矩阵模拟试卷二

2133211.(10分)设A40216342,试求一最小正数k，使得对任意XC4 31AX1kX1,AXkX

并证明你的结论。

J1A2.（10分）（略）设00,其中 J21121,JJ1211SS12 12mm若f(A)有定义，且f'(1)0,f'(2)0,求f(A)的全部初等因子，并证明你的结论。

3略）（10分）设ACmn,A0，B是A的一个｛1｝-逆。证明：(1)ABAB且AB可对角化;(2)AB1.

2

4.（略）用矩阵函数求解线性微分方程租

dx1dt3x18x25x3dx2 3x2dtdx3dt4x2x3满足x101,x200,x302的解。

00.20.60.921.25.（15分）设A,证明A有3个互异实特征值，并估计0.80.14最上界。

126.（15分）设A12111041,b,求线性方程组AX=b的所有最小

113131二乘解及最小模最小二乘解。

222bb13254,b,bC,7.（15分）设A且1b22452104试估计线性方程

组AX=b的解X与AXb1的解X1的相对误差以下八、九题任选一题，均为10分。

XX1X22.

8.设a是Cnn上的方阵范数，P、Q是n阶非奇异矩阵，且Q1P1a1。

ACnn，定义AbPAQa。证明b是Cnn上的范数。提示：矩阵范

数相容性的证明：

ABbPABQaPAQQ1P1PBQPAQaaQ1P1aPBQaPAQaPBQaAaBb9.（略）设ACnn为正规矩阵，证明eA是酉矩阵的充要条件是AHA.

参考答案

1. 解：使得对任意XC4AX1kXXC4AX1的最小正数k1A1;使得对任意

kX1的最小正数k2A.所以kmax{k1,k2}

02. 解：我们有

f(J1)f(A)0 f(J2)所以f(J1),f(J2)的所以初等因子即为f(A)的全部初等因子，因为

f1f(J1)f'1f1 f'1f1*所以，DSdetIfJ1(f1

S而If(J1)有一个s-1阶子式

f1*f1s1

f1则Ds1f1(is1).又If(J1)有一个s-1阶子式

f'1()if1f'1*

f1f'1我们有Ds1。由于当f1时，1(f')s10，所以必有l=0，即Ds11，故fJ1的初等因子为f1。同理可证fJ2的初等因子为

sf2m。从而f(A)的初等因子为

f1,f2

3.证明:因为A0,且ABA=A，所以AB0,且ABABABAB,则AB的特征值为0或1.而12是AB的零化多项式，则AB的最小多项式mAB1，那么mAB无重根，从而AB可对角化。则1一定是AB的特征值。故AB1. 4.略

100.60.61,则BDAD10.320.4, 5.证明：设D30.80.3412smB的三个盖尔圆都是孤立的

G1:z1.2,G2:z20.7,G3:z41.1

它们各含B的一个特征值，也是A的特征值。

00.2671'''10.912 若取D'1,则BDAD270.70.560.074那么A的特征值一定在B'的三个盖尔圆中，可见A最大特征值的上界为4.63， 6.7.8.9无答案。