一、单选题
1. 在平面直角坐标系中，角
的顶点与原点重合，始边与的非负半轴重合，终边过
点，则 （ ）
A.
B. C. D.
2. 函数的图象的一个对称中心为（ ）
A.
B. C. D.
3. 已知向量，满足（ ）
，，，则与的夹角为
A.
B. C. D.
4. 若，则（ ）
A.2
5. 已知等比数列
B.−2 C. D.
满足，，则（ ）
A.
B.2 C.或2 D.2
6. 已知A.1
，B.2
，且C.3
，则 （ ） D.4
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7. 向量A.
B.
( ) C.
D.
8. 已知
（ ）
，，，则
A.
B. C. D.
9. 等差数列A.2 10. 在
，B.3
的前项和分别为
C.4
，，且
D.5
，则（ ）
中，角、、所对的对边长分别为、、，
的值为（ ）
、、
成等比数列，且，则
A.
B. C. D.
11. 在中，内角、、所对的边分别为、、，，若点
是
外一点，
且满足
，则
四边形的面积的最大值为（ ）
A. 12. 数列
（ ）
B. C.12 D.
前项和为，，，，若，则
试卷第2页，总15页
A.1344 二、填空题
B.1345 C.1346 D.1347
函数
在平面直角坐标系为________．
已知向量
的最小正周期为________．
中，直线过与两点，则其倾斜角的值
，，，则________．
已知下列四个命题：
①等差数列一定是单调数列；
②等差数列的前项和构成的数列一定不是单调数列； ③已知等比数列
的公比为，若
，若
，则数列，
是单调递增数列． ，则数列
的最大值一定在
④记等差数列的前项和为
处达到．
其中正确的命题有________．（填写所有正确的命题的序号） 三、解答题
在等差数列（1）求数列的 （2）令
，求数列
的前项和
．
中，
，
．
通项公式；
函数的一段图象如图所示.
试卷第3页，总15页
（1）求函数
的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求
在
（1）求
的内角；
的单调增区间．
的对边分别为，且．
（2）若 在（1）若 （2）若 已知数列
，点在边上，，，求的面积．
中，已知
，求
，的值；
．
，且，求的值．
满足首项为，，数列
满足
，
；
；设
（1）求
；
（2）求数列的前项和．
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参考答案与试题解析
2021年江西省高一下学期第二次月考数学试题
一、单选题 1. 【答案】 A
【考点】
函数的概念及其构成要素
空间中直线与直线之间的位置关系 三角函数的最值
【解析】
由三角函数定义得到cos𝛼，然后由诱导公式即可得到答案 【解答】
角𝛼的终边过点𝑃(1,2)，则cos𝛼=𝑟=则sin(2+𝛼)=cos𝛼=故选𝐴 2. 【答案】 C
【考点】
指数式、对数式的综合比较 二次函数的应用 函数的最值及其几何意义 【解析】
根据正切函数的对称中心为(【解答】
由题意，42𝑥+3=
𝜋𝜋
𝑘𝜋2𝜋
𝑘𝜋2
𝜋
√5 5
𝑥
1√=5√5 5
,0)𝑘∈𝑍，可求得函数𝑦图象的一个对称中心．
𝑘∈𝑍，解得𝑥=
𝜋
𝑘𝜋4
−6𝑘∈𝑍
𝜋
𝜋
𝜋
当𝑘=2时，𝑥=2−6=3，所以函数𝑦=tan(2𝑥+3)的图象的一个对称中心为(3,0) 故选𝐶．
3. 【答案】 B
【考点】
平行向量的性质 单位向量
圆锥曲线的共同特征
试卷第5页，总15页
【解析】
将(𝑎+𝑏)⋅(𝑎−2𝑏)=−8变形解出夹角的余弦值，从而求出𝑎与𝑏的夹角．【详加）由(𝑎+𝑏)⋅(𝑎−2𝑏)=−8得|𝑎|−𝑎⋅𝑏−2|𝑏|2=−8 即|𝑎|−|𝑎|⋅
→→2
→
→
→
→
→
→2→
→
→
→
→
→
→
→
→
¯
|→|cos𝜃
→
−2||2=−8
又因为|𝑎|=1,|𝑏|=2，，所以1−2cos𝜃−8=−8 所以cos𝜃=2𝜃=3 故选𝐵． 【解答】 此题暂无解答 4.
【答案】 A
【考点】
指数式、对数式的综合比较 二次函数的应用 函数的最值及其几何意义
【解析】
根据同角三角函数关系可将式子变为关于tan𝜃的式子，代入求得结果 【解答】
sin𝜃+cos𝜃tan𝜃+13+1
===2
sin𝜃−cos𝜃tan𝜃−13−1本题正确选项：𝐴 5.
【答案】 C
【考点】
指数式、对数式的综合比较 二次函数的应用 函数的最值及其几何意义 【解析】
由等比数列的性质可知，𝑎5⋅𝑎8=𝑎6⋅𝑎7，然后结合𝑎5+𝑎8，可求𝑎5,𝑎8，由𝑞3=求． 【解答】
由等比数列的性质可知，𝑎3⋅𝑎8=𝑎6⋅𝑎7=−8 𝑎5+𝑎8=2
𝑎5=4𝑎8=−2，或𝑎5=−2𝑎8=4 :𝑞3=𝑎8=−2或−2 5
1𝜋
𝑎3𝑎5
可
𝑎1
故选：𝐶．
试卷第6页，总15页
6. 【答案】 D
【考点】
指数式、对数式的综合比较 二次函数的应用 函数的最值及其几何意义
【解析】
根据向量的平行可得4𝑚=3𝑚+4，解得即可． 【解答】
→
𝑎=(2,3𝑚+4)𝑏=(1.2𝑚)，且𝑎|𝑏 则4𝑚=3𝑚+4 解得𝑚=4 故选𝐷． 7.
【答案】 A
【考点】
向量的加法及其几何意义 【解析】
利用向量的三角形法则即可得出．
详解：向量𝐴𝐵+𝑀𝐵+𝐵𝑂+𝐵𝐶+𝑂𝑀=𝐴𝐵+𝐵𝑂+𝑂𝑀+𝑀𝐵+𝐵𝐶=𝐴𝐶 故选：𝐴． 【解答】 此题暂无解答 8.
【答案】 A
【考点】
指数式、对数式的综合比较 二次函数的应用 函数的最值及其几何意义 【解析】
利用sin(𝛼+𝛽)=sin[4+𝛽)−(4−𝛼)−2]结合诱导公式及同角三角函数求解即可 【解答】
因为0<𝛽≤4<𝛼<
𝜋
𝜋
𝜋
3𝜋43𝜋
𝜋
𝜋
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→→
cos(4−𝛼)=5sin(4+𝛽)=13
𝜋
4
𝜋33𝜋5
所以−2<4−𝛼<0，所以sin(4−𝛼)=−5 又4÷
3𝜋
3𝜋4
+𝛽<𝜋，所以.cos(4+𝛽)=−13
3𝜋12
试卷第7页，总15页
所以sin(𝛼+𝛽)=sin[4+𝛽)−(4−𝛼)−2]=−cos[(4+𝛽)−(4−𝛼)] =−cos(=
3𝜋𝜋3𝜋𝜋
+𝛽)cos(−𝛼)−sin(+𝛽)sin(−𝛼) 44443𝜋𝜋𝜋3𝜋𝜋
1235456×+×= 1351356故选𝐴． 9.
【答案】 A
【考点】
指数式、对数式的综合比较 二次函数的应用 函数的最值及其几何意义 【解析】
根据等差数列的性质以及前𝑛项公式，用中间项表示出𝑆𝑛𝑇𝑛，求出5的值即可．
𝑏5𝑎
【解答】
由等差数列的性质可得：故选𝐴． 10. 【答案】 B 【考点】 正弦定理 解三角形
【解析】
由sin𝐴．sin𝐵．sin𝐶成等比数列得sin2𝐵=sin4sin𝐶，故得𝑏2=𝑎𝑐，再根据𝑐=2𝑎可得𝑏=√2𝑎，然后根据余弦定理求解即 可得到所求． 【解答】
∵sin𝐴,sin𝐵．sin𝐶成等比数列， ∴ sin2𝐵=sin4sin𝐶 由正弦定理得𝑏2=𝑎𝑐 又𝑐=2𝑎
∴ 𝑏2=2𝑎2，故得𝑏=√2𝑎
𝑎2+𝑐2−𝑏2𝑎2+(2𝑎)2−(√2𝑎)3
cos𝐵===
2𝑎𝑐2×𝑎×(2𝑎)4故选𝐵． 11. 【答案】 A
【考点】 解三角形
试卷第8页，总15页
2
𝑎6𝑏5
=
11(𝑎1+𝑎11)
211(𝑏1+𝑏1)2=
𝑆11𝐼11
=
3×1−111+5
=2
【解析】
由诱导公式、两角和的余弦公式化简已知的式子，由内角的范围、商的关系、特殊角的三角函数值求出𝐵，结合条件判断出𝛥
𝐴𝐵𝐶为等边三角形，设∠𝐴𝑂𝐵=，求出𝐶的范围，利用三角形的面积公式与余弦定理，表示出得𝑆𝑂𝐴𝐶，利用辅助角公式化简
，由8的范围和正弦函数的性质求出平面四边形𝑂𝐴𝐶𝐵面积的最大值． [1)÷]∵cos𝐶+(cos𝐴−√3sin𝐴)cos𝐵=0cos𝐶=−cos(𝐴+𝐵) 小cos𝐴cos𝐵−√3sin𝐴cos𝐵=cos(𝐴+𝐵)=cos𝐴cos𝐵−sin𝐴sin𝐵 化简得√3sin𝐴cos𝐵=sin𝐴sin𝐵
𝐴为三角形内角，sin𝐴≠0,∴tan𝐵=√3 ．由𝐵∈(0,𝜋)得，𝐵=
3𝜋
又𝑎=𝑐△𝐴𝐵𝐶为等边三角形； 设∠𝐴𝑂𝐵=𝜃，则0<𝜃<𝜋 𝑆△𝐴𝐵𝐵=𝑆𝛥𝐴𝑂+𝑆=
11√3 𝐴𝐴𝐵𝐶=|𝑂𝐴|⋅|𝑂𝐵|sin𝜃+×|𝐴𝐵|2×2221√3(|𝑂𝐴|2+|𝑂𝐵|2−2|𝑂𝐴|⋅|cos𝜃|cos𝜃) ×4×2×sin𝜃+
24√3(4+16−2×2×4×cos𝜃)=4sin𝜃−4√3cos𝜃+5√3 4𝜋
=8sin(𝜃−)+5√3
3=4sin𝜃+0<𝜃<𝜋−
𝜋3
𝜋𝜋2𝜋<𝜃−≤ 3335𝜋
…当𝜃−=，即𝜃=
2
𝜋
时，sin(𝜃−)取得最大值1，
63
𝜋
…平面四边形𝑂𝐴𝐶𝐵面积的最大值为8+5√3
故选𝐴．
【解答】 此题暂无解答 12.
【答案】 C
【考点】 数列递推式 【解析】
首先由递推关系确定数列的特征，然后结合数列的通项公式求解实数𝑘的值即可． 【解答】
由题意有：当𝑛≥2时，3𝑆𝑛=𝑎𝑛𝑎𝑛−1+1,3𝑆𝑛−1=𝑎𝑛−1𝑎𝑛+1 两式作差可得：3𝑆𝑛−𝑆𝑛−1)=3𝑎𝑛=𝑎𝑛(𝑎𝑛+1−𝑎𝑛−1)
试卷第9页，总15页
由于𝑎𝑛≠0，故𝑎𝑛−1−𝑎𝑛−1=3，即数列的奇数项、偶数项分别构成一个公差为3的等差数列，
𝑎1=1,3𝑆1=3𝑎1=𝑎1𝑎2+1，据此可得𝑎2=2 𝑛为奇数） ，为奇数）
3𝑛−1
2
则数列的通项公式为：为偶数）{3𝑛−2（𝑛为偶数）𝑛∈𝑁𝑎𝑘=2018,2𝑎𝑘=4036，加2
2
后能被 3整除，
则3𝑘−2=2𝑎𝑘=4036∴𝑘=1346 本题选择𝐶选项． 二、填空题
【答案】 𝜋
【考点】
三角函数的周期性及其求法 正切函数的周期性 余弦函数的奇偶性 【解析】
利用𝑦=𝐴cos(𝜔𝑥+𝜑)的最小正周期𝑇=|𝑐|)，即可得出结论． 【解答】
函数𝑓(𝑥)=3cos(2𝑥+5)的最小正周期为2=𝜋 故答案为𝜋 【答案】 30∘
【考点】 直线的倾斜角 【解析】
根据斜率公式，以及|tan𝜃=𝑘,即可求出． 𝑟详解】𝑘=
2−5√3−4√𝜋
2𝜋2𝜋
=3√3 3
√3 30∘≤𝜃<180∘ 𝜃=30∘
故答案为：30∘ 【解答】 此题暂无解答 【答案】 ∴tan𝜃=𝑘=𝐼加加加 【考点】 向量的模 【解析】
由向量的模的坐标运算，求得|𝑎|=2，再由向量的数量积的运算公式，求得故𝑎⋅𝑎−
试卷第10页，总15页
→
→
→
→
𝑏)=1，进而利用
→
𝑏=[𝑎−(𝑎−𝑏)]=𝑎+(𝑎−𝑏)−2𝑎⋅(𝑎−𝑏)，即可求解． 【许4异】由向量的模的坐标运算，可得|𝑎|=√(sin19∘)2+(2sin10∘)2=√4sin219∘+4sin271∘ =√4sin219∘+4cos219∘=2
故𝑎⋅𝑎−𝑏)=|𝑎|⋅|𝑎|𝑏|cos𝑎,𝑎−𝑏=2×1×cos60=1，而𝑏=𝑎−(𝑎−𝑏) 所以𝑏2=[𝑎−(𝑎−𝑏)]=𝑎+(𝑎−𝑏)2−2𝑎⋅𝑎−𝑏)=22+12−2×1=3 所以|𝑏|=√3 【解答】 此题暂无解答 【答案】 ④
【考点】
数列与函数最值问题 数列的函数特性
【解析】
①举反例，𝑑=0时为常数列，即可判断出结论；②举反例：𝑆𝑛=𝑛2−2𝑛，为单调递增数列；③举反例：例如
1，￢2，一4，……，为单调递减数列．④记等差数列的前𝑛项和为𝑆𝑛，由𝑆加=𝑘(𝑎𝑘+𝑎𝑘+1)>0,𝑠2𝑘+1=(2𝑘+1)𝑎𝑘+1
<0，可得：𝑎𝑘>0,𝑎𝑘+1<0，即可判断出正误． 【解答】
①等差数列不一定是单调数列，例如𝑑=0时为常数列；
②等差数列的前”项和构成的数列一定不是单调数列，不正确，反例：𝑆𝑛=𝑛2−2𝑛，为单调递增数列；
③已知等比数列{𝑎𝑛}的公比为4，若𝑞>1，则数列{𝑎𝑛}是单调递增数列，不正确，例如−4−2,−4，．…，为单调递减数列 ④记等差数列的前几项和为𝑆𝑛 若
可得：𝑎𝐴>0,𝑎𝑛+1<0，可得数列𝑆𝑛的最大值一定在𝑛=𝑘处达到．正确． 故答案为④． 三、解答题 【答案】
（1）𝑎𝑛=𝑛−1; （2）𝑆𝑛=𝑛2−2𝑛 【考点】
等差数列的通项公式 【解析】
试卷第11页，总15页
→→
→
→
→
2
→2
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→→
→→
→
∘
→
→
→
→
→
2
→→
→
2
→2
→
→2
→→
→
（1）等差数列{𝑎𝑛}的公差设为𝑑运用等差数列的通项公式可得首项和公差的方程，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项
（2）由（1）知𝑏𝑛=2𝑎𝑛−1=2𝑛−3，运用等差数列的求和公式，计算可得所求和． 【解答】
（1）依题意，𝑎3+𝑎8=𝑎5+𝑎8=9
因为𝑎5=4，所以𝑎6=5，即𝑑=𝑎5−𝑎5=1 所以𝑎𝑛=𝑎5+(𝑛−5)×1=𝑛−1 ．
（2）由（1）知𝑎𝑛=𝑛−1，所以𝑏𝑛=2𝑎𝑛−1=2𝑛−3 所以数列{𝑏𝑛}是首项为−1，公差为2的等差数列， 所以𝑆𝑛=【答案】
（1）𝑓1(𝑥)=2sin(2𝑥+3)； （2）[0,3]
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 正弦函数的单调性
【解析】
（1）由函数的图象的顶点坐标求出𝐴，由周期求出山，由五点法作图求出𝜙的值，可得函数的解析式；
（2）根据函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，求得函数𝑦=𝑓2(𝑥)的解析式，由−2+2𝑘𝜋≤2𝑥−6≤2+2𝑘𝜋𝜋∈𝑍 ，得到函数的单调增区间．
【解答】
（1）如图，由题意得，𝐴>0,𝑓1(𝑥)的最大值为2，𝐴=2 又2=3+6=2𝑇=𝜋．即𝜔=𝜋𝜔=2
因为𝑓1(𝑥)的图像过最高点(12,2)，则2=2sin(2×12+𝜑) .|𝜑||<2,∴𝜑=3即𝑓1(𝑥)=2sin(2𝑥+3)
（2）依题意得：𝑓2(𝑥)=2sin(𝑥−)+)=2sin(2𝑥−)
4
3
6
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝑇
𝜋
𝜋
𝜋
2𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)
2
=
𝑛(−1+2𝑛−3)
2
=𝑛2−2𝑛
…由−2+2𝑘𝜋≤2𝑥−6≤2+2𝑘𝜋加∈𝑧 解得：−6+𝑘𝜋≤𝑥≤3+𝑘𝜋,𝑘∈𝑍 ：𝑥∈[0,2]，则𝑓2(𝑥)的单调增区间为[0,3] 【答案】
试卷第12页，总15页
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋𝜋𝜋
（1）𝐴=
2𝜋3
2√2 （2）{= 4}$ 【考点】 解三角形 【解析】
（1）由正弦定理、三角函数恒等变换化简已知可得：sin(𝐴+)=，结合范围𝐴∈
62(0,𝜋)，可得𝐴+∈(,
66而可求𝐴的值．
（2）在△𝐴𝐷𝐶中，由正弦定理可得sin∠𝐶𝐴𝐷=1，可得∠𝐶𝐴𝐷=2，利用三角形内角和定理可求∠𝐶,∠𝐵，即可求得
𝐴𝐵=𝐴𝐶=√3，再利用三角形的面积公式即可计算得解．
【解答】
（1）∵𝑎(√3sin𝐵−cos𝐶)=(𝑐−𝑏)cos𝐴
…由正弦定理可得：√3sin𝐴sin𝐵−sin𝐴cos𝐶=sin𝐶cos𝐴−sin𝐵cos𝐴
…可得：√3sin𝐴sin𝐵+sin𝐵cos𝐴=sin𝐶cos𝐴+sin𝐴cos𝐶，可得：sin𝐵(√3sin𝐴+cos𝐴)=sin𝐵 sin𝐵>0
√3sin𝐴+cos𝐴=2sin(𝐴+6)=1，可得：sin(𝐴+6)=2 𝐴∈(0,𝜋) ∴ 𝐴+6∈(6,．𝐴+6=）
（2）𝑏=√3，点𝐷在𝐵𝐶边上，𝐶𝐷=2,∠𝐴𝐷𝐶=3 …在△𝐴𝐷𝐶中，由正弦定理
𝜋2
𝐴𝐶sin∠𝐴𝐷𝐶
𝜋
𝜋
5𝜋𝜋
𝜋7𝜋
6
𝜋
𝜋
1
𝜋
𝜋
𝜋7𝜋
6
𝜋
1
)，进
)
2𝜋3
，可得：𝐴=6
=
𝐶𝐷sin∠𝐶𝐴𝐷
，可得：√3=
2
√32sin∠𝐶𝐴𝐷
，可得：sin∠𝐶𝐴𝐷=1
∴ ∠𝐶𝐴𝐷=，可得：∠𝐶=𝜋−∠𝐶𝐴𝐷−∠𝐴𝐷𝐶=
6
𝜋
∴ ∠𝐵=𝜋−∠𝐴−∠𝐶=
6
𝜋
𝐴𝐵=𝐴𝐶=√3 𝑆△𝐴𝐵𝐶=
11√33√3⋅𝐴𝐵⋅𝐴𝐶⋅sin𝐴=×√3×√3×= 2224【答案】 （1）𝑚=2 （2）−
7√2 10
1
试卷第13页，总15页
【考点】
有理数指数幂的化简求值
集合的确定性、互异性、无序性 根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】
（1）由题意可知𝐴𝐵⋅𝐵𝐶=0，结合向量的数量积的性质即可求解𝑚
（2）由|𝐵𝐶|=3√2，结合向量数量积的性质可求𝑚，然后结合𝐵𝐷=2𝐷𝐶，及向量夹角公式cos∠𝐴𝐷𝐶=【解答】
（1）若∠𝐴𝐵𝐶=90∘，则𝐴𝐵⋅𝐵𝐶=0 ．𝐵𝐶=𝐴𝐶−𝐴𝐵=(3,𝑚−2) 3+2𝑚−4=0 1𝑚=
2（2）|𝐵𝐶|=3√2 ．√9+(𝑚−2)2=3√2 ：𝑚>0 𝑚=5 𝐵𝐷=2𝐷𝐶
．𝐷𝐶=3𝐵𝐶=(1,1)𝐵𝐷=3𝐵𝐶=(2,2) 而𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐵𝐷=(3,4) 𝐷𝐴=(−3,−4) cos∠𝐴𝐷𝐶=
𝐷𝐴⋅𝐷𝐶|𝐷𝐴||𝐷𝐶|
→→→
→
→→
→
→
→
1→
→
2→
→→
→
→
→
→
𝐷𝐴⋅𝐷𝐶
→→
→→→→
→→→
|𝐷𝐴||𝐷𝐶
即可求
=
−3×1−4×15√2=−
7√2 10【答案】
（1）𝑏𝑖=3𝑛−2
（2）𝑆𝑛=10−(5−3𝑛)⋅2𝑛−1
【考点】 数列的求和 【解析】
（1）运用等比数列的通项公式，可得𝑘𝑛=2𝑛，再由对数的运算性质可得𝑏𝑛； （2）求得𝑘𝑐𝑛=𝑎𝑛𝑏𝑛=(3𝑛−2)⋅2𝑛，再由数列的
错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和． 【解答】
（1）数列{𝑎𝑛}满足首项为𝑎1=2,𝑎𝑛+1=2𝑎𝑛(𝑛∈𝑁+)
试卷第14页，总15页
可得𝑎𝑛=2𝑛
𝑏𝑛=3log2𝑎𝑛−2=3log22𝑛−2=3𝑛−2 （2）𝑐𝑛=𝑎𝑛𝑏𝑛=(3𝑛−2)⋅2𝑛
前”项和𝑆𝑛=1⋅2+4.4+7.8+⋯+(3𝑛−2)⋅2𝑛 2𝑆𝑛=1⋅4+4.8+7⋅16+⋯+(3𝑛−2)⋅2𝑛−1 =2+3⋅
4(1−𝑆𝑛)
−(3𝑛−2)⋅2𝑛+1,−(3𝑛−2)⋅2𝑛+1
1−2试卷第15页，总15页
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