2021 年— 2021 年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编〔逐题解析版〕
〔 2021·22〕 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
13．坐标系与参数方程
x 2cos
y 4sin
〔 为参数〕，直线 l 的参数方程为
x y
〔 l 为参数〕． 1
2 l sin a
l cos a
〔 1〕求 C 和 l 的直角坐标方程； 〔 2〕假设曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 1，2 ，求 l 的斜率．
〔 2021·22〕在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线 C 的极坐
1
标方程为 cos4 ．
〔 1〕 M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 |OM | |OP | 16 ,求点 P 的轨迹 C2 坐标方程；
〔 2〕设点 A 的极坐标为 (2,
的直角
) ，点 B 在曲线 C2 上，求 OAB 面积的最大值．
3
新课标全国卷2理科数学试卷试题分类汇编——13坐标系与参数方程
2
2
〔 2021·23〕在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 ( x + 6) + y = 25 .
〔Ⅰ〕以坐标原点为极点， 〔Ⅱ〕直线 l 的参数方程是
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求
C的极坐标方程；
10 ，求 l 的斜率 .
x tcos 〔 t 为参数〕， l 与 C 交于 A， B 两点， AB =
y tsin
x t cos 〔 2021·23〕在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：
〔 t 为参数， t≠ 0〕其中 0
，在以
y t sin
极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
C2:2sin ， C3: 2 3cos .
〔Ⅰ〕求 C2 与 C3 交点的直角坐标； 〔Ⅱ〕假设 C1 与 C2 相交于点 A， C1 与 C3 相交于点 B，求 |AB |的最大值 .
O 为
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〔 2021·23〕在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点，
x 轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为
2cos ，
[0, ] .
2
〔Ⅰ〕求 C 的参数方程；
〔Ⅱ〕设点 D 在 C 上， C 在 D 处的切线与直线 l : y 3x 2 垂直，根据〔Ⅰ〕中你得到的参数方程，
确定 D 的坐标 .
〔 2021·23 〕
已 知 动 点 P ， Q 都 在 曲 线 C :
t 2 (0
2 ) ， M 为 PQ 的中点 .
〔Ⅰ〕求 M 的轨迹的参数方程； 〔Ⅱ〕将 M 到坐标原点的距离 d 表示为x 2 c o ts , 〔 t 为 参 数 〕 上 ， 对 应 参 数 分 别 为 t
y 2 s i nt
的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点 .
与
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〔 2021·23〕曲线 C1 的参数方程是
x 2cos
〔 为参数〕，以坐标原点为极点，
x轴的正半轴为极
y 3sin
轴建立极坐标系，曲线
逆时针次序排列，点 A 的极坐标为 (2,
C2 的极坐标方程是 ρ= 2. 正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上，且 A， B， C，D 依
) .
3
〔Ⅰ〕点 A，B， C， D 的直角坐标；
〔Ⅱ〕设 P 为 C1 上任意一点，求 |PA|2 + |PB |2 + |PC|2 + |PD |2 的取值范围 .
〔 2021·23〕在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
x 2cos y 2 2sin
〔
为参数〕，M 是 C1 上的动点， uuv
uuuv
P 点满足 OP 2OM ，P 点的轨迹为曲线 C2. 〔Ⅰ〕求 C2 的方程；
〔Ⅱ〕在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
3
与 C1 的异于极点的交点为 A，
与 C2 的异于极点的交点为
B，求 |AB|.
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2021 年— 2021 年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编
13．坐标系与参数方程〔逐题解析版〕
x y
〔 2021·新课标Ⅱ， 22〕在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
2cos 4sin
〔 为参数〕，直线 l 的参
数方程为
x y
1 l cosa 2 l sin a
〔 l 为参数〕．
〔 1〕求 C 和 l 的直角坐标方程； 〔 2〕假设曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 1，2 ，求 l 的斜率．
x 2cos y 4sin
【根本解法 】解法一： 因为 曲线 C 的参数方程为
〔 为参数〕
所以曲线 C 直角坐标方程为
x
2 y
2
1
4 16
因为直线 l 的参数方程为
x 1 l cosa 〔 l 为参数〕．
y 2 l sin a
所以 ① 当
2
k , k
Z 时，直线 l 的直角坐标方程为 y
tan
x 2 tan
② 当
2
k , k
Z 时，直线 l 的直角坐标方程为 x 1
〔 2〕解法一：点差法： 设直线与椭圆的交点为 A 、 B ，坐标分别为
x1 , y1 、 x2 , y2 ，中点 P ．
x12 4 x2 4 2
y12 16 y2
1
那么
有
作差可知：
1 e
1 12 16
2
16
1
kAB kOP
2
， kAB 2 1
4 ，所以 kAB
2 .
1
解法二：参数法： 将直线 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于
t 的方程 sin
2
2
2
4 2cos
t1 t2
1 3cos t
4 2cos
sin
t
8 0
1 3cos
由题意可知： t1 t 2 0
2 c o s y2
s i n 0 t a n
x2
解法三：直角坐标法：
4 16 1 y tan x 2
4 tan2
tan
x 2
2
2 tan
2 tan
x 2
tan16 0
所以 x1 x2
2tan 2 tan
2
2解得： tan2
4 tan
〔 2021·22〕[选修 4-4：坐标系与参数方程
]〔10 分〕 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C1 的极坐标方程为
cos
4 ．
〔 1〕 M 为曲线 C1 上的动点，点
P 在线段 OM 上，且满足
|OM | |OP | 16 ,求点 P 的轨迹 C2 的直角
坐标方程；
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〔 2〕设点 A 的极坐标为 (2,
) ，点 B 在曲线 C2 上，求 OAB 面积的最大值． 3
〔 2021·22〕解析：〔 1〕解法一：设 P 点在极坐标下坐标为
,
由 OM OP
16
16 可得 M 点的坐标为 , ，代入曲线 C1 的极坐标方程，得：
16 cos
4 ，即 4cos
，两边同乘以 ，化成直角坐标方程为：
x2 y2 4 x ，由题意知
0 ，
所以检验得 x2
y2 4x( x 0) ．
解法二： 设 P 点在直角坐标系下坐标为
x, y ，曲线 C1 的直角坐标方程为 x 4 ，因为 O, P, M 三点共线，
OP 16 得： 16 16 y2
x2
所以 M 点的坐标为
4,
4y
x
，代入条件 OM
x2 y2
16 ，因为 x
0 ，
化简得： x2
y2
4x( x 0) ．
1 〕知曲线
〔 2 〕解法一：由〔
C2 的极坐标方程为
2 3 cos
4 cos ，故可设 B 点坐标为 (4 cos cos 3 cos 2
, )，
S
OAB
1 2 4cos
2
sin(
3
由
3
)
2
2sin
sin 2
3
2 s i n ( 2
3 )
得S OAB
，
2
2
2 3 ，即最大值为 2
3 ．
解法二：在直角坐标系中，
A 点坐标为 (1, 3) ，直线 OA 的方程为
3x y 0 ．
设点 B 点坐标 (x, y) ，那么点 B 到直线 OA 的距离 d
2
3x y 2
，
3x y 2 ( 1)2
所以 S OAB
1 2 d 2
，又因为点 B 坐标满足方程 ( x 2) 2
2
y2
4，由柯西不等式得：
( x 2) 2 y2
3
3( x 2) y
，即 4
3( x
2) y 4 ，
即
4 2 33x y 4 2 3 ，
3x y 2
由
S OAB
得， S OAB 2 3 ．
2
2
〔 2021·23〕【选修 4-4：坐标系与参数方程】
〔Ⅰ〕以坐标原点为极点， 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 ( x + 6) + y = 25 .
C的极坐标方程；
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求
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〔Ⅱ〕直线 l 的参数方程是
x tcos y tsin
2
〔 t 为参数〕， l 与 C 交于 A， B 两点， AB = 10 ，求 l 的斜率 .
2
2
x2
y2
x 可知，圆 C 的极坐标方程为 y
〔 2021·23〕解析： ⑴ 整理圆的方程得 x
2
y 12 11 0 ，由cos
sin
12 cos 11 0 ．
2
， 那么 直 线 的 方 程 为 (2) 记 直 线 的 斜 率 为 k kx 6k 1 k2
y 0 ， 由 垂 径 定 理 及 点 到 直 线 距 离 公 式 知 ：
2
25
10 2
，即 36k
1 k2
2
904
，整理得 k
5 ，那么 k 3
15 ． 3
，在以 O 为
〔 2021·23〕在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：
x t cos
〔 t 为参数， t≠ 0〕其中 0
y t sin
C2:
极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 〔Ⅰ〕求 C2 与 C3 交点的直角坐标；
2sin ， C3:
2
3cos .
〔Ⅱ〕假设 C1 与 C2 相交于点 A， C1 与 C3 相交于点 B，求 |AB |的最大值 . 〔 2021·23〕 解析：〔Ⅰ〕曲线 C2 的直角坐标方程为
x2 y2 2 y 0 ，曲线 C3 的直角坐标方程为 x
x2 y 2
2 3x 0 . 联立
x
2
y
2
2 y 0
0
或
x
，解得
2 3
，所以
C
2 与 C3 交点的直角
x2
y 2 2 3x 0
y
0
y
坐标为 (0,0) 和 (
33
3
2
, ) . 2 2
〔Ⅱ〕曲线 C1 的极坐标方程为 的极坐标为 (2 3cos
( R, 0) ，其中 0
2 3 cos | 4|sin(
，因此 A 的极坐标为 (2sin , ) ， B
, ) ，所以 | AB | |2sin
当
5
) | ，
3
时， | AB |取得最大值，最大值为
4.
6
〔 2021·23〕在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点，
x 轴为极轴建立极坐标系，半圆
C 的极坐标方程为
2cos ，
[0, ] .
2
〔Ⅰ〕求 C 的参数方程；
〔Ⅱ〕设点 D 在 C 上， C 在 D 处的切线与直线 确定 D 的坐标 .
l : y
3x 2 垂直，根据〔Ⅰ〕中你得到的参数方程，
〔 2021·23〕解析：〔Ⅰ〕设点 M(x, y)是曲线 C 上任意一点，∵
即： (x 1)
2cos
为参数， 0
，∴ x2
y 2 2x ，
2
y
2
1 ，∴ C 的参数方程为
x 1 cos y sin
(
)．
〔Ⅱ〕设点 D (1+cosφ, sinφ)，∵ C 在 D 处的切线与直线 l： y 3x 2 垂直，∴直线 CD 和 l 的斜率相
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sin
3
同，∴
sin
cos
tan
3 ，∵ 0
，
，∴
2 ，
3
cos
1
2
∴点 D 的坐标为 ( 3
,
3 ) .
2 2
〔 2021·23 〕
已 知 动 点 P ， Q 都 在 曲 线 C :
x 2 c o st , 〔
t 为 参 数 〕 上 ， 对 应 参 数 分 别 为 t
与
y 2 s i nt
t 2 (0
2 ) ， M 为 PQ 的中点 .
〔Ⅰ〕求 M 的轨迹的参数方程；
〔Ⅱ〕将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点 .
（ 2021·23〕解析：〔Ⅰ〕依题意有 P(2cos α， 2sin α)，Q(2cos 2α， 2sin 2α)，因此 M(cos α＋ cos 2α， sin α＋sin 2α)． M 的轨迹的参数方程为
x cos
cos2
(α为参数， 0＜ α＜ 2π)．
y sin
sin 2
π时， d＝ 〔Ⅱ〕 M 点到坐标原点的距离 d x2
y2
2 2cos (0 ＜α＜2π)．当 α＝0， 故 M 的轨迹过坐标原点．
x 2cos
〔 2021·23〕曲线 C1 的参数方程是
〔 为参数〕，以坐标原点为极点，
x轴的正半轴为极
y 3sin
轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程是 ρ= 2.
正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上，且 A， B， C，D 依
逆时针次序排列，点 A 的极坐标为 (2,
) .
3
〔Ⅰ〕点 A，B， C， D 的直角坐标；
〔Ⅱ〕设 P 为 C1 上任意一点，求 |PA|2 + |PB |2 + |PC|2 + |PD |2 的取值范围 .
〔 2021·23〕解析：〔Ⅰ〕依题意，点 A， B， C， D 的极坐标分别为 (2,
),(2, 5
),(2, 4 ),(2, 11 ) .
3
6
3
6
所以点 A， B， C，D 的直角坐标分别为 (1, 3) 、 ( 3,1)、 ( 1,
3) 、 ( 3, 1) .
那么
2
2
2
2
2 〔 Ⅱ 〕
设 P 2cos ,3sin
，
|P A| | P B| | P C ||P D | ( 1 2 c o s ( 3 2cos )2 (1 3sin )2 ( 1 2cos )2 ( 3
3sin )2
( 3 2cos )2 ( 1 3sin )2
16cos2
36sin2 16 32 20sin 2
32,52 .
所以 | PA |2 | PB |2 | PC |2 | PD |2 的取值范围为 32,52 .
〔 2021·23〕在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
x 2cos 〔 为参数〕，M 是 C1 上的动点， uuv uuuv y 2 2sin
P 点满足 OP 2OM ，P 点的轨迹为曲线 C2.
〔Ⅰ〕求 C2 的方程；
2
)
新课标全国卷2理科数学试卷试题分类汇编——13坐标系与参数方程
〔Ⅱ〕在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
与 C1 的异于极点的交点为 A， 3
与 C2 的异于极点的交点为 B，求 |AB|.
x
xy
2
2 cos
〔 2021·23〕解析 ：〔 I〕设 P( x, y)，那么由条件知 M ( , ) . 由于 M 点在 C1 上，所以
，
2 2 y
2 2sin
2
即
x
4cos x 4cos
，从而 C2 的参数方程为
〔 为参数〕 .
y 4 4sin
y 4 4sin
〔Ⅱ〕曲线 C1 的极坐标方程为
4sin ，曲线 C2 的极坐标方程为
8sin . 射线
与 3
的交点 A 的极径为 1 4sin
，射线
与 C2 的交点 B 的极径为 2
8sin .
3
3
3
所以
| AB | |
2 1 | 2 3 .
C1
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