一、考试性质
高等数学课程是高等工科学校部分专业学生一门必修的重要基础理论课，通过学
习本门课为学习后续课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。课程总学
时134学时。本课程考试，是考察学生对基本概念、基本理论的理解程度；考察学生对基本运算的熟练程度；考察学生综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力；也是考察教师教学质量的重要方面，因此，考试结果应反映执行该课程教学大纲与教学的实际水平。
二、考试内容与考试要求
高等数学上册
1．函数与极限
（1）考试内容
函数的概念；函数的简单性质；反函数；基本初等函数及其图形；复合函数；初
等函数；数列的极限；函数的极限；无穷小量与无穷大量；无穷小的比较；函数
连续的概念（函数在一点连续的定义，左连续与右连续，函数（含分段函数）在
一点连续的充分必要条件，函数的间断及间断点的分类）；连续函数的运算与初
等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质。
（2）考试要求
①理解函数的概念。会求函数的定义域、表达式及函数值。会建立简单实际问题
中的函数关系。
②了解函数的几种简单性质，会判断函数的有界性、奇偶性。掌握基本初等函数
及其图形的有关知识。
③理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
④理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、
右极限之间的关系。（对极限定义中“ε－N”，“ ε－δ”等形式的概述不作
要求）
⑤掌握极限的性质及四则运算法则。
⑥熟练掌握用两个重要极限公式求极限的方法。
⑦了解无穷小量、无穷大量的概念。掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求
极限。
⑧理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型。
⑨掌握判断简单函数（含分段函数）在一点的连续性。
⑩了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(
有界性、最大值和最小值、介值定理)，会应用零点定理解决方程根的存在性问题 。
本部分分值 10－15％
2．一元函数微分学
（1）导数与微分
考试内容
导数概念；导数的四则运算法则，导数的基本公式；复合函数求导方法；隐函数
及由参数方程所确定的导数；高阶导数的概念及求法；微分；
考试要求
①理解导数的概念和导数的几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。
②会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。
③熟练掌握求导数的基本公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导方法。
④熟练掌握求隐函数及由参数方程所确定函数的一、二阶导数的方法，会使用对
数求导法。
⑤了解高阶导数的概念，会求初等函数的二阶导数。
⑥掌握微分运算法则，会求函数的微分。
（2）微分中值定理与导数应用
考试内容
微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理）；洛必达法则；
函数单调性的判定法及应用；函数极值与最值的概念及求法；曲线的凹凸性、拐
点及其求法。
考试要求
①理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒定理。并会用罗
尔定理证明简单的等式，了解用拉格朗日中值定理证明简单的等式及不等式的方 法。
②熟练应用洛必达法则求常见未定式的极限。
③会利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间。会利用单调性证明
不等式。
④掌握求函数极值的方法。会解简单的最大（小）值的应用问题。会判定曲线的
凹凸性，会求曲线的拐点。
本部分分值 35－40％
3．一元函数积分学
（1）不定积分
考试内容
不定积分的概念；不定积分基本积分公式；第一类换元积分法；第二类换元积分
法；分部积分法；简单有理函数的不定积分。
考试要求
①理解原函数与不定积分的概念。
②了解不定积分的性质，掌握不定积分的基本公式。
③熟练掌握第一类和第二类换元积分法。
④熟练掌握分部积分法。
⑤会求简单有理函数的不定积分。
（2）定积分与定积分应用
考试内容
定积分的概念及其几何意义；定积分的性质；变上限的积分及其求导定理；牛顿
－莱布尼兹公式；反常积分的定义和计算；定积分的应用。
考试要求
①理解定积分的概念与几何意义，了解定积分的性质。
②理解积分上限的函数，会求它的导数，熟练掌握牛顿－莱布尼兹公式。
③熟练掌握用定积分的换元法和分部积分法计算定积分。
④掌握用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积。
⑤了解反常积分收敛与发散的概念。（此部分不考）
本部分分值 35－45％
高等数学下册
4．空间解析几何与向量代数
考试内容
向量及其线性运算；数量积，向量积；曲面及其方程；空间曲线及其方程；平面
及其方程；空间直线及其方程。
考试要求
①理解向量概念。掌握向量的线性运算、数量积及向量积。掌握二向量夹角的求
法与垂直、平行的条件。
②熟悉向量、单位向量及方向余弦的坐标表达式。熟练掌握用坐标表达式进行向
量运算。
③熟悉掌握平面方程和直线方程及其求法。
④理解曲面概念。了解常用二次曲面的方程及其图形。了解以坐标轴为旋转轴的
旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
⑤了解空间曲线的参数方程和一般方程，并会求它在坐标面上的投影曲线。
本部分分值 15－20％
5．多元函数微分学
考试内容
多元函数的概念；二元函数的极限和连续的概念；有界闭区域上多元连续函数的
性质 多元函数偏导数和全微分的概念；多元复合函数、隐函数的求导方法；二阶
偏导数、方向导数和梯度的概念及其计算；多元函数微分法在几何上的应用；多
元函数极值和条件极值的求法；多元函数的最大值、最小值及其简单应用。
考试要求
①理解多元函数的概念，了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭
区域上连续函数的性质。
②理解多元函数偏导数、高阶偏导数和全微分的概念，会求多元函数偏导数
、全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
③熟练掌握多元复合函数偏导数的求法。（抽象复合函数二阶偏导数不考）
④会求隐函数及由参数方程所确定的隐函数的偏导数。（只要求会求一阶偏
导数）
⑤理解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程 。
⑥理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件
，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值。
⑦会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，
并会解决一些简单的应用问题。
本部分分值 20－25％
6．多元函数积分学
（1）二重积分
考试内容
二重积分的概念及性质；二重积分的计算法；重积分的几何应用。
考试要求
①理解二积分的概念，了解二重积分的性质。
②熟练掌握二重积分的计算法（直角坐标、极坐标）。
③熟练掌握二重积分换序问题。
④能用二重积分表达一些几何量（体积、曲面面积等）。
本部分分值 10－15％
7．无穷级数
考试内容
常数项级数的基本慨念、基本性质；常见级数（例：调和级数、几何级数与p级数
）的收敛性；正项级数收敛性的判别法（比较判别法、比值判别法、根值判别法
）；交错级数与莱布尼茨定理；任意项级数的绝对收敛与条件收敛；幂级数及其
收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域；函数展开成幂级数；的麦克劳林展
开式；简单幂级数的和函数的求法。
考试要求
①理解常数项级数的收敛与发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本
性质与收敛的必要条件。
②掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件。
③熟练掌握正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法、根值判别法。
④掌握交错级数的莱布尼茨定理。
⑤了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛
的关系。
⑥理解函数项级数的收敛域与和函数的慨念。
⑦熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
⑧了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些简单幂级数在其收
敛区间内的和函数。
⑨熟练掌握的麦克劳林展开式，会应用它们将一些简单函数间接展开成幂级
数。
本部分分值 15－20％
8．常微分方程
考试内容
常微分方程的基本概念（微分方程的解、阶、通解、初始条件和特解）；变
量可分离的方程； 齐次方程； 一阶线性方程；可降阶的高阶微分方程；线性微
分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常
系数非齐次线性微分方程；微分方程的简单应用。
考试要求
①了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。
②熟练掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。
③会解齐次方程。
④会用降阶法解可降阶的微分方程。（要求会型）
⑤理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
⑥熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
⑦会求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解，自由项限定为。
⑧会用微分方程解决一些简单的应用问题。(主要是—阶微分方程)
本部分分值 15－20％
四、考试形式与试题结构
考试形式：为闭卷、笔试； 命题形式：教考分离；
试卷满分为100分，考试时间为120分钟。
试题量：20题左右
题型结构：试卷包括填空题、选择题、分析计算题。
填空题：15％ 选择题：15％
计算与解答题：60％ 应用与证明题：10％
其中填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程或推导过程；选择题是四选
一的单选题；计算与解答题，应用与证明题应写出文字说明、演算步骤或推导过 程。
试题难易程度： 基本题：70％ 中等（稍灵活）的题：20％
较难（较综合或较灵活）的题：10％
试卷由基本题、中等题和较难题组成，总体难度要适当，每套试卷覆盖全部
章节。
五、考试教材及参考书
参考书：《高等数学》 同济大学数学系高等数学 高等教育出版社
六、样题
一、填空：（满分15分，每小题3分） 1．平行于向量
的单位向量是 ．
2．设区域是，则的值等于 ．
3．设级数收敛，则 ．
4．设幂级数的收敛半径是4，则幂级数是 。
的收敛半径
5．已知为通解的二阶常系数线性齐次微分方程为 ．
二、选择：（满分15分，每小题3分）
1．设函数由方程所确定，则是：
【 】
2．方程的通解为：
(A) ； (B) ；
(C) 3．已知两点
； (D)
和
． 【 】 ，向量
的方向余弦是：
(A) ； (B)；
(C) ； (D)． 【 】
4．
【 】
5．设线性无关的函数特解，(A)
，
都是二阶非齐次方程
的
是任意常数，则该非齐次方程的通解是：
； (B)
；
(C) ； (D) ． 【 】
三、求解下列各题（满分10分，每小题5分）
1．设2．设
，求，求
和。
。
四、求解下列各题（满分10分，每小题5分）
1．计算五、计算由曲面
。 2．判断级数
与平面
的敛散性。
所围成的立体的体积（6分）。
六、求幂级数的收敛域 （8分）
七、求函数 在条件下的极小值。(8分)。
八、将函数九、求微分方程
展开成的幂级数,并求展开式成立的区间（8分）。 的通解（10分）。
十、一平面通过直线方程．(10分)。
，且垂直于平面，求此平面
数学分析教研室
二○○八年八月
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