高三数学等差数列测试题百度文库

一、等差数列选择题

21．已知等差数列an的前n项和为Sn，且Snn.定义数列bn如下：

m1bmmN*m是使不等式anmmN成立的所有n中的最小值，则b1 b3 b5A．25

B．50

C．75

D．100

*b19（ ）

2．数列an是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大A．8 A．8

21，则该数列的项数是（ ） 2B．4 B．10

C．12 C．12

D．16 D．14

3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于（ ） 4．等差数列{an}的公差为2，若a2,a4,a8成等比数列，则S9（ ） A．72

B．90

C．36

D．45

5．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（ ） A．

82两 5B．

84两 5C．

86两 5D．

88两 56．已知Sn为等差数列an的前n项和，a3S518，a6a33，则an（ ） A．n1

B．n

C．2n1

D．2n

7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，则下列判断错误的是（ ） A．S5，S10-S5，S15-S10必成等差数列 C．S5，S10，S15+S10有可能是等差数列

B．S2，S4-S2，S6-S4必成等差数列 D．S2，S4+S2，S6+S4必成等差数列

8．已知等差数列an，其前n项的和为Sn，a3a4a5a6a720，则S9（ ） A．24

B．36

C．48

D．64

29．已知各项不为0的等差数列an满足a6a7a80，数列bn是等比数列，且

b7a7，则b3b8b10（ )

A．1

B．8

C．4

D．2

10．已知等差数列an的前n项和Sn满足：SmB．2m1

C．2m2

D．2m3

11．在函数yf(x)的图像上有点列xn,yn，若数列xn是等比数列，数列yn是等差数列，则函数yf(x)的解析式可能是（ ）

A．f(x)4x3

B．f(x)4x

23C．f(x) 4xD．f(x)log4x

121110,nN*，则nN*时，使12．已知数列{an}满足a2,a5a1,且

anan1an225得不等式n100ana恒成立的实数a的最大值是（ ） A．19

B．20

C．21

D．22

2213．已知递减的等差数列an满足a1a9，则数列an的前n项和取最大值时n=（ ）

A．4或5 B．5或6 C．4 D．5

14．在数列an中，a11，且an1A．

an，则其通项公式为an（ ） 1nanB． 21

n2n12

nn11

nn22

nn2C． 2D． 215．若数列an满足an1A．1010 C．2020

2an1(nN)，且a11，则a2021（ ） 2B．1011 D．2021

16．记Sn为等差数列an的前n项和，若S52S4，a2a48，则a5等于（ ） A．6

B．7

C．8

D．10

17．已知等差数列an中，a7a916，a41，则a12的值是（ ） A．15

B．30

C．3

D．64

18．等差数列an中，若a26，a43，则a5（ ） A．

3 2B．

9 2C．2 D．9

19．已知an为等差数列，Sn是其前n项和，且S100，下列式子正确的是（ ） A．a4a50

B．a5a60

C．a6a70

D．a8a90

20．已知数列an中，a1311*，且满足anan1nn2,nN，若对于任意222nN，都有

A．2

*an成立，则实数的最小值是（ ） nB．4

C．8

D．16

二、多选题

21．已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn,且2a12a3S5,下列结论中正确的是（ ） A．S7最小

B．S130

C．S4S9

D．a70

*22．设数列{an}的前n项和为Sn(nN)，关于数列{an}，下列四个命题中正确的是

（ ）

A．若an1an(nN*)，则{an}既是等差数列又是等比数列

2B．若SnAnBn(A，B为常数，nN*)，则{an}是等差数列

C．若Sn11，则{an}是等比数列

*D．若{an}是等差数列，则Sn，S2nSn，S3nS2n(nN)也成等差数列23．题目文

n件丢失！

24．已知数列an的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ） A．an0,n为奇数

2,n为偶数n 2B．an(1)n11 D．ancos(n1)1

C．an2sin25．(多选题)已知数列an中，前n项和为Sn，且Sn（ ） A．2

B．5

C．3

ann2an，则的值不可能为

a3n1D．4

26．首项为正数，公差不为0的等差数列an，其前n项和为Sn，则下列4个命题中正确的有（ ）

A．若S100，则a50，a60；

B．若S4S12，则使Sn0的最大的n为15； C．若S150，S160，则Sn中S7最大； D．若S8S9，则S7S8.

27．记Sn为等差数列{an}前n项和，若3a85a15 且a10，则下列关于数列的描述正确的是（ ） A．a2a490 C．公差d0 28．定义HnB．数列{Sn}中最大值的项是S25 D．数列

a也是等差数列

na12a2n2n1an为数列an的“优值”.已知某数列an的“优

n值”Hn2，前n项和为Sn，则（ ）

A．数列an为等差数列 C．

B．数列an为等比数列 D．S2，S4，S6成等差数列

S20202023 2020229．已知等差数列an的前n项和为SnnN的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A．d2

C．当且仅当n10时，Sn取最大值

*，公差d0，S20

690，a7是a3与a9B．a1D．当Sn0时，n的最小值为22

30．设等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，且满足a10，S11S18，则对Sn描述正确的有（ ） A．S14是唯一最小值 C．S290

B．S15是最小值 D．S15是最大值

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一、等差数列选择题 1．B 【分析】

先求得an2n1，根据anm，求得n列的求和公式，即可求解. 【详解】

2由题意，等差数列an的前n项和为Sn，且Snn，可得an2n1，

m12k1，进而得到b2k1，结合等差数22因为anm，即2n1m，解得n当m2k1，（kN*）时，即b2k1m1， 2mm1mmkm1， bmk，即bmm12m1m22k1， 2b19113521950.

从而b1b3b5故选：B. 2．A 【分析】

设项数为2n，由题意可得2n1d【详解】

设等差数列an的项数为2n，

21，及S偶S奇6nd可求解． 2末项比首项大

21， 221①; 2a2na12n1dS奇24，S偶30，

S偶S奇30246nd②．

由①②，可得d即项数是8， 故选：A. 3．C 【分析】

利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 {an}为等差数列，

S3＝12，即a1a2a33a212，解得a24. 由a12，所以数列的公差da2a1422， 所以ana1n1d22n12n， 所以a62612. 故选：C 4．B 【分析】

由题意结合a2,a4,a8成等比数列，有a4(a44)(a48)即可得a4，进而得到a1、an，即可求S9. 【详解】

由题意知：a2a44，a8a48，又a2,a4,a8成等比数列，

2∴a4(a44)(a48)，解之得a48，

23，n4， 2∴a1a43d862，则ana1(n1)d2n，

9(229)90，

2故选：B 【点睛】

∴S9思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量 1、由am,ak,an成等比，即akaman； 2、等差数列前n项和公式Sn2n(a1an)的应用. 25．C 【分析】

设10个兄弟由大到小依次分得ann1,2,,10两银子，数列an是等差数列，

a86利用等差数列的通项公式和前n项和公式转化为关于a1和d的方程，即可求得S10100长兄可分得银子的数目a1. 【详解】

设10个兄弟由大到小依次分得ann1,2,,10两银子，由题意可得 设数列an的公差为d，其前n项和为Sn，

86a17d6aa8615. 则由题意得，即，解得1098S10010ad100101d25所以长兄分得故选：C. 【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得

86两银子. 5ann1,2,,10两银子构成公差d0的等差数列，要熟练掌握等差数列的通项公式和

前n项和公式. 6．B 【分析】

根据条件列出关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差，则等差数列an的通项公式可求. 【详解】

因为a3S518，a6a33，所以6a112d18，

a5da2d311a11所以，所以an1n11n，

d1故选：B. 7．D 【分析】

根据等差数列的性质，可判定A、B正确；当首项与公差均为0时，可判定C正确；当首项为1与公差1时，可判定D错误. 【详解】

由题意，数列an为等差数列，Sn为前n项和，

根据等差数列的性质，可得而S5,S10S5,S15S10，和S2,S4S2,S6S4构成等差数列，所以，所以A，B正确；

当首项与公差均为0时，S5,S10,S15S10是等差数列，所以C正确；

当首项为1与公差1时，此时S22,S4S231,S6S1086，此时S2,S4S2,S6S4不构成等差数列，所以D错误. 故选：D. 8．B 【分析】

利用等差数列的性质进行化简，由此求得S9的值. 【详解】

由等差数列的性质，可得a3a4a5a6a75a520，则a54

a1a92a95936 22故选：B 9．B 【分析】 S9根据等差数列的性质，由题中条件，求出a72，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】

2因为各项不为0的等差数列an满足a6a7a80，

2所以2a7a70，解得a72或a70（舍）；

又数列bn是等比数列，且b7a72，

3所以b3b8b10b3b7b11b78.

故选：B. 10．C 【分析】

首先根据数列的通项an与Sn的关系，得到am10，am2<0，am1+am2>0，再根据选项，代入前n项和公式，计算结果. 【详解】

由Sm0. 又S2m12m1a1a2m1222m1am1>0，

S2m3S2m22m3a1a2m32m1a1a2m222m3am2<0， m1am1am2>0.

故选:C. 【点睛】

关键点睛：本题的第一个关键是根据公式anSnSn1,n2，判断数列的项的正负，

S1,n1第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负. 11．D 【分析】

把点列代入函数解析式，根据{xn}是等比数列，可知

xn1为常数进而可求得yn1yn的结xn果为一个与n无关的常数，可判断出{yn}是等差数列． 【详解】

对于A，函数f(x)4x3上的点列{xn，yn}，有yn＝4xn3，由于{xn}是等比数列，所以

xn1为常数， xn因此yn1yn＝4xn134xn34xn1xn4xnq1这是一个与n有关的数，故{yn}不是等差数列；

xn1对于B，函数f(x)4x上的点列{xn，yn}，有yn＝4xn，由于{xn}是等比数列，所以为

xn22常数，

2222因此yn1yn＝4xn14xn4xnq1这是一个与n有关的数，故{yn}不是等差数列；

3x3对于C，函数f(x)上的点列{xn，yn}，有yn＝()n，由于{xn}是等比数列，所以44xn1为常数， xn3xn3xn13xn(yy()()因此n1＝)n＝

444差数列；

x对于D，函数f(x)log4x上的点列{xn，yn}，有yn＝log4n，由于{xn}是等比数列，所以

x3q()1，这是一个与n有关的数，故{yn}不是等4xn1为常数， xn因此yn1yn＝log故选：D． 【点睛】 方法点睛：

判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法.

4xn1log4xnlog4xn1xnlog4q为常数，故{yn}是等差数列；

12．B 【分析】

由等差数列的性质可得数列而可得an【详解】 因为

11为等差数列，再由等差数列的通项公式可得anann，进

1，再结合基本不等式即可得解. n2111210,nN*，所以， anan1an2an1anan2所以数列1为等差数列，设其公差为d， an111112,5a,aa由2， 51可得a2a5a12511ad211所以，解得a1，

14d51d1a1a1所以

111n1dn，所以an，

ana1n所以不等式n100ana即n又n100a对任意的nN*恒成立， n1001002n20，当且仅当n10时，等号成立， nn所以a20即实数a的最大值是20. 故选：B. 【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. 13．A 【分析】

22由a1a9，可得a14d，从而得Snd29dnn，然后利用二次函数的性质求其最22值即可 【详解】

解：设递减的等差数列an的公差为d（d0），

2222因为a1a9，所以a1(a18d)，化简得a14d，

所以Snna1n(n1)ddd9dd4dnn2nn2n， 22222对称轴为n9， 2因为nN+，

d

0， 2

所以当n4或n5时，Sn取最大值， 故选：A 14．D 【分析】

an111n2n2n，再由累加法计算出先由an1得出，进而求出an.

1nanan1anan2【详解】 解：an1an， 1nanan11nanan，

化简得：an1nanan1an， 两边同时除以anan1并整理得：

11n， an1an111111112n1(n2,nz)， 31即，，，…，aaaaaaa2a132nn143将上述n1个式子相加得：

11111111+…123…n1， a2a1a3a2a4a3anan111n(n1)即， ana1211n(n1)n(n1)n2n2=1(n2,nz)， ana1222又

11也满足上式， a11n2n2(nz)， an22(nz). 2nn2故选：D. 【点睛】 an易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现n1，要注意检验首项是否符合.

15．B 【分析】

根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】 由an112an1(nN)，则an1an(nN)， 22即an1an1， 21为公差的等差数列， 2所以数列an是以1为首项，

所以ana1n1d1n1所以a2021故选：B 16．D 【分析】

1n1， 22202111011. 2由等差数列的通项公式及前n项和公式求出a1和d，即可求得a5. 【详解】

解：设数列an的首项为a1，公差为d， 则由S52S4，a2a48，

54434a1d5a12d22得：a1da13d8，

即

3a12d0a12d4， ，

解得：

a12d3a5a14d24310.

故选：D. 17．A 【分析】

设等差数列an的公差为d，根据等差数列的通项公式列方程组，求出a1和d的值，

a12a111d，即可求解.

【详解】

设等差数列an的公差为d，

7da16da18d16a17d84 解得：则，即，

17a3d1a3d111a14所以a12a111d所以a12的值是15， 故选：A 18．A 【分析】

由a2和a4求出公差d，再根据a5a4d可求得结果. 【详解】

设公差为d，则d177601115， 444a4a2363， 422233. 22所以a5a4d3故选：A 19．B 【分析】

由S100可计算出a1a100，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】

由等差数列的求和公式可得S1010a1a100，a1a100， 2由等差数列的基本性质可得a5a6a1a100. 故选：B. 20．A 【分析】 将an11n2an1n变形为2nan2n1an11，由等差数列的定义得出ann，从而得

222nn2nn2出，求出的最值，即可得出答案. nn22max【详解】 因为n2时，an11an1n，所以2nan2n1an11，而21a13 22n2. 2nn所以数列2an是首项为3公差为1的等差数列，故2ann2，从而ann又因为

nn2nn2an恒成立，即恒成立，所以. nn2n2maxnn2n1n32n2n1nN*,n2得n2 由nn2n1n12n12n222nn22，所以2，即实数的最小值是2 所以n222max故选：A

二、多选题

21．BCD 【分析】

由{an}是等差数列及2a12a3S5,，求出a1与d的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】

设等差数列数列{an}的公差为d.

由2a12a3S5,有2a12a12d5a1所以a70,则选项D正确. 选项A. S77a1选项B. S1354d，即a16d0 276d7a13d21d,无法判断其是否有最小值，故A错误. 2a1a131313a70,故B正确. 2选项C. S9S4a9a8a7a6a55a70,所以S4S9，故C正确. 故选：BCD 【点睛】

关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件

2a12a3S5,得到a16d0，即a70，然后由等差数列的性质和前n项和公式判断,

属于中档题. 22．BCD 【分析】

利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】

选项A: an1an(nN*),an1an0得{an}是等差数列，当an0时不是等比数列，故错; 选项B:

SnAn2Bn,anan12A,得{an}是等差数列，故对;

n选项C: Sn11,SnSn1an2(1)n1(n2),当n1时也成立，

an2(1)n1是等比数列，故对;

*选项D: {an}是等差数列，由等差数列性质得Sn，S2nSn，S3nS2n(nN)是等差数

列，故对; 故选：BCD 【点睛】

熟练运用等差数列的定义、性质、前n项和公式是解题关键.

23．无

24．BD 【分析】

根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】

解：因为数列an的前4项为2，0，2，0， 选项A：不符合题设；

选项B：a1(1)12,a2(1)10,

01a3(1)212,a4(1)310，符合题设；

选项C：，a12sin22,a22sin0,

a32sin32不符合题设； 2选项D：a1cos012,a2cos10,

a3cos212,a4cos310，符合题设.

故选：BD. 【点睛】

本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 25．BD 【分析】 利用递推关系可得【详解】 解：∵Snan21，再利用数列的单调性即可得出答案． an1n1n2an， 3n2n1anan1， 33∴n2时，anSnSn1ann121化为：， an1n1n1由于数列2单调递减， n12取得最大值2． n1可得：n2时，

an∴的最大值为3． an1故选：BD． 【点睛】

本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 26．ABD 【分析】

利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】

对于A：因为正数，公差不为0，且S100，所以公差d0， 所以S1010(a1a10)0，即a1a100， 2根据等差数列的性质可得a5a6a1a100，又d0， 所以a50，a60，故A正确； 对于B：因为S4S12，则S12S40，

所以a5a6a11a124(a8a9)0，又a10， 所以a80,a90， 所以S1515(a1a15)152a816(a1a16)16(a8a9)15a80，S160， 222215(a1a15)152a815a80，则a80， 22所以使Sn0的最大的n为15，故B正确； 对于C：因为S15S1616(a1a16)16(a8a9)0，则a8a90，即a90， 22所以则Sn中S8最大，故C错误；

对于D：因为S8S9，则a9S9S80，又a10， 所以a8S8S70，即S8S7，故D正确， 故选：ABD 【点睛】

解题的关键是先判断d的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题. 27．AB

【分析】

根据已知条件求得a1,d的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】

依题意，等差数列{an}中3a85a15，即3a17d5a114d，

2a149d,a149d. 249d，a10，所以d0，所以C选项错误. 24951dn1dnd，令an0得22对于A选项，a2a492a149d0，所以A选项正确. 对于C选项，a1对于B选项，ana1n1d51510,n，由于n是正整数，所以n25，所以数列{Sn}中最大值的项是S25，22所以B选项正确. n对于D选项，由上述分析可知，1n25时，an0，当n26时，an0，且d0.所以数列

a的前25项递减，第26项后面递增，不是等差数列，所以D选项错误.

n故选：AB 【点睛】

等差数列有关知识的题目，主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n项和的最值，可以令an0或an0来求解. 28．AC 【分析】 由题意可知Hn时，2n1a12a2n2n1an2n，即a12a22n1ann2n，则n2ann2nn12n1n12n1，可求解出ann1，易知an是等差数

列，则A正确，然后利用等差数列的前n项和公式求出Sn，判断C，D的正误. 【详解】 解：由Hn得a12a2a12a2n2n1an2n，

2n1ann2n，①

所以n2时，a12a2得n2时，2n12n2an1n12n1，②

ann2nn12n1n12n1，

即n2时，ann1，

当n1时，由①知a12，满足ann1．

所以数列an是首项为2，公差为1的等差数列，故A正确，B错， 所以SnS2023nn3，所以2020，故C正确．

202022S25，S414，S627，故D错，

故选：AC． 【点睛】

本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n项和的求解，难度一般. 29．AD 【分析】

运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A，B；由二次函数的配方法，结合n为正整数，可判断C；由Sn【详解】

等差数列an的前n项和为Sn，公差d0，由S690，可得6a115d90，即

0解不等式可判断D．

2a15d30，①

2由a7是a3与a9的等比中项，得a7a3a9，即a16da12da18d，化为

2a110d0，②

由①②解得a120，d2，则an202(n1)222n，

1Snn(20222n)21nn2，

221441由Snn，可得n10或11时，Sn取得最大值110； 242由Sn21nn0，解得n21，则n的最小值为22.

2故选：AD 【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题. 30．CD 【分析】

根据等差数列中S11S18可得数列的公差d0，再根据二次函数的性质可知S15是最大值，同时可得a150，进而得到S290，即可得答案； 【详解】

S11S18，d0，

22设SnAnBn，则点(n,Sn)在抛物线yAxBx上，

抛物线的开口向下，对称轴为x14.5，

S15S14且为Sn的最大值，

S11S18a12a13S29a1807a150，

29(a1a29)29a150， 2故选：CD. 【点睛】

本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.