用函数观点看一元二次方程(基础)

让更多的孩子得到更好的教育

用函数观点看一元二次方程（基础）

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

 会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；

 

会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系； 经历探索验证二次函数

学会用函数的观点去看方程和用数形yax2bxc(a0)与一元二次方程的关系的过程，

结合的思想去解决问题．

学习策略：

 

结合一元二次方程的解法以及根的判别式； 弄清楚二次函数与方程、不等式之间的关系.

二、学习与应用

“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对

性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记．

知识回顾——复习

学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

1. 一元二次方程的求根公式为： 2．二次函数中 决定抛物线的开口方向和大小.

3. 在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为 ；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为 ；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为 ．

要点梳理——预习和课堂学习

认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID：#27057#397876

要点一、二次函数与一元二次方程的关系

1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数求ax2就是令y＝ ，yax2bxc(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，

bxc0中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元

二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：

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要点诠释：

二次函数图象与x轴的交点的个数由

的值来确定的.

(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个 的实根；

(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两

个 的实根；

(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程 实根. 2.抛物线与直线的交点问题

抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线

yax2bxc(a≠0)与

y轴交点和二次函数与一次函数

ykxb1(k0)的交点问题．

抛物线yax2bxc(a≠0)与y轴的交点是( ， )．

抛物线

yax2bxc(a≠0)与一次函数ykxb1(k≠0)的交点个数由方程

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组ykxb1,的解的个数决定．yax2bxc

当方程组有两组不同的解时两函数图象有 个交点； 当方程组有两组相同的解时两函数图象只有 个交点； 当方程组无解时两函数图象 交点．

总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 要点诠释：

求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．

要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤：

1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个

数；

2. 确定一元二次方程

的根的取值范围．即确定抛物线

与x轴交点的___________坐标的大致范围；

3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程

的近似根．在(3)中最接近_________的

y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 要点诠释： 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）：

(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的______坐标就是方

程

的根；

(2)先将方程变为

再在同一坐标系中画出抛物线y=_______和直线

y=_______图象交点的______坐标就是方程的根； (3)将方程化为

，移项后得

，设

和

，在同一坐标系中画出抛物线y=_______和直线y=_______的图象，图象

交点的______坐标即为方程的根.

要点三、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式

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当△＞0时，设抛物线yax2bxc与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)，则

x1、x2是一元二次方程yax2bxc的两个根．由根与系数的关系得x1+x2= ，x1x2= ．

∴

2|AB||x2x1|(x2x1)2(x21x2)4xbc1x2a4ab24acb24aca2|a| 即 |AB|△|a|（△＞0）． 要点四、抛物线与不等式的关系

二次函数

yax2bxc(a≠0)与一元二次不等式ax2bxc0(a≠0)及ax2bxc0(a≠0)之间的关系如下(x1x2)：

注：a＜0的情况请同学们自己完成． 要点诠释：

抛物线

yax2bxc在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2bxc0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2bxc0的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．

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典型例题——自主学习

认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完 成举一反三．课堂笔记或者其它补充填在右栏．更多精彩内容请学习网校资源ID：

#27062#397876

类型一、二次函数图象与坐标轴交点

例1．已知二次函数y=(m-2)x2

+2mx+m+1，其中m为常数，且满足-1【总结升华】__________________________________________________________________

举一反三：

【变式】二次函数y=mx2

+(2m-1)x+m+1的图象总在x轴的上方，求m的取值范围。

类型二、利用图象法求一元二次方程的解 例2．用图象法求一元二次方程yx22x1的近似解(精确到0.1)．

【总结升华】__________________________________________________________________ __________________________________________________________________

类型三、二次函数与一元二次方程的综合运用 例3．已知二次函数

y1x2与一次函数y23x4交于A、B两点．

(1)求A、B两点的坐标；(2)求△AOB的面积；(3)判断当x为何值时，y1＜y2.

【总结升华】________________________________________________________________ 举一反三：

【变式】已知点A（-1，-1）在抛物线

y(k21)x22(k2)x1上,点B与点A

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关于抛物线的对称轴对称,

（1）求k的值和点B的坐标； （2）是否存在与此抛物线仅有一个公共点B的直线?

1x1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；2121二次函数yxbxc的图象与一次函数yx1的图象交于B、C两点，与

22例4．已知：如图所示，一次函数

yx轴交于D、E两点，且D点坐标为（1，0）．(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC的面积S．

【总结升华】__________________________________________________________________ 三、测评与总结

要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力．

现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的

测试．

知识点：用函数观点看一元二次方程（基础）

测评系统分数： 模拟考试系统分数：

如果你的分数在85分以下，请进入网校资源ID：#27072#397876 进行巩固练习，如果你的分数在85分以上，请进入网校资源ID：#27089#397877 进行能力提升．

成果测评

自我反馈

学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整

理．如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流．

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我的收获 习题整理 好题 题目或题目出处 错题 所属类型或知识点 分析及注意问题 注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录．

网○校○重○要○资○源○

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对本知识的学案导学的使用率：

□ 好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上） □ 中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在50%-80%左右） □ 弱（仅作一般参考，使用率在50%以下）

学生：_______________

家长：______________ 指导教师：_________________

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