分式方程与根有关的问题

与分式方程根有关的问题

与分式方程的根有关的问题，在近年中考中时有出现，同学们在学习分式方程后，常常会对分式方程的根的概念混淆不清，导致在考试中遇到相关问题做不出来或者出错。这里就对分式方程的根的一些概念进行区分以及相关题型讲解。

一．分式方程根的情况

1、

实数根，满足分式方程且使方程分母不为0的根。分式方程有两个相等的实数根（一

个根）或两个不等的实数根

2、

无解，分为两种情况。一是不存在x的值满足该分式方程；另一种是增根的情况，

即解出来的根使方程分母为零。

二．特别理解增根的情况

这里先回顾一下解分式方程的过程

我们都知道，对于任意分数或分式，都要求分母不能为零，分母为零没有意义。对于分式方程，分式中含有未知数，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的取值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是方程未知数限制范围以外的值，那么这个根就是方程的增根。

注意：增根属于方程无解的一种。

三．分式方程跟的情况例题分析

1. 已知分式方程有增根，求字母系数的值

解答此类问题必须明确增根的意义：

（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。

（2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。

利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时的字母系数的值。

ax110x1例1、 （2001年重庆市）若关于x的方程有增根，则a的值为__________。

xk2x3会产生增根，求k的值。 例2、 （2001年鄂州市）关于x的方程x3

2x42a2ax22x产生增根的a的值是（ ）例3、 （2000年潜江市）使关于x的方程

2A. 2 B. －2 C. 2 D. 与a无关

例4、（1997年山东省）

2xm1x12x1x产生增根，则m的值是（ ） xx若解分式方程

A. －1或－2 B. －1或2

C. 1或2 D. 1或－2

例5. 当k为何值时，解关于x的方程：

k1x1k52xx1xx1x1只有增根x=1。

评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是：

（1）将所给方程化为整式方程；

（2）由所给方程确定增根（使分母为零的未知数的值或题目给出）；

（3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。

2. 已知分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围

xk2x2例6. （2002年荆门市）当k的值为_________（填出一个值即可）时，方程x1xx只有一个实数根。

2xm121x1无实根？ 例7. （2002年孝感市）当m为何值时，关于x的方程xxx1mm例8. （2003年南昌市）已知关于x的方程xx1有实数根，求m的取值范围。

评注：由以上三例可知，由分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围的基本思路是：

（1）将所给方程化为整式方程；

（2）根据根的情况，由整式方程利用根的判别式求出字母系数的值或取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。

3. 已知分式方程无解，求参数值

评注：解答此类问题的基本思路是：

（1）将已知方程化为整式方程；

（2）解该整式方程

（3）解到的根使分母为零求出参数值

4. 已知分式方程根的符号，求字母系数的取值范围

xa1例9. 已知关于x的方程x2的根大于0，求a的取值范围。

xk2x2例10. 已知关于x的方程的根小于0，求k的取值范围。

评注：解答此类题的基本思路是：

（1）求出已知方程的根；

（2）由已知建立关于字母系数的不等式，求出字母系数的取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。