3.3R h

答：当R3

V4V h3时表面积最大. 2