-------------一线三角
三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：
等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。
例1：如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60° （1）求证：△BDE∽△CFD
（2）当BD=1，FC=3时，求BE。
E
B D
变式：如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=10，D是BC边上的一个动点，点
A F C E在AC边上，且?ADE(1) 求证：△ABD∽△DCE；
?C．
A (2) 如果BD=x，AE=y，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域； (3) 当点D是BC的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．
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E B D C 实用标准
例2：如图，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC中点，∠EDF=∠B，求证：△BDE∽△DFE
E
B
变式：已知：如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在边AB上，
A F D C DE=AB，点E在边BC上．又点F在边AC上，且?DEF(1) 求证：△FCE∽△EBD；
(2) 当点D在线段AB上运动时，是否有可能使SFCE?B．
=4SEBD．如果有可
能，那么求出BD的长．如果不可能请说明理由．
A F D B
E C 例3：如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不与点B、
C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B；
（1）求证：△ABP∽△PCM；
（2）设BP=x，CM=y．求 y与x的函数解析式，并写出函数的定义域． （3）当△APM为等腰三角形时， 求PB的长．
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A M P
C
B
实用标准
变式：如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一点，且BP=2，将一个大小与∠B相等的角的顶
点放在P 点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E。
（1）求证△BPD∽△CEP
（2）是否存在这样的位置，△PDE为直角三角形？若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由。
-------------压轴题突破---一线三角
例1：在DABC中，AB=AC=5，BC=8，点P、Q分别在射线CB、AC上
（点P不与点C、点B重合），且保持?APQA E D B C P ?ABC.
A B
①若点P在线段CB上（如图），且BP=6，求线段CQ的长； ②若BP=x，CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
C 文案大全
实用标准
1.与等腰三角形底角相等的角的顶点不仅在线段上还可以运动至线段的延长线上，这类变式问题是上海中考中最常见的，虽然图形改变，但是方法不变，依旧是原来的两个三角形相似列出比例式后求解。当等腰三角形变式为正方形时，依然沿用刚才的方法便可破解此类问题。
2.此题是典型的图形变式题，记住口诀：“图形改变，方法不变”。动点在线段上时，通过哪两个三角形相似求解，当动点在线段的延长线上时，还是找原来的两个三角形，多数情况下这两个三角形还是相似的，还是可以沿用原来的方法求解。 变式：正方形ABCD的边长为5（如图），点P、Q分别在直线．．CB、DC上（点P不与点C、点B重合）， 且保持?APQ结果）.
例2：已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2． （1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．
①求证；△ABP∽△DPC ②求AP的长．
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交
直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么
①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当CE＝1时，写出AP的长（不必写出解题过程）．
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90?.当CQ=1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出
A D B C A P D B C 实用标准
第一问因为是等腰三角形，且满足∠BPC＝∠A,很容易找到一线三角模型，寻找相似，列比例等式，求出AP的长。
第二问题目要分类讨论，注意题目里面给的一些提示，直线，射线，线段，这经常是给出要分类讨论的一些信息
变式：已知在等腰三角形ABC中，AB=BC=4,AC=6，D是AC的中点， E是
BC上的动点（不与B、C重合），连结DE，过点D作射线DF，使?EDF射线DF交射线EB于点F，交射线AB于点H. （1）求证：DCED∽DADH； （2）设EC=x,BF=y. ①用含x的代数式表示BH；
②求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域. 中点．
（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD；
CEDBFH?A，
A例3：已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的
（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交
直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么
①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，
并写出函数的定义域； ②当SDDMF=
文案大全 B 9SDBEP时，求BP的长． 4D E A D A E P （图）
C B （备用图）
C 实用标准
1.第（2）小题都是用常规的三等角型相似的方法。
2.第二问题目要分类讨论，注意题目里面给的一些提示，直线，射线，线段，这经常是给出要分类讨论的一些信息
变式：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=BC=4，AD=2．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B，射线ME交边AB于点E，射线MF交边CD于点F，连结EF．
（1）指出图中所有与△BEM相似的三角形，并加以证明；
（2）设BE=x，CF=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
E A D F
B M C
-------------压轴题突破---一线三直角
三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：
当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。
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实用标准
例1、已知：如图，AB⊥BC，AD // BC， AB = 3，AD = 2．点P在线段AB上，联结
PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C．设线段AP的长为x．
（1）当AP = AD时，求线段PC的长；
（2）设△PDC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当△APD∽△DPC时，求线段BC的长．
A D A D P B C B C
（备用图）
本题重点在于：过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．(构造一线三角，出现相似三角形，进行求解)
变式：如图1，已知AM//BN，?A
?B90?，AB=4，点D是射线AM上的一
个动点（点D与点A不重合），点E是线段AB上的一个动点（点E与点A、B不重合），联结DE，过点E作DE的垂线，交射线BN于点C，联结DC．设AE=x，
BC=y．
（1）当AD=1时，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（2）在（1）的条件下，取线段DC的中点F，联结EF，若EF=2.5，求AE的长；
（3）如果动点D、E在运动时，始终满足条件AD+DE=AB，那么请探究：
DBCE的周长是否随着动点D、E的运动而发生变化？请说明理由．
AEDMAMBCNBN
图1 图2
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实用标准
例2、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=4，tanC=
4，∠ADC=∠3DAB=90度，P是腰BC上一个动点（不含点B、C），作PQ^AP交CD于点Q（图1）
（1） 求BC的长与梯形ABCD的面积； （2） 当PQ=DQ时，求BP的长；（图2）
（3） 设BP=x，CQ=y,试求出y关于x的函数解析式，并写出定义域。
ABP
ABPDQ(图1)CDQ(图2)C
第3问添加了辅助线MN，得到一线三角基本模型，得到解题突破口，出现相似，顺利得到答案。
变式：如图，在RtDABC中，?C90?，AB=5，tanB=3，点D是BC的中点，4点E是AB边上的动点，DF^DE交射线AC于点F． （1）求AC和BC的长；（2分）
（2）当EF∥BC时，求BE的长；（5分）
（3）联结EF，当DDEF和DABC相似时，求BE的长．（7分）
E F 文案大全 C A A A D B C （备用B C （备用B 实用标准
例3、如图，在RtDABC中，?C90?，AC=BC=6，点D为AC中点，点E为
90?.
边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且?FDE（1）当DF//AB时，联结EF,求ÐDEF的余切值；
（2）当点F在线段BC上时，设AE=x，BF=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）联结CE，若DCDE为等腰三角形，求BF的长.
C C F D B A A E 备用图1
C B A 备用图2 B
1.第2问添加辅助线EH，得到三直角型相似，得到结果；
2.第3问等腰三角形的分类讨论，要注意严格按照三种情况进行讨论，在解答过程中，要时刻牢记等腰三角形三线合一这一性质。
变式：在梯形ABCD中,AD∥BC，AD=AB=1,BC=2,?A90°.（如图1）
(1)试求ÐC的度数；
(2)若E、F分别为边AD、CD上的两个动点(不与端点A、D、C重合),且始终保持
45°,BD与EF交于点P.（如图2）
①求证:DBDE∽DBCF；
②试判断DBEF的形状（从边、角两个方面考虑），并加以说明； ③设AE=x,DP=y,试求y关于x的函数解析式,并写出定义域. ?EBF
A
D （图1）
A E P D （图2）
F C B C B
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